線性代數(shù)二次型第五章

線性代數(shù)二次型第五章第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六第五章二次型§1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§2用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型§3用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型§4二次型的分類第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六§1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型的概念及矩陣表示二、非退化的線性交換三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六一、二次型的概念及矩陣表示考慮方程在平面上代表什么曲線？(1)第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六將坐標(biāo)系（O,x,y)順時針旋轉(zhuǎn)45°,即令(2)則得曲線在坐標(biāo)系(O,u,v)中的方程：(3)從而曲線為一橢圓。o第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定義1將n元二次齊次式稱為n元二次型。二次型依其系數(shù)是實數(shù)或復(fù)數(shù)而分別稱為實二次型或復(fù)二次型。我們僅討論實二次型。取aij=aji

;則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi所以f(x1,x2,…,xn)(4)二次型還可以用矩陣表示第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六則：f(x1,x2,…,xn)=x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn)+x2

(a21x1+a22x2+…+a2nxn)+……+xn

(an1x1+an2x2+…+annxn)=(x1,x2,…,xn)a11x1+a12x2+…+a1nxna21x1+a22x2+…+a2nxn……an1x1+an2x2+…+annxn=(x1,x2,…,xn)第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六簡記為f=XTAX(5)其中：X=稱矩陣A

為二次型f

的矩陣，方陣A

的秩為二次型的秩。顯然(1)A是對稱矩陣f(x1,x2,…,xn)A(2)第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例1寫出二次型的矩陣及其矩陣表示式：解:則令第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例2寫出二次型的矩陣和矩陣表示式：解:令則矩陣是對角矩陣第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定義2只含有平方項的二次型稱為n元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。顯然，標(biāo)準(zhǔn)二次型對應(yīng)的矩陣為對角陣。第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定義3對于線性交換x1=q11y1+q12y2+…+q1nynx2=q21y1+q22y2+…+q2nyn……xn=qn1y1+qn2y2+…+qnnyn(6)當(dāng)是滿秩(可逆)矩陣時,稱線性變換(6)為非退化(或滿秩)的線性變換。二、非退化的線性交換第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六簡記為X=QY其中：x1=q11y1+q12y2+…+q1nynx2=q21y1+q22y2+…+q2nyn……xn=qn1y1+qn2y2+…+qnnyn第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定理1任一二次型f

，其中:y1,y2,…,yn

是原變量x1,x2,…,xn經(jīng)滿秩的線性變換后得到的新變量。通過非退化的線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)型都可化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：1.配方法2.合同變換3.正交變換第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例3化二次型f=x12+2x22–x32+4x1x2–4x1x3–4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的線性變換。=x12+4x1(x2–x3)=(x1+2x2–2x3)2–2x22+4x2x3–5x32=(x1+2x2–2x3)2–2(x22–2x2x3+x32)–3x32=(x1+2x2–2x3)2–2(x2–x3)2–3x32解：+2x22–x32–4x2x3x12

+4x1(x2–x3)f=–4(x2–x3)2

+2x22–x32–4x2x3+4(x2–x3)2三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六令：y1=x1+2x2–2x3y2=x2–x3y3=x3則：f=y12–2y22–3y32為標(biāo)準(zhǔn)型其中：是非退化的線性變換。f=(x1+2x2–2x3)2–2(x2–x3)2–3x32即：線性變換為：x1=y1–2y2

x2=y2+y3x3=y3即：第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例4化二次型f=2x1x2+2x1x3–6x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的線性變換。解：由于f中不含平方項，故先通過線性變換來構(gòu)造平方項。令：x1=y1+y2

x2=y1–y2,x3=y3即：第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六則f=2y12–2y22+2y1y3+2y2y3–6y1y3+6y2y3=2y12–4y1y3–2y22+8y2y3=2(

y12–2y1y3+y32)–2y32–2y22+8y2y3=2(y1–y3

)2–2(y22–4y2y3+4y32

)+6y32

=2(y1–y3

)2–2(y2–2y3)2+6y32

令：z1=y1–y3

z2=y2–2y3,z3=y3即：則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=2z12–2z22+6z32第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六其中：因為：所以所作的線性變換是非退化的。第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定理2任意一個二次型都可以用配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形。注1：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時，所用的非退化的線性變換不同，標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)不一定相同，因此，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例如：f=2x1x2+2x1x3–6x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形：f=2z12–2z22+6z32再作非退化的線性交換得新標(biāo)準(zhǔn)形：f=u2–v2+w2由非退化的線性變換即：第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六§2用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一、矩陣間的合同關(guān)系二、用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型請點擊第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六對于二次型f=XTAX令非退化線性變換為X=QY

,其中：|Q|0則:f=(QY)TA(QY)其中：B=QTAQ得:f=YTBY。=YT(QTAQ)YY的二次型新變量X的二次型變量可以是對角陣一、矩陣間的合同關(guān)系第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定義1設(shè)有兩個方陣A與B，若存在一個可逆陣Q，則稱A合同于B，記作B=QTAQ使第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)反身性傳遞性證(ii)若B=QTAQ,則

(QT)–1BQ–1

=A即A=

(Q–1

)T

BQ–1,

對稱性(iii)若B=

Q1

TAQ1,C=Q2

TBQ2,則C=Q2

T(Q1

TAQ1

)

Q2即C=(Q1

Q2

)T

A

(Q1Q2),第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六表示對A作一次行初等變換后再作同一類型的列變換。結(jié)論：A可經(jīng)過一系列同一類型的行列初等變換(也稱合同變換)化成對角矩陣B。存在可逆陣Q

，由Q

可逆,則

Q=p1p2…pm有若B=QTAQ,使(p1p2…pm)TA(p1p2…pm)()P2TP1T

A

P1P2第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六問題：求Q？Q

=p1p2…pm=E

p1p2…pm即：對E施行與A

同類型的列初等變換，即得Q進行一系列行列同型的初等變換只進行同類型的列初等變換()P2TP1T

A

P1P2BAEBQ第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例1化二次型f=x12+2x1x2–4x1x3+3x22為標(biāo)準(zhǔn)型。解：f=(x1

x2

x3)r2–r1022c2–c102–1AE第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六得作變換X=QY,化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)型f=YTBY=y12+2y22–6y32r3–2r1c3–2c1r3–r2c3–c2BQ=12–6B=QTAQ其中:12–600第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六§3用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一、正交矩陣二、正交變化三、實對稱方陣的特征值、特征向量四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型請點擊第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六二、正交變化1.定義2若P為正交矩陣，則稱線性交換X=PY

為正交變換。注1:正交變換是非退化(滿秩)的線性變換。注2:若X=PY為正交變換，則|X|=即正交變換保持向量的長度不變。第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定理對二次型f=XTAX

一定存在正交變換

X=PY化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型f=XTAX=YTPTAPY=YTY第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六若存在正交陣P，使PTAP=而PT=P

–1，記P的列向量組為1,

2,…

,

n分析：如何求P？AP=P則有第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六有A(1,

2,…

,

n)=(1,

2,…

,

n)

(A1,A

2,…

,A

n)=(11,2

2,…

,n

n)即A

i=i

i,i=1,2,…,n.

i0i是A的特征值，標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)1

,2

,…

,n

可由求A的特征值得出。得出，正交矩陣P

,是由求特征向量1,

2,…

,

n而

i是屬于i

的特征向量.且1,

2,…

,

n是正交的單位向量組。第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六三、實對稱方陣的特征值、特征向量引理1實對稱方陣A的特征值都是實數(shù)證：設(shè)是A的特征值，X是對應(yīng)的特征向量，即AX=X,X0兩邊取共軛:AX=X,再兩邊取轉(zhuǎn)置:XTA=XT由于AX=X，代入(3)式,得即得(3)由X0，即為實數(shù)。所以第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六引理2實對稱方陣

A對應(yīng)于不同特征值的特征向量是相互正交的。證：設(shè)是A

不同特征值，、

分別是屬于和的特征向量，則T=(A)

T=TAT

=T(

A

)=T=T(

)因,

故T=0而(–)T=0,即與正交.第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六引理3若是n階實對稱方陣A的k重根，則A的對應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù)恰為k.第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型(化實對稱陣為對角陣)步驟：(1)解特征方程|A–E|=0,得n

個特征實根1

,2

,…

,n.(2)對每個i(i=1,2,…,n)，解齊次線性方程組(A–E)X=0求出對應(yīng)于i的特征向量.若i是k

重根，有

k

個線性無關(guān)的特征向量第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六(3)將屬于同一特征值的正交化(4)單位化得正交的單位向量組1

,2

,…

,n取P=(1

,2

,…

,n)則正交變換X=PY，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型f=YTY=1

y12+2

y22

+…

+n

yn2第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六(1)解特征根：標(biāo)準(zhǔn)形式為：例1：用正交化方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六(2)對1=–3，即：得基礎(chǔ)解系：X1(A+3E)X=0解線性方程組第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六即系數(shù)矩陣的秩為1，基礎(chǔ)解系含有三個向量X

2X

3X

4對2=3=4=1,解線性方程組(A–E)X=0第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六(3)將X2,X3,X4正交化取2=X23=X3–4

=X4–第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六(4)單位化1234第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六故取正交矩陣P

=(1

2

3

4

)作正交變換

X=PY,即第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六就將二次型f化成標(biāo)準(zhǔn)型f=–3y12+y22+y32+y42第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六§4二次型的分類一、慣性定理二、實二次型的分類三、正定二次型的判定請點擊第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六一、慣性定理對于二次型f=XTAX，經(jīng)過非退化的線性變換X=QY其中:則r(A)=r(B)=r,且r

為對角線上非零元的個數(shù)B=QTAQ00化成標(biāo)準(zhǔn)型f=YTBY第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定理1(慣性定理)設(shè)二次型f=XTAX的秩為r

n

若有兩個非退化的線性變換將f

分別化為:f=1

y12+2

y22+…+

r

yr2,(

i

0,i=1,2,…,r)f=l1

z12+l2

z22+…+l

r

zr2,(l

i

0,i=1,2,…,r)則

i

中正數(shù)個數(shù)與l

i中正數(shù)個數(shù)相同.(從而負(fù)數(shù)個數(shù)也同)第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六其中：系數(shù)

i中正數(shù)的個數(shù)p,負(fù)數(shù)的個數(shù)g=r–p,p–g,稱為符號差.f=1

y12+2

y22+…+

r

yr2,稱為二次型

f

的正慣性指數(shù)。稱為二次型

f

的負(fù)慣性指數(shù)。第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例如：二次型f=2x1x2+2x1x3–6x2x3

經(jīng)非退化的線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)型f=2y12–2y22

+6y32還可經(jīng)非退化的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型f=z12–z22

+z32第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六推論：任一二次型f=XTAX

都可經(jīng)非退化的線性變換化成規(guī)范型f=z12+z22+…+zp2–z2p+1–…–zr2且規(guī)范型是唯一的.第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六二、實二次型的分類定義1對于二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX

如果對于任意一組不全為0的實數(shù)c1,c2,…,cn

(1)恒有f(c1,c2,…,cn)>0,矩陣A為正定矩陣;(2)恒有f(c1,c2,…,cn)<0,則稱二次型是負(fù)定的;(3)恒有f(c1,c2,…,cn)0,則稱二次型是半正定的;(4)恒有f(c1,c2,…,cn)0,則稱二次型是半負(fù)定的;(5)恒有f(c1,c2,…,cn)有時為正，有時為負(fù),則稱二次型是不定的.則稱二次型是正定的，第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定理2設(shè)秩為r的n

元二次型f=XTAX經(jīng)非退化的線性變換X=QY化為標(biāo)準(zhǔn)型f=k1y12+k2y22+…+k

ryr2,(ki

0,i=1,2,…,r)且設(shè)f的正慣性指數(shù)為p

(1pr

),則(1)當(dāng)p=r=n

時，(2)當(dāng)p=r<n

時，(3)當(dāng)p=0,r=n時，(4)當(dāng)p=0,r<n

時，(5)當(dāng)0<

p

<

rn

時，f為正定二次型;f為半正定二次型;f為負(fù)定二次型;f為半負(fù)定二次型;f為不定二次型.第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六三、正定二次型的判定（1）f=XTAX為正定的；（2）A的特征值

都大于零；（4）矩陣A

左上角各階子式(稱為A的順序主子式)恒大于零.即:a11>0,……,設(shè)A為實對稱矩陣，則以下4個命題等價：定理3（3）A與單位陣E合同；第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定理4（1）實二次型f=XTAX為負(fù)定的；（3）A的順序主子式的符號為負(fù)正相間.即:a11<0,……,設(shè)A為實對稱矩陣，則以下3個命題等價：（2）A的特征值

都小于零；第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六例1：判定下列二次型的正定性。(1)f=3