初等數(shù)論 附錄1 習(xí)題參考答案-2023修改整理

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第一章習(xí)題一

1.(ⅰ)由a∣b知b=aq，于是b=(-a)(-q)，-b=a(-q)及-b=(-a)q，即-a∣b，a∣-b及-a∣-b。反之，由-a∣b，a∣-b及-a∣-b也可得a∣b；(ⅱ)由a∣b，b∣c知b=aq1，c=bq2，于是c=a(q1q2)，即a∣c；(ⅲ)由b∣ai知ai=bqi，于是a1x1+a2x2+Λ+akxk=b(q1x1+q2x2+Λ+qkxk)，即b∣a1x1+a2x2+Λ+akxk；(ⅳ)由b∣a知a=bq，于是ac=bcq，即bc∣ac；(ⅴ)由b∣a知a=bq，于是|a|=|b||q|，再由a≠0得|q|≥1，從而|a|≥|b|，后半結(jié)論由前半結(jié)論可得。

2.由恒等式mq+np=(mn+pq)-(m-p)(n-q)及條件m-p∣mn+pq可知m-p∣mq+np。

3.在給定的延續(xù)39個自然數(shù)的前20個數(shù)中，存在兩個自然數(shù)，它們的個位數(shù)字是0，其中必有一個的十位數(shù)字不是9，記這個數(shù)為a，它的數(shù)字和為s，則a,a+1,Λ,a+9,a+19的數(shù)字和為s,s+1,Λ,s+9,s+10，其中必有一個能被11整除。

4.設(shè)不然，n1=n2n3，n2≥p，n3≥p，于是n=pn2n3≥p3，即p≤3n，沖突。

5.存在無窮多個正整數(shù)k，使得2k+1是合數(shù)，對于這樣的k，(k+1)2不能表示為a2+p的形式，事實(shí)上，若(k+1)2=a2+p，則(k+1-a)(k+1+a)=p，得k+1-a=1，k+1+a=p，即p=2k+1，此與p為素數(shù)沖突。

第一章習(xí)題二

1.驗(yàn)證當(dāng)n=0,1，2，…,11時，12|f(n)。

2.寫a=3q1+r1，b=3q2+r2，r1,r2=0,1或2，由3∣a2+b2=3Q+r12+r22

知r1=r2=0，即3∣a且3∣b。

3.記n=10q+r,(r=0,1,…,9)，則nk+4-nk被10除的余數(shù)和rk+4-rk=rk(r4-1)被10除的余數(shù)相同。對r=0,1,…,9舉行驗(yàn)證即可。

4.對于任何整數(shù)n，m，等式n2+(n+1)2=m2+2的左邊被4除的余數(shù)為1，而右邊被4除的余數(shù)為2或3，故它不行能成立。

5因a4-3a2+9=(a2-3a+3)(a2+3a+3)，當(dāng)a=1，2

時，a2-3a+3=1，

a4-3a2+9=a2+3a+3=7，13，a4-3a2+9是素數(shù)；當(dāng)a≥3時，a2-3a+3>1，a2+3a+3>1，a4-3a2+9是合數(shù)。

6.設(shè)給定的n個整數(shù)為a1,a2,Λ,an，作

s1=a1，s2=a1+a2，Λ，sn=a1+a2+Λ+an，

假如si中有一個被n整除，則結(jié)論已真，否則存在si，sj，i0，則|b|≤m'，故有[a,b]=|b|。

2.設(shè)m是a1,a2,Λ,an的任一個公倍數(shù)，由a1∣m，a2∣m知[a1,a2]=m2∣m，由m2∣m，a3∣m知[m2,a3]=m3∣m，Λ，由mn-1∣m，an∣m知[mn-1,an]=mn∣m，即[a1,a2,Λ,an]∣m。

3.只須證)

,()(),()(babbababaabba++=+，即只須證(b,a+b)=(a,b)，此式明顯。4.由a+b=120及ab=(a,b)[a,b]=24?144=3456解得a=48，b=72或a=72，b=48。

5.由于),)(,)(,(],][,][,[),,(],,[2

222

2222

acc

bba

cbaaccbbacabcabcbacba==，，故只須證實(shí)(a,b,c)(ab,bc,ca)=(a,b)(b,c)(c,a)，此式用類似于例3的辦法即可得證。

6.設(shè)s=1k+2k+Λ+9k，則由2s=(1k+9k)+(2k+8k)+Λ+(9k+1k)=10q1及2s=(0k+9k)+(1k+8k)+Λ+(9k+0k)=9q2得10∣2s和9∣2s，于是有90∣2s，從而1+2+Λ+9=45∣s。第一章習(xí)題五

1.(ⅰ)a∣b知b=ab1，由性質(zhì)(ma,mb)=|m|(a,b)得(a,b)=(a,ab1)=a(1,b1)=a；(ⅱ)由性質(zhì)(ma,mb)=|m|(a,b)得(a,b)=(2αa1,2βb1)=2β(2α-βa1,b1)；(ⅲ)

由性質(zhì)(a,b)=1?(a,bc)=(a,c)得(a,b)=(a,2βb1)=(a,b1)；(ⅳ)由性質(zhì)(a,b)

=(|a-b|,b)及(a,b)=1?(a,bc)=(a,c)得(a,b)=(||2

ba-,b)。2.作輾轉(zhuǎn)相除：1387=(-162)?(-8)+91，-162=91?(-2)+20，91=20?4+11，20=11?1+9，11=9?1+2，9=2?4+1，2=1?2+0，由此得n=6，q1=-8，q2=-2，

q3=4，q4=1，q5=1，q6=4，x=(-1)n-1Qn=73，y=(-1)nPn=625，又(1387,162)

=rn=1，故1387?73-162?625=1=(1387,162)。

3.(27090,21672,11352)=(4386,10320,11352)=(4386,1548,2580)

=(1290,1548,1032)=(258,516,1032)=(258,0,0)=258。

4.(Fn+1,Fn)=(Fn+Fn-1,Fn)=(Fn-1,Fn)=Λ=(F1,F2)=1。

5.設(shè)除數(shù)為d，余數(shù)為r，則由

d∣4582-2836=1746，d∣5164-4582=582，d∣6522-5164=1358

知d∣(1746,582,1358)=194，由此得d=97，r=23或d=194，r=120