2022重慶市高三上學期第五次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

2022屆重慶市高三上學期第五次質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則集合B中元素個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)給定條件分析a，b取值即可判斷作答.【詳解】集合，，則當時，有，當時，或，當時，或，所以，集合B有中5個元素.故選：A2．已知橢圓的一個焦點坐標為，則（

）A．1 B．2 C．5 D．9【答案】A【分析】由焦點坐標及橢圓方程中參數(shù)關(guān)系有，即可求參數(shù)m.【詳解】由題設(shè)知：，可得.故選：A.3．已知復數(shù)z滿足．則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)運算法則得到，進而求出復數(shù)z的模長.【詳解】，所以.故選：D4．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則公差為（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】B【分析】由前n項和及等差中項的性質(zhì)可得求得，進而求公差即可.【詳解】由，則，∴公差.故選：B.5．將5名實習老師安排到高一年級的3個班實習，每班至少1人、至多2人，則不同的安排方法有（

）A．90種 B．120種 C．150種 D．180種【答案】A【分析】由題設(shè)知分組方式為人數(shù)分別為{1,2,2}，應(yīng)用排列組合數(shù)、部分平均分組求不同的安排方法數(shù).【詳解】由題設(shè)，將老師按各組人數(shù){1,2,2}分組，∴不同的安排方法有種.故選：A.6．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件切化弦，再利用二倍角的正弦、余弦公式計算作答.【詳解】因，則，依題意，，即，解得，所以.故選：B7．地球靜止同步通信衛(wèi)星是當今信息時代的大量信息傳遞主要實現(xiàn)工具，例如我國航天事業(yè)的重要成果“北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)”，它為全球用戶提供了全天候、全天時、高精度的定位、導航和授時服務(wù)，是國家重要空間基礎(chǔ)設(shè)施．地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個球，衛(wèi)星信號像一條條直線一樣發(fā)射到達球面，所覆蓋的范圍即為一個球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號的覆蓋面積．球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．設(shè)球面半徑為R，球冠的高為h，則球冠的表面積為．已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星的信號覆蓋面積與地球表面積之比為m，則它距地球表面的最近距離與地球半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，再畫出示意圖應(yīng)用直角三角形相似，令衛(wèi)星距地球表面的最近距離，則求，進而求它距地球表面的最近距離與地球半徑之比.【詳解】由題設(shè)知：，可得，如下截面圖，若為球心，為衛(wèi)星位置，則，，為球冠底面直徑，∴由題設(shè)易知：，則，故，令衛(wèi)星距地球表面的最近距離，則，∴，故.故選：D.8．已知橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為A，拋物線E的頂點為坐標原點，焦點為，若直線與拋物線E交于P，Q兩點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)可得拋物線E為，直線為，聯(lián)立方程應(yīng)用韋達定理、弦長公式求，由求，結(jié)合得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率即可.【詳解】由題設(shè)知：，，且拋物線E為，∴直線為，聯(lián)立拋物線方程有，整理得：，則，即，令且，則，∴，∴，令，如上圖易知：，即，可得，∴，又，∴，整理得，而，∴，則.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由，應(yīng)用弦長公式求，根據(jù)求，進而得到齊次方程求離心率.二、多選題9．已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用給定條件結(jié)合基本不等式判斷A，C；利用二次函數(shù)性質(zhì)判斷B；取特值判斷D作答.【詳解】因，，且，則有，當且僅當時取“=”，A不正確；因，，且，則，，當且僅當時取“=”，B正確；因，，且，則，當且僅當時取“=”，C正確；因，，且，則取，即有，于是得，D不正確.故選：BC10．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中真命題是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】AC【分析】AC選項，可以從線面垂直的性質(zhì)或判定或面面平行的性質(zhì)即判定進行說明；BD選項可以在題干條件下舉出反例.【詳解】A選項，因為，，所以，因為，α，β是兩個不同的平面，所以，A選項正確；B選項，若，，，則與n可能平行，可能異面，可能相交，B選項錯誤；C選項，若，，則，又因為，α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則，C選項正確；若，，，則可能在內(nèi)，可能與平行，可能與相交，故D選項錯誤.故選：AC11．函數(shù)在內(nèi)有唯一零點的充分條件是（

）A．的最小正周期為π B．在內(nèi)單調(diào)C．在內(nèi)有且僅有一條對稱軸 D．在內(nèi)的值域為【答案】AD【分析】求出在內(nèi)有唯一零點的的范圍，再逐項分析即可判斷作答.【詳解】函數(shù)，當時，，依題意，在內(nèi)有唯一零點，當且僅當，解得，對于A，的最小正周期為π，則，符合題意，A正確；對于B，當在內(nèi)單調(diào)時，必有，解得，不符合題意，B不正確；對于C，因在內(nèi)有且僅有一條對稱軸，則，解得，顯然當時，不能確保有，即C不正確；對于D，因在內(nèi)的值域為，則必有，解得，符合題意，D正確.故選：AD12．已知平面內(nèi)兩個給定的向量，滿足，，則使得的可能有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【答案】ABC【分析】由給定條件用坐標表示、，利用向量模的坐標表示列出方程，再借助直線與圓的公共點個數(shù)即可判斷作答.【詳解】因平面向量，滿足，，在平面直角坐標系中，令，設(shè)，由可得：，表示以點為圓心，1為半徑的圓，由得：，整理得：，表示一條直線l，依題意，同時滿足直線l的方程和圓C的方程，因此直線l與圓C的公共點個數(shù)，即是向量的個數(shù)，點C到直線l的距離，顯然，當時，，直線l與圓C相交，有兩個公共點，向量有2個，C滿足；當時，，直線l與圓C相切，有1個公共點，向量有1個，B滿足；當時，，直線l與圓C相離，沒有公共點，不存在向量滿足條件，即有0個，A滿足.故選：ABC【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標系中，借助向量的坐標表示，利用代數(shù)方法解決.三、填空題13．曲線在點處的切線方程為______．【答案】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再借助導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程即可計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，，則，于是得，即，所以曲線在點處的切線方程為.故答案為：14．已知隨機變量X的概率分布為，則實數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用隨機變量分布列的性質(zhì)列式計算作答.【詳解】依題意，，由分布列的性質(zhì)得，解得，所以實數(shù).故答案為：15．已知定義在R上的函數(shù)不是常值函數(shù)，且同時滿足：①；②對任意，均存在使得成立；則函數(shù)______．（寫出一個符合條件的答案即可）【答案】(答案不唯一)【分析】由題設(shè)函數(shù)性質(zhì)分析知：關(guān)于對稱且值域為或，寫出一個符合要求的函數(shù)即可.【詳解】由知：關(guān)于對稱，由對任意，均存在使得成立知：函數(shù)值域為或或全體實數(shù)，∴符合要求.故答案為：(答案不唯一).16．在三棱錐中，平面ABC，是邊長為2的正三角形，，Q為三棱錐外接球球面上一動點，則點Q到平面PAB的距離的最大值為______【答案】【分析】根據(jù)給定條件求出三棱錐外接球半徑及球心O到平面PAB的距離即可推理計算作答.【詳解】令三棱錐外接球球心為O，正所在平面截球面所得小圓圓心為，連接，如圖，則平面ABC，而正邊長為2，即有，因平面ABC，則三棱錐外接球球心為O在過線段PA中點，且垂直于線段PA的平面內(nèi)，顯然過線段PA中點垂直于線段PA的平面與平面ABC平行，則，于是得球O的半徑，取PB中點，AB中點D，連接，因是直角三角形，則是平面PAB截球O所得截面小圓圓心，因此，平面PAB，而，，則平面ABC，必有，，于是得四邊形是平行四邊形，，由球面的性質(zhì)知，點Q是經(jīng)過點的球面直徑端點且球心在點與Q之間時，點Q到平面PAB的距離最大，此最大距離為，所以點Q到平面PAB的距離的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及幾何體的外接球問題，根據(jù)給定條件結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，點D為邊BC上一點，且．(1)求角A的大小；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合正弦定理邊化角即可計算作答.(2)由(1)及已知可得，在中求出的正余弦即可借助差角的正弦公式計算作答.(1)在中，由正弦定理及得：，即，于是得，而，，因此有，而，因此，，所以角A的大小是.(2)由(1)知，，又，則有，如圖，在中，，則，于是得，，而，即有，因此，.18．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，注意討論的情況，即可證結(jié)論.（2）由（1）得，應(yīng)用裂項相消法求，即可證結(jié)論.(1)由,有，當，即時，顯然不滿足，∴是以2為公比的等比數(shù)列.(2)當時，由（1）可得：，則，∴，∴，，當，時，，∴，得證.19．如圖，在圓錐PO中，邊長為的正△內(nèi)接于圓O，AD為圓O的直徑，E為線段PD的中點．(1)求證：直線平面BCE；(2)若，求直線AP與平面ABE所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)AD交BC于F，易證F為OD中點，利用中位線的性質(zhì)可得，再由線面平行的判定證明結(jié)論.（2）過O作，構(gòu)建以O(shè)為空間坐標原點，，，為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標系，求直線AP的方向向量與平面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求線面角的正弦值即可.(1)設(shè)AD交BC于F，由題意知：O為△中心，則，又，∴F為OD中點．∴△中E，F(xiàn)分別為PD，OD中點∴，而面ECB，面ECB，∴面BCE．(2)∵，E為PD中點，又，∴△為等邊三角形．過O作且平面ABC，Q位于上，以O(shè)為空間坐標原點，，，為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標系．則：，，，，，，．設(shè)平面ABE的法向量為，則，取，則，設(shè)直線AP與平面ABE所成角為，則.∴直線AP與平面ABE所成角正弦值為．20．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，且雙曲線C經(jīng)過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為的直線l與雙曲線C交于異于M的不同兩點A、B，直線MA、MB的斜率分別為、，若，求直線l的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由漸近線方程及雙曲線所過的點可得，求參數(shù)，寫出雙曲線C的方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立雙曲線方程應(yīng)用韋達定理及求出參數(shù)t，即可得直線l的方程．(1)由題設(shè)可得：，∴.(2)設(shè)，，，聯(lián)立，則，∴，由，可得，故，∴.21．在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段，到2020年底，全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實按果徑X（單位：mm）的大小分級，其中為一級果，為特級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實，從中隨機抽取1000個測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：(1)由頻率分布直方圖可認為，該品種臍橙果實的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標準差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實中任取一個，求取到的果實為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)這批采摘的臍橙按2個特級果和n（，且）個一級果為一箱的規(guī)格進行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進入市場．質(zhì)檢員質(zhì)檢時從每箱中隨機取出兩個果實進行檢驗，若取到的兩個果實等級相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時n的值．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)(2)①；②；【分析】（1）先求出平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對稱性和原則進行求解；（2）①先表達出抽檢的某箱臍橙被記為“同”的概率，再求出相應(yīng)的概率；②表達出，利用導函數(shù)求出時，取得最大值，進而求出此時n的值.(1)由分布圖：則，在內(nèi)為優(yōu)品則(2)①②，且，因為，且，由對勾函數(shù)知識可知：在上單調(diào)遞減，當時，，所以，因為，且當時，，當時，，當時，，∴最大值在時取得，可求得或，因為，所以，求得22．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間；單調(diào)減區(qū)間(2)【分析】（1）導函數(shù)大于0，單調(diào)遞增，導函數(shù)小于0，單調(diào)遞減；（2）對變形，換元，消去后，變?yōu)橹恍?，求導后研究其單調(diào)性，最終求得t的取值范圍，進而得到m的取值范圍.(1)，，，解得：，定義域為，且單調(diào)遞增，令：，∴當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.(2)，定義域為，設(shè)，∴易知：，且單調(diào)遞增，∴存在，使，即，且在上小于0，在上大于0，故，因為當時，，當時，，要