2020年上海虹口區(qū)九年級(jí)上月考數(shù)學(xué)試卷

月考數(shù)學(xué)試卷題號(hào) 4總分得分一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分）1.已知,=，那么,的值為（ ）J寸 3十；1D.163.在Rt△ABC中，乙C=90°,若AB=2AC,貝UsinA的值是( )S CS CB.y=x(0<爛4)y=-x(0<x<4)y=-x(0<x<4)5.已知在△ABC中，5.已知在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高，設(shè)一.「 ；=；,,那么］..可以用..、，表示為（ ）二、二、7.8.D.△BDF-BAEA.△BAC八BDAB.△BFA-BECC.△BDF-BEC填空題（本大題共12小題，共D.△BDF-BAE如果線(xiàn)段。=4cm,b=9cm，那么它們的比例中項(xiàng)是在Rt△ABC中，乙C=90°,AC=5,BC=4,則tanA三第1頁(yè)，共16頁(yè)

TOC\o"1-5"\h\z9.計(jì)算：―；；- ;=.aba&.已知點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>PB.若AB=10.則AP=（結(jié)果保留根號(hào)）..若向量與單位向量.方向相反，且I1=31I，則可以用.表示為CT CjCC- CjC CT.如圖，在Rt△ABC中，AACB=90°，CD是AB邊上的高，已知AB=25，BC=15，貝UBD=..等腰三角形腰與底邊之比是10：12,那么底角的正弦值為 ..如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度i=1：3的坡面向上前進(jìn)了10m， ,此時(shí)小球距離地面的高度為m. ”加y;.如圖，將一個(gè)大三角形剪成一個(gè)小三角形及一個(gè)梯形，若梯形上、下底的長(zhǎng)分別為6,14兩腰的長(zhǎng)為12,16,則剪出的小三角形的周長(zhǎng)是 16.如圖，Rt△ABC16.如圖，Rt△ABC中，乙BAC=90°，AB=6,AC=4，G是4ABC*的重心，則“agc△AGC.如圖，若^ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足/PAC=ZPCB=/PBA,則稱(chēng)點(diǎn)P為^ABC的“等角點(diǎn)”，已知^ABC中,CA=CB,ZACB=120°,P為^ABC的等角點(diǎn)，若PA=3，貝|PC=.C.^^ABC中，AC=BC,#△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°,得至“△AB/。，若AB=2,zACB=30°,則線(xiàn)段CB/的長(zhǎng)度為.三、解答題（本大題共7小題，共56.0分）.已知；=；=；于0且2%+3y-z=18,求4%+y-3z的值.第2頁(yè)，共16頁(yè)

.2cos30°+tan30°?cos60°-,.i-uw，r..小明同學(xué)國(guó)慶期間計(jì)劃前往北京旅游，需網(wǎng)購(gòu)一個(gè)拉桿箱，如圖，是某型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，并有如下信息：滑桿DE，箱長(zhǎng)5c拉桿AB的長(zhǎng)度都相等，B，F(xiàn)在A(yíng)C上，C在DE上，支桿DF=30cm，CE：CD=1：3,3CF=45°，乙CDF=30°，請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題.(1)求AC的長(zhǎng)度(1’2=1.414,1'&1.732,結(jié)果精確到0.1cm).(2)求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離(結(jié)果保留根號(hào)).第3頁(yè)，共16頁(yè)

dn3.如圖，在四邊形ABCD中，ABLAD,.3,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,AC=10,

/iT,以BD=LACB,點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AE=AC.(1)求證：△AEB八BCO；(2)當(dāng)AE||BD時(shí)，求AO的長(zhǎng).24.24.如圖，直線(xiàn)--1T+6與％軸交于A(yíng)點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；1g(2)當(dāng)t為何值時(shí)^AQP的面積為「；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)..著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中有關(guān)三角形內(nèi)接正方形的作圖問(wèn)題有如下操作:如圖1,在4ABC中，先在A(yíng)B上任取一點(diǎn)P’,作正方形P'Q'M'N',使點(diǎn)Q/、第4頁(yè)，共16頁(yè)

M,在BC邊上，點(diǎn)N&ABC內(nèi)，然后聯(lián)結(jié)BN’,并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,作MN1BC于點(diǎn)M,NP1MN交AB于點(diǎn)P,PQ1BC于點(diǎn)。，得到四邊形PQMN.(1)求證：四邊形PQMN是正方形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH1BC于點(diǎn)H，若BC=a，AH=九求正方形PQMN的邊長(zhǎng)(用a、h表示)(3)如圖3,在(2)的條件下，在線(xiàn)段BN上截取NE=NM，聯(lián)結(jié)EQ、NM，當(dāng)NQEM=90°時(shí)，求BN的長(zhǎng)(用a、h表示).A A A第5頁(yè)，共16頁(yè)

答案和解析.【答案】D???原式=二-,請(qǐng)+F故選：D.根據(jù)二得到43然后代入分式求解即可.考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，難度不大..【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的運(yùn)用，注意：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可得到結(jié)論.【解答】解：；ED||BC,AB_AC麗=近AE=9,故選B..【答案】C【解析】解:,:乙C=90°,AB=2AC,:.乙B=30°,ZA=60°,故可得sinA二二故選：C.在RT△ABC中，根據(jù)AB=2AC,可得出NB=30°,ZA=60°,從而可得出sinA的值.此題考查了特殊角的三角函數(shù)值及直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，屬于基礎(chǔ)題，這是需要我們熟練記憶的內(nèi)容..【答案】D第6頁(yè)，共16頁(yè)【解析】解：:ZAED=乙C,&=Lk:.'ADE?^ABC,ADAE=ADAE=B~AC-AC=4,AB=5,AD=x,AE=y1_y■=1■V0<CD<4,.y='.x(0<x<4).故選：D.根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似，易證出'ADE八ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單..【答案】D【解析】解：如圖，???在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高， /:.DC=,BC=--.?故選：D.由等腰三角形的性質(zhì)得到DC='BC,然后利用三角形法則解答.考查了平面向量和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得DC=[BC=[是解題的關(guān)鍵..【答案】C【解析】解：QBAD=ZC,乙B=ZB,:.△BAC?'BDA.故A正確.■:BE平分ZABC,；."BE=ZCBE,:.△BFAfBEC.故B正確..乙BFA=ZBEC,:.乙BFD=ZBEA,：.△BDF?'BAE.故D正確.而不能證明△BDF八BEC,故C錯(cuò)誤.故選C.根據(jù)相似三角形的判定，采用排除法，逐項(xiàng)分析判斷.本題考查相似三角形的判定.識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.第7頁(yè)，共16頁(yè).【答案】6【解析】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線(xiàn)段的乘積.所以c2=4x9,%=±6，（線(xiàn)段是正數(shù)，負(fù)值舍去），故答案為：6.根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出中項(xiàng)，注意線(xiàn)段不能為負(fù).此題考查了比例線(xiàn)段；理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線(xiàn)段不能是負(fù)數(shù)..【答案】.【解析】解：在Rt△ABC中，,:乙C=90°,AC=5,BC=4,???tanA==.根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.本題考查了銳角三角函數(shù)的定義..【答案—,+[【解析】解：原式?.-；,+:--+-.故答案是：-..,+.根據(jù)平面向量的計(jì)算法則解答，實(shí)數(shù)的計(jì)算法則同樣應(yīng)用于平面向量的計(jì)算.考查了平面向量的知識(shí)，乘法分配律同樣適用于平面向量的計(jì)算..【答案】54-5【解析】解：由于P為線(xiàn)段AB=10的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長(zhǎng)線(xiàn)段；則AP=..AB=/.'.111-5-.,,二-匚，故答案為：5^-5.根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線(xiàn)段；則AP=[AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長(zhǎng).本題考查黃金分割點(diǎn)的概念.應(yīng)該識(shí)記黃金分割的公式：較短的線(xiàn)段=原線(xiàn)段的[二較長(zhǎng)的線(xiàn)段=原線(xiàn)段的1..【答案】?二3【解析】解：?.?向量，與單位向量.方向相反，且11=31」,=-3，第8頁(yè)，共16頁(yè)

故答案是：.,二-3.根據(jù)平面向量的定義即可解決問(wèn)題.本題考查平面向量的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考基礎(chǔ)題..【答案】9【解析】解：由射影定理得，BC2=BD?AB，故答案為：9.根據(jù)射影定理計(jì)算，得到答案.本題考查的是射影定理，射影定理：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).13?【答案】【解析】解：如圖：等腰4ABC中，AB=AC,AB：BC=10：設(shè)AB=10x,貝UBC=12x.過(guò)A作AD1BC于D，貝UBD=BC=6x.在Rt△ABD中，AD=.：'.C--...:--=,..1U\.-=8x故sinB==1，,=-.故答案為:根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求出底邊的高，由銳角三角函數(shù)的定義解答即可.此題比較簡(jiǎn)單，考查的是解直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形利用銳角三角函數(shù)的定義解答.14.【答案】，lu【解析】解：小球沿著坡面向上前進(jìn)了10m假設(shè)到C處，過(guò)C作CB1AB,???i=1：3,-tanA=?=設(shè)BC=xcm,AB=3xcm,x2+(3x)2=102,解得：x=lJ或x=-Jl(不合題意，舍去)，故答案為：AIL根據(jù)i可以求得AB、BC的長(zhǎng)度的比值，已知4。=10米，根據(jù)勾股定理即可求AB的值，即可解題.本題主要考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，i的定義，本題中根據(jù)勾股定理求BC的值是解題的關(guān)鍵.15.【答案】27第9頁(yè)，共16頁(yè)???四邊形DEBC是梯形，:.DE||BC,：.△ADE八ACB,DEAEAD:.==.0s=,6AEAD:.= = ,III-二?, ■.，解得：AE=9,AD=12,???剪出的小三角形的周長(zhǎng)是6+9+12=27,故答案為：27.根據(jù)相似三角形的判定得出△ADE八ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出AE和AD的值，再求出三角形的周長(zhǎng)即可.本題考查了梯形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能求出^ADE-ACB是解此題的關(guān)鍵.16.【答案】4【解析】解：延長(zhǎng)AG交BC于E.SEC,:乙BAC=90°,AB=6,AC=4,：?S△ABC=/AB-AC=12,VG是^ABC的重心，：?AG=2GE,BE=EC,,.S△agc=xS△aec=4,故答案為4.延長(zhǎng)AG交BC于E.易知S人AGC=xS ，由此計(jì)算即可解決問(wèn)題.△AGC △AEC本題考查三角形的面積，三角形的重心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型..【答案】「第10頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】解：作【解析】解：作CHLAB于H.VCA=CB,：.AH=BHCHLAB,VCA=CB,：.AH=BHZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,^^AB=2BH=2?BC?cos30°=、BCC,,:ZPAC=ZPCB=ZPBA,.?.ZPAB=ZPBC,:.△PABfPBC,vPA=.■：,故答案為：：.故答案為：：.作CHLAB于H.首先證明AB=、二BC,再證明△PAB八PBC,可得:一「一T,即可求出答案.本題考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找相似三角形解決問(wèn)題.CZCAE=60°,.【答案】2CZCAE=60°,【解析】解：連接CE，如圖，??,△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AB/C,??.AB/=AB=2,AC‘=AC,ZCAE=60°,ZAC/B’=ZACB=30°.△ACC;為等邊三角形，.ZAC/C=60°,：CB/平分ZAC，C：CB，垂直平分AC.B/C=B/A=2.故答案為2.連接CE，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB,=AB=2,AC'=ACZAC'B,=ZACB=30°,則可判斷小。。為等邊三角形，從而得到CB/平分ZAC‘C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CB，垂直平分AC,于是根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得B/C=B/A=2.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)..【答案】解：設(shè)_.==1=k,可得：x=2k,y=3k,z=4k,把x=2k,y=3k,z=4k代入2x+3y-z=18中,可得：4k+9k-4k=18,解得：k=2,所以x=4,y=6,z=8,第11頁(yè)，共16頁(yè)

把％=4,y=6,z=8代入4x+y-3z=16+6-24=-2.二鼠進(jìn)而解答即可.此題考查比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)===k得出k的值..【答案】解：原式=2x：+「x=：：+1【解析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算.本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵..【答案】解：（1）；AB||BE||CF,A8DE=—,vCEvCE：CD=1：3,ABy11二-'AB=6；(2)過(guò)點(diǎn)A作AGHDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G,如圖所示:又；ADHBE||CF,AD=5,:.AD=HE=GF=5,,:CF=12,:CG=12-5=7,?:BE||CF,SHABBH=3,...BE=3+5=8.【解析】（1）由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理和比例的性質(zhì)得出..二.?，即可求出AB的長(zhǎng);（2）過(guò)點(diǎn)A作AGHDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G,得出AD=HE=GF=5,由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出比例式求出BH,即可得出結(jié)果.本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn),所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例；熟練掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，通過(guò)作輔助線(xiàn)運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求出BH是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.22.【答案】解：（1）過(guò)F作FH1DE于H,:，F(xiàn)HC=ZFHD=90°, ；?:乙FDC=30°,DF=30,:.FH='.DF=15,DH=：DF=15x：二：,?:乙FCH=45°,:.CH=FH=15,CD=15+15；第12頁(yè)，共16頁(yè)...de=CD=20+20、-：,,:AB=BC=DE,...AC=（40+40、：'：）2109.麗；（2）過(guò)A作AG1ED交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,-aACG=45°,AG=ACC=20/2+20p-,答：拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離為（20、？+20產(chǎn)）cm.【解析】（1）過(guò)F作FH1DE于H，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）過(guò)A作AG1ED交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.23.【答案】解：（1）AE=AC,:.乙E=ZACE,,仆BD=zACB,:.乙E=ZABD,:.乙EAB=180°-/E-zABE,乙OBC=180°-zABE-zABD,:.乙EAB=zOBC,:.△AEBfBCO；（2）過(guò)A作AF1BC于F,過(guò)O作OG1BC于G,,:AE||BD,:./E=zDBC,zEAB=zABD,:zABD=zACB,.zEAB=zACE，,:zOBC=zEAB,.zOBC=zOCB，.OB=OC，ADAF3vtanzABD=tanzACB===,力IfCrrT,???AC=10,TOC\o"1-5"\h\z:.AF=6,CF=8, _?AE=AC,:.EC=2CF=16, /； .二',:zEAB=zACE,zE=zE, /' 「/\:.△AEB八CEA, J' L丁''AAEBE'.宜=AE10REi-=:.BC=EC-BE=16-1=：':.CG='BC=：第13頁(yè)，共16頁(yè)

???AF1BC,OG1BC,.?.CG||AF,AQAC【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得至上E5CE，等量代換得到/￡=ZAB。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的性質(zhì)得到NEAB=乙OBC,于是得到結(jié)論；(2)過(guò)A作AF1BC與F,過(guò)O作OE1BC與E，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到/E=NDBC,乙EAB=NABD,推出OB=OC,求得AF=6,CF=8,得到EC=2CF=16,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=；,于是得到BC=EC-BE=16-；=：,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可得到結(jié)論.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.24.【答案】解：(1)令尸0,則-1%+6=0,解得：％=8,令％=0時(shí)，y=6,??點(diǎn)A(8,0),點(diǎn)B(0,6)；(2)由(1)得：OA=8,OB=6,在Rt△AOB中，AB=...■..■,1，，」；=..::'i.=10,?當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，?.0<t<8;點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，:.AP=t,AQ=AB-BQ=10-1,點(diǎn)Q到AP的距離為AQ-sinzOAB=(10-1)x：；=_(10-1),13 1g△AQP的面積S=.xtx.(10-1)=:，解得t=5+、1'!(不合題意舍去)或t=511'!,??當(dāng)t為(5、1：：；)秒時(shí)^AQP的面積為；；APAQ(3)若zAPQ=90°,則^APQ八AOB,此時(shí)?=,'.,即：L=3解得:若zAQP=90°,則^APQ八ABO,此時(shí).=.；,第14頁(yè)，共16頁(yè)解得t=.,,過(guò)點(diǎn)Q作QM1%軸于M，如圖所示::.AM=AQ-coszOAB=；x；=：,r,一一r4。則OM=8-.,=.,,4069QM=AQ-sinzOAB=.lx..,=,.??點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（：'，：）；綜上所述，當(dāng)t為：'秒或：秒時(shí)，以點(diǎn)A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（,：.）、（,）.【解析】（1）分別令產(chǎn)0,%=0求解即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ,再利用zOAB的正弦求出點(diǎn)Q到AP的距離，然后利用三角形的面積列式即可得解；（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，分ZAPQ=90°和zAQP=90°兩種情況，利用zOAB的函數(shù)值列式計(jì)算即可得解.本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法、三角形