線性代數(shù)問題求解

線性代數(shù)問題求解第1頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.1矩陣

4.1.1特殊矩陣的輸入數(shù)值矩陣的輸入零矩陣、幺矩陣及單位矩陣生成nn方陣：A=zeros(n),B=ones(n),C=eye(n)生成mn矩陣：A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)生成和矩陣B同樣位數(shù)的矩陣：A=zeros(size(B))第2頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六隨機(jī)元素矩陣若矩陣隨機(jī)元素滿足[0,1]區(qū)間上的均勻分布生成nm階標(biāo)準(zhǔn)均勻分布偽隨機(jī)數(shù)矩陣：A=rand(n,m)生成nn階標(biāo)準(zhǔn)均勻分布偽隨機(jī)數(shù)方陣：

A=rand(n)第3頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六對角元素矩陣已知向量生成對角矩陣：

A=diag(V)已知矩陣提取對角元素列向量：

V＝diag(A)生成主對角線上第k條對角線為V的矩陣：

A=diag(V,k)第4頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：diag()函數(shù)的不同調(diào)用格式>>C=[123];V=diag(C)%生成對角矩陣V=100020003>>V1=diag(V)'%將列向量通過轉(zhuǎn)置變換成行向量V1=123>>C=[123];V=diag(C,2)%主對角線上第k條對角線為C的矩陣V=0010000020000030000000000第5頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六生成三對角矩陣:>>V=diag([1234])+diag([234],1)+diag([543],-1)V=1200523004340034第6頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六Hilbert矩陣及逆Hilbert矩陣

生成n階的Hilbert矩陣：

A=hilb(n)

求取逆Hilbert矩陣：B=invhilb(n)第7頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六Hankel(漢克)矩陣

其中：第一列的各個(gè)元素定義為C向量，最后一行各個(gè)元素定義為R。H為對稱陣。

H1=hankel(C)由Hankel矩陣反對角線上元素相等得出一下三角陣均為零的Hankel矩陣第8頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六Vandermonde(范德蒙)矩陣

第9頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六伴隨矩陣其中：P(s)為首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式。

第10頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：考慮一個(gè)多項(xiàng)式2*x^4+4*x^2+5*x+6，試寫出該多項(xiàng)式的伴隨矩陣。>>P=[20456];A=compan(P)A=0-2.0000-2.5000-3.00001.000000001.000000001.00000第11頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六符號(hào)矩陣的輸入數(shù)值矩陣A轉(zhuǎn)換成符號(hào)矩陣：

B=sym(A)例：>>A=hilb(3)A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>B=sym(A)B=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]第12頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.1.2矩陣基本概念與性質(zhì)行列式格式：d=det(A)例：求行列式>>A=[162313;511108;97612;414151];det(A)ans=0第13頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>tic,A=sym(hilb(20));det(A),tocans=1/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000elapsed_time=2.3140高階的Hilbert矩陣是接近奇異的矩陣。第14頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六矩陣的跡格式：t=trace(A)矩陣的秩格式：r=rank(A)％用默認(rèn)的精度求數(shù)值秩r=rank(A，)％給定精度下求數(shù)值秩矩陣的秩也表示該矩陣中行列式不等于0的子式的最大階次。可證行秩和列秩（線性無關(guān)的）應(yīng)相等。第15頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例>>A=[162313;511108;97612;414151];rank(A)ans=3該矩陣的秩為3，小于矩陣的階次，故為非滿秩矩陣。例>>H=hilb(20);rank(H)％數(shù)值方法ans=13>>H=sym(hilb(20));rank(H)%解析方法，原矩陣為非奇異矩陣ans=20第16頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六矩陣范數(shù)第17頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六矩陣的范數(shù)定義：格式：

N=norm(A)％求解默認(rèn)的2范數(shù)N=norm(A，選項(xiàng))％選項(xiàng)可為1,2,inf等第18頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：求一向量、矩陣的范數(shù)>>a=[162313];>>[norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,Inf)]ans=2.092844953645635e+0012.092844953645635e+0013.400000000000000e+0011.600000000000000e+001>>A=[162313;511108;97612;414151];>>[norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,Inf)]ans=34343434符號(hào)運(yùn)算工具箱未提供norm()函數(shù)，需先用double()函數(shù)轉(zhuǎn)換成雙精度數(shù)值矩陣，再調(diào)用norm()函數(shù)。第19頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六特征多項(xiàng)式格式：C=poly(A)例：>>A=[162313;511108;97612;414151];>>poly(A)％直接求取ans=1.000000000000000e+000-3.399999999999999e+001-7.999999999999986e+0012.719999999999999e+003-2.819840539024018e-012>>A=sym(A);poly(A)％運(yùn)用符號(hào)工具箱ans=x^4-34*x^3-80*x^2+2720*x第20頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六矩陣多項(xiàng)式的求解第21頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>a=[1,2,3,4];A=[5,6;7,8];polyvalm(a,A)ans=1034120014001634

>>x=[7,8,9];polyval(a,x)ans=466668922第22頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六符號(hào)多項(xiàng)式與數(shù)值多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換格式：

f=poly2sym(P)或f=poly2sym(P,x)

格式：P=sym2poly(f)第23頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>P=[123456];%先由系數(shù)按降冪順序排列表示多項(xiàng)式>>f=poly2sym(P,'v')%以v為算子表示多項(xiàng)式f=v^5+2*v^4+3*v^3+4*v^2+5*v+6>>P=sym2poly(f)P=123456第24頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六矩陣的逆矩陣格式：C=inv(A)例：>>formatlong;H=hilb(4);H1=inv(H)H1=1.0e+003*0.01600000000000-0.119999999999990.23999999999998-0.13999999999999-0.119999999999991.19999999999990-2.699999999999761.679999999999840.23999999999998-2.699999999999766.47999999999940-4.19999999999961-0.139999999999991.67999999999984-4.199999999999612.79999999999974第25頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六檢驗(yàn)：>>H*H1ans=1.000000000000010.00000000000023-0.000000000000450.000000000000230.000000000000011.00000000000011-0.000000000000110.000000000000110.0000000000000101.0000000000001100.000000000000000.00000000000011-0.000000000000111.00000000000011計(jì)算誤差范數(shù)：>>norm(H*inv(H)-eye(size(H)))ans=6.235798190375727e-013>>H2=invhilb(4);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=5.684341886080802e-014第26頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>H=hilb(10);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)))ans=0.00264500826202>>H2=invhilb(10);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=1.612897415528547e-005>>H=hilb(13);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)))Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.339949e-018.ans=53.23696008570294>>H2=invhilb(13);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=11.37062973181391對接近于奇異矩陣，高階一般不建議用inv()，可用符號(hào)工具箱。第27頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>H=sym(hilb(7));inv(H)

ans=[49,-1176,8820,-29400,48510,-38808,12012][-1176,37632,-317520,1128960,-1940400,1596672,-504504][8820,-317520,2857680,-10584000,18711000,-15717240,5045040][-29400,1128960,-10584000,40320000,-72765000,62092800,-20180160][48510,-1940400,18711000,-72765000,133402500,-115259760,37837800][-38808,1596672,-15717240,62092800,-115259760,100590336,-33297264][12012,-504504,5045040,-20180160,37837800,-33297264,11099088]>>H=sym(hilb(30));norm(double(H*inv(H)-eye(size(H))))ans=0第28頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：奇異陣求逆>>A=[162313;511108;97612;414151];>>formatlong;B=inv(A)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=1.306145e-017.(%條件數(shù)，1為好，0為差。）B=1.0e+014*0.938249922368852.81474976710656-2.81474976710656-0.938249922368852.814749767106568.44424930131968-8.44424930131968-2.81474976710656-2.81474976710656-8.444249301319688.444249301319682.81474976710656-0.93824992236885-2.814749767106562.814749767106560.93824992236885>>norm(A*B-eye(size(A)))％檢驗(yàn)ans=1.64081513306419>>A=sym(A);inv(A)％奇異矩陣不存在一個(gè)相應(yīng)的逆矩陣，用符號(hào)工具箱的函數(shù)也不行???Errorusing==>sym/invError,(ininverse)singularmatrix第29頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六同樣適用于含有變量的矩陣求逆。例：>>symsa1a2a3a4;>>C=[a1a2;a3a4]；>>inv(C)

ans=

[-a4/(-a1*a4+a2*a3),a2/(-a1*a4+a2*a3)][a3/(-a1*a4+a2*a3),-a1/(-a1*a4+a2*a3)]第30頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六矩陣的相似變換與正交矩陣

其中：A為一方陣，B矩陣非奇異。相似變換后，X矩陣的秩、跡、行列式與特征值等均不發(fā)生變化，其值與A矩陣完全一致。對于一類特殊的相似變換滿足如下條件，稱為正交基矩陣。第31頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[5,9,8,3;0,3,2,4;2,3,5,9;3,4,5,8];>>Q=orth(A)Q=-0.61970.7738-0.0262-0.1286-0.2548-0.15510.94900.1017-0.5198-0.5298-0.1563-0.6517-0.5300-0.3106-0.27250.7406>>norm(Q'*Q-eye(4))ans=4.6395e-016>>norm(Q*Q'-eye(4))ans=4.9270e-016第32頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>C=Q'*A*QC=17.92516.4627-4.4714-2.0354-0.02821.71944.6816-5.07350.6800-0.93861.06740.6631-0.05490.36580.17760.2882>>det(A),det(C)ans=120ans=120.0000第33頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>trace(A),trace(C)ans=21ans=21.0000>>rank(A),rank(C)ans=4ans=4第34頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>eig(A),eig(C)ans=17.82051.1908+2.6499i1.1908-2.6499i0.7979ans=17.82051.1908+2.6499i1.1908-2.6499i0.7979

第35頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12;4,14,15,1];>>Q=orth(A)％A為奇異矩陣，故得出的Q為長方形矩陣Q=-0.50000.67080.5000-0.5000-0.2236-0.5000-0.50000.2236-0.5000-0.5000-0.67080.5000>>norm(Q'*Q-eye(3))%Q*Q‘=~Ians=1.0140e-015第36頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.2線性方程組直接解法

4.2.1線性方程組直接求解－矩陣除法關(guān)于線性方程組的直接解法，如Gauss消去法、選主元消去法、平方根法、追趕法等等，在MATLAB中，只需用“／”或“\”就解決問題。它內(nèi)部實(shí)際包含著許許多多的自適應(yīng)算法，如對超定方程用最小二乘法，對欠定方程時(shí)它將給出范數(shù)最小的一個(gè)解，解三對角陣方程組時(shí)用追趕法等等。格式：

x=A\b第37頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：解方程組>>A=[.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129;.3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927];>>b=[0.40430.15500.4240-0.2557]';>>x=A\b;x'ans=-0.1819-1.66302.2172-0.4467第38頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.2.2線性方程組直接求解－判定求解第39頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六第40頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[1234;4321;1324;4132];B=[51;42;33;24];>>C=[AB];rank(A),rank(C)ans=4ans=4>>x=inv(A)*B%A\B

x=-1.80002.40001.8667-1.26673.8667-3.2667-2.13332.7333第41頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六檢驗(yàn)>>norm(A*x-B)ans=7.4738e-015精確解>>x1=inv(sym(A))*Bx1=[-9/5,12/5][28/15,-19/15][58/15,-49/15][-32/15,41/15]檢驗(yàn)>>norm(double(A*x1-B))ans=0第42頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六原方程組對應(yīng)的齊次方程組的解求取A矩陣的化零矩陣：格式：Z=null(A)求取A矩陣的化零矩陣的規(guī)范形式：格式：Z=null(A,‘r’)第43頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：判斷可解性>>A=[1234;2211;2468;4422];B=[1;2;4;6];>>C=[AB];[rank(A),rank(C)]ans=22>>Z=null(A,'r')%解出規(guī)范化的化零空間，其列向量為方程左邊=0的一組基礎(chǔ)解。Z=2.00003.0000-2.5000-3.5000％1.0000001.0000第44頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>x0=pinv(A)*B%得出一個(gè)特解x0=0.95420.7328%全部解-0.0763-0.2977驗(yàn)證得出的解>>a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的隨機(jī)數(shù)>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(A*x-B)ans=4.4409e-015第45頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六解析解>>Z=null(sym(A))Z=[2,3][-5/2,-7/2][1,0][0,1]>>x0=sym(pinv(A)*B)x0=[125/131][96/131][-10/131]％[-39/131]第46頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六驗(yàn)證得出的解>>a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的隨機(jī)數(shù)>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(double(A*x-B))ans=0通解>>symsa1a2;>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0x=[2*a1+3*a2+125/131][-5/2*a1-7/2*a2+96/131][a1-10/131][a2-39/131]第47頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六摩爾－彭羅斯廣義逆求解出的方程最小二乘解不滿足原始代數(shù)方程。A=[1234;2211;2468;4422];B=[1;2;4;6];>>C=[AB];[rank(A),rank(C)]x0=0.78470.64430.0412-0.0992第48頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.2.3線性方程組的直接求解分析LU分解

第49頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六第50頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六第51頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六格式

[l,u,p]=lu(A)

L是一個(gè)單位下三角矩陣，u是一個(gè)上三角矩陣，p是代表選主元的置換矩陣。故：Ax=y=>PAx=Py=>LUx=Py=>PA=LU

[l,u]=lu(A)其中l(wèi)等于P-1L，u等于U，所以(P-1L)U=A第52頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：對A進(jìn)行LU分解>>A=[123;241;467];>>[l,u,p]=lu(A)l=1.0000000.50001.000000.25000.50001.0000u=4.00006.00007.000001.0000-2.5000002.5000p=001010100第53頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>[l,u]=lu(A)％l＝P-1Ll=0.25000.50001.00000.50001.000001.000000u=4.00006.00007.000001.0000-2.5000002.5000第54頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六QR分解

將矩陣A分解成一個(gè)正交矩陣與一個(gè)上三角矩陣的乘積。求得正交矩陣Q和上三角陣R，Q和R滿足A=QR。

格式：

[Q,R]=qr(A)第55頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[123;456;789;101112];>>[Q,R]=qr(A)Q=-0.0776-0.83310.5456-0.0478-0.3105-0.4512-0.69190.4704-0.5433-0.0694-0.2531-0.7975-0.77620.31240.39940.3748R=-12.8841-14.5916-16.29920-1.0413-2.082600-0.0000000第56頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六Cholesky(喬里斯基)分解若矩陣A為n階對稱正定陣,則存在唯一的對角元素為正的三角陣D，使得

第57頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六格式：

D=chol(A)第58頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：進(jìn)行Cholesky分解。>>A=[1648;45-4;8-422];>>D=chol(A)D=41202-3003第59頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六利用矩陣的LU、QR和cholesky分解求方程組的解

（1）LU分解：A*X=b變成L*U*X=b所以X=U\(L\b)這樣可以大大提高運(yùn)算速度。例：求方程組的一個(gè)特解。解：>>A=[42-1;3-12;1130];>>B=[2108]';>>D=det(A)%非滿秩矩陣D=0第60頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>[L,U]=lu(A)L=0.3636-0.50001.00000.27271.000001.000000U=11.00003.000000-1.81822.0000000.0000第61頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>X=U\(L\B)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.018587e-017.X=1.0e+016*%結(jié)果中的警告是由于系數(shù)行列式為零產(chǎn)生的。-0.4053%可以通過A*X驗(yàn)證其正確性。

1.48621.3511>>A*X%Matlab7.0顯示沒有解ans=088第62頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六（2）Cholesky分解若A為對稱正定矩陣，則Cholesky分解可將矩陣A分解成上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積，方程A*X=b變成R’*R*X=b所以X=R\(R’\b)（3）QR分解對于任何長方矩陣A，都可以進(jìn)行QR分解，其中Q為正交矩陣，R為上三角矩陣的初等變換形式，即：A=QR方程A*X=b變形成QRX=b所以X=R\(Q\b)

這三種分解，在求解大型方程組時(shí)很有用。其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算速度快、可以節(jié)省磁盤空間、節(jié)省內(nèi)存。第63頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六三個(gè)變換在線性方程組的迭代求解中，要用到系數(shù)矩陣A的上三角矩陣、對角陣和下三角矩陣。此三個(gè)變換在MATLAB中可由以下函數(shù)實(shí)現(xiàn)。上三角變換：格式triu(A,1)對角變換：格式diag(A)下三角變換：格式tril(A,-1)例：對此矩陣做三種變換。第64頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>A=[12-2;111;221];％>>triu(A,1)ans=02-2001000>>tril(A,-1)ans=000100220>>b=diag(A);b'ans=111第65頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.3迭代解法的幾種形式

5.3.1Jacobi迭代法方程組Ax=bA可寫成A=D-L-U其中:D=diag[a11,a22,…,ann],-L、-U分別為A的嚴(yán)格下、上三角部分（不包括對角線元素）.由Ax=b＝>x=Bx+f由此可構(gòu)造迭代法：x(k+1)=Bx(k)+f其中：B=D-1(L+U)=I-D-1A,f=D-1b.第66頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六functiony=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endn第67頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：用Jacobi方法求解，設(shè)x(0)=0,精度為10-6。>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>jacobi(a,b,[0;0;0])n=11ans=0.99580.95790.7916第68頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.3.2Gauss-Seidel迭代法由原方程構(gòu)造迭代方程x(k+1)=Gx(k)+f其中：G=(D-L)-1U,f=(D-L)-1bD=diag[a11,a22,…,ann],-L、-U分別為A的嚴(yán)格下、上三角部分（不包括對角線元素）.第69頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六functiony=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endn第70頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：對上例用Gauss-Seidel迭代法求解>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>seidel(a,b,[0;0;0])n=7ans=0.99580.95790.7916例：分別用Jacobi和G-S法迭代求解,看是否收斂。第71頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>a=[12-2;111;221];b=[9;7;6];>>jacobi(a,b,[0;0;0])n=4ans=-27268>>seidel(a,b,[0;0;0])n=1011ans=1.0e+305*-InfInf-1.7556第72頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.3.3SOR迭代法在很多情況下，J法和G-S法收斂較慢，所以考慮對G-S法進(jìn)行改進(jìn)。于是引入一種新的迭代法－逐次超松弛迭代法（SuccesiseOver-Relaxation),記為SQR法。迭代公式為：X(k+1)=(D-wL)-1((1-w)D+wU)x(k)

+w(D-wL)-1b其中：w最佳值在[1,2）之間，不易計(jì)算得到，因此w通常有經(jīng)驗(yàn)給出。第73頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六functiony=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);M=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);f=(D-w*L)\b*w;y=M*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=M*x0+f;n=n+1;endn第74頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：上例中，當(dāng)w=1.103時(shí)，用SOR法求解原方程。>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>sor(a,b,1.103,[0;0;0])n=8ans=0.99580.95790.7916第75頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.3.4兩步迭代法當(dāng)線性方程系數(shù)矩陣為對稱正定時(shí)，可用一種特殊的迭代法來解決，其迭代公式為：（D-L）x(k+1/2)=Ux(k)+b（D-U）x(k+1)=Lx(k+1/2)+b=>x(k+1/2)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1bx(k+1)=(D-U)-1Lx(k+1/2)+(D-U)-1b第76頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六functiony=twostp(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G1==(D-L)\U;f1=(D-L)\b;G2==(D-U)\L;f1=(D-U)\b;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=n+1;endn第77頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：求解方程組>>a=[10-120;-111-13;2-1103;03-18];>>b=[6;25;-11;15];>>twostp(a,b,[0;0;0;0])n=7ans=1.07911.9824-1.40440.9560第78頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.4線性方程組的符號(hào)解法在MATLAB的SymbolicToolbox中提供了線性方程的符號(hào)求解函數(shù)，如

linsolve(A,b)%2009a/b只能求數(shù)值解等同于X=sym(A)\sym(b).

solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')第79頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]；>>b=[9;7;6]；>>linsolve(A,b)ans=

0.99580.95790.7916第80頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>[x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0','x','y')

x=[1][3]

y=[1][-3/2]

第81頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.5稀疏矩陣技術(shù)稀疏矩陣的建立：格式S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn階的稀疏矩陣，以向量i和j為坐標(biāo)的位置上對應(yīng)元素值為s。例：>>n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n)a1=(1,1)4(2,2)4(3,3)4(4,4)4(5,5)4第82頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2=(2,1)1(3,2)1(4,3)1(5,4)1>>full(a2)ans=0000010000010000010000010第83頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：n=5,建立主對角線上元素為4，兩條次對角線為1的三對角陣。>>n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);>>a=a1+a2+a2'a=(1,1)4(2,1)1(1,2)1(2,2)4(3,2)1(2,3)1(3,3)4(4,3)1第84頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六(3,4)1(4,4)4(5,4)1(4,5)1(5,5)4>>full(a)ans=4100014100014100014100014第85頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六格式A=spdiags(B,d,m,n)生成一mxn階的稀疏矩陣，使得B的列放在由d指定的位置。例：>>n=5>>b=spdiags([ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1)],…[-1,0,1],n,n);>>full(b)ans=4100014100014100014100014第86頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六格式：spconvert(dd)對于無規(guī)律的稀疏矩陣，可使用此命令由外部數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣。調(diào)用形式為：先用load函數(shù)加載以行表示對應(yīng)位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣。例：無規(guī)律稀疏矩陣的建立。首先編制文本文件sp.dat如下：515.00358.00442.00550第87頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>loadsp.dat>>spconvert(sp)ans=(5,1)5(4,4)2(3,5)8>>full(ans)ans=0000000000000080002050000第88頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六稀疏矩陣的計(jì)算：同滿矩陣比較，稀疏矩陣在算法上有很大的不同。具體表現(xiàn)在存儲(chǔ)空間減少，計(jì)算時(shí)間減少。例：比較求解下面方程組n＝1000時(shí)兩種方法的差別。第89頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六>>n=1000;>>a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);>>a=a1+a2+a2';>>b=ones(1000,1);>>tic;x=a\b;t1=toct1=0.4800>>a=full(a);>>tic;x=a\b;t2=toct2=1.3220第90頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六4.6矩陣的特征值問題

4.6.1一般矩陣的特征值與特征向量格式：d=eig(A)只求解特征值。格式：[V,D]=eig(A)求解特征值和特征向量。第91頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六例：直接求解：>>A=[162313;511108;97612;414151];>>eig(A)ans=34.00008.9443-8.94430.0000第92頁，共99頁，2023年，2月20日，星期六精確解：>>eig(sym(A))ans=[0][34][4*5^(1/2)][-4*5^(1/2)]高精度數(shù)值解：>>vpa(ans,70)ans=[0][