初二數(shù)學(xué)培優(yōu)之等腰三角形的性質(zhì)

初二數(shù)學(xué)優(yōu)之等腰三形的性質(zhì)閱讀與考等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等、直線位關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)．因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問題時，除了要運用全三角形知識方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟以下基本圖形、基本結(jié)論．⑴圖，

A

，

∠C

180A2

，

∠B∠

．⑵圖，只要下述四個條件：①

②

；③

；④

AD⊥

中任意兩個成立，就可以推出其余兩個成立．B

DA圖1

AC圖2

C例題與解【1】如圖在ABC中D在上E在AB上且，=BDAD=BE則∠A=___________（五城市聯(lián)賽試題）解思：中有很多相關(guān)的角，用的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于的等式．AE

DB

C【2】如圖，△ABC中，已知∠BAC=90，AB=ACD為AC中BD于E，延長AE交BC于F求證：ADB=∠CDF．（安徽省競賽試題）解思：與對應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高中是一條常用的輔線．AE

DB

F

C

【3】圖，在中AC=BC∠=900D上點，且AE垂直BD的長線于E，又=

12

，求證BD是角平分線．（北京市競賽試題）解思：ABC的平分線與邊的高重合，故應(yīng)作輔助線補全圖形，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．AE

DC

B【】圖在△中∠BAC=BCA

M△內(nèi)一點∠MCA0

∠=16，求∠BMC度．（北京市競賽試題）BMA解思：等腰△ABC的對稱軸(如圖，通過計算，證明全等三角形，又0

+16

=60

；可以AB為邊，向點C所的一側(cè)作等邊ABN，連結(jié)，MN(圖；或以為一邊，向點所的一側(cè)作等邊，結(jié)BN如圖．B

B

NO

BA

MD圖1

C

A

MN圖2

C

A

M圖3

C

【5如圖，ABC是邊長為的邊三角形，是頂角∠=120

的等腰三角形，以D為頂點作一個的周長等于．

角的邊分別交AB于M交AC于結(jié)MN成一個三角形求eq\o\ac(△,：)（天津市競賽試題）解思：證的長等于2只需證明BM+CN考慮用補短法證明．AM

NB

CD【】圖，ABC中，∠ABC，D是邊上一點，DCAB∠DAB0

，試確定∠的度數(shù)．（北京市競賽試題）解思：本題的關(guān)鍵是利用DC=AB一條件．ABDC能力訓(xùn)A級如等腰三角形腰上的高另一腰的夾角為45

那這個等腰三角形的底角為_____________．．如圖，已知∠=15，AB==CD=DE，∠FEM．．如圖，在等邊ABC的，BC邊各取一點、Q使=，AQ，BP相交于點O則∠=____________.．如圖，在中∠BCA=90

，∠=60，=4在的長線取點，，則D，B兩之間的距離．A

BC

E

M

O

PA

BD(第題)

F

N

B

Q(第題

C

D

A(第題)

C

．如圖，在中，，D為上點=CDCE，那么∠EDF等（）A900

-

12

∠

B900

-∠AC．1800-∠A

D．0

12

∠．如圖，在中，ACB=90A600C．AF

，=AE，=BF，則ECF（B450D．確

）（安徽省競賽試題）E

A

F

EB

C

C

B第5題

第題．△一個內(nèi)角的大小是40，且∠=∠B，那么∠C的角的大小是（）A．

B800

或100

C．1000

或1400

D．

或．三角形三邊長，b，c滿

111abca

(“希望杯”邀請賽試題)，則三角形一定是（）A等邊三角形

B以

為底邊的等腰三角形C．

為底邊的等腰三角形D等三角形（北京市競賽試題）．如圖，在中，D，分是腰ABAC延長上的點，且BD，連結(jié)交BC于，求證DG=EG（湖北省競賽試題）ADB

G

CE

DEFCEFDEFCEFDEFCEFDEFCEF．如圖，在，∠BAC0AB，BE平分ABCCE⊥，求證CE=

12

．（江蘇省競賽試題）AEDBC．已知eq\o\ac(△,Rt)ABC中=，∠=90，為邊中點，∠EDF=90

，將∠EDF點轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，BC(或它們的延長線于F，當(dāng)∠繞D點轉(zhuǎn)到DE于時如圖，易證：

12

，當(dāng)∠EDF繞D點轉(zhuǎn)到和AC垂直時，在圖和圖3這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．（牡丹江市中考試題）AA

ADE

D

DE

B

FC

F

B

C

F

C圖1

圖2

圖．如圖，在AB=AC∠BAC

，O為內(nèi)點，且OBC=10

，∠OCA=200

，求∠BAO的數(shù)．（天津市競賽試題）AOB

AEPAEPB級．如圖，在中，ABC，AM=ANCN=，則∠MNP．C

A

AN

EP

FA

M(第題)

BB

P(第題)

C

BM

(第題)

N

C．如圖，在中AB=，∠BAC0直角∠的頂點是的點，兩邊PE，分別交ABAC于點出下個結(jié)論AE△等腰直角三角形S=

12

；④EF=AP當(dāng)∠在△ABC內(nèi)繞頂點旋時點E不A，重．上述結(jié)論正確的是____________（蘇州市中考試題）．如圖，在ABC中，N為邊兩點，并且BAM∠CAN，則∠的度數(shù)_．．如圖，在中AB=AC∠BAC與∠的分線相交于D，∠ADC0

，那么CAB的大小是（）A．80

B

．40

D．20A

MA

CDD

EB

(第題)

C

B

D(第題)

C

(第題)

B．如圖，在中，BAC，⊥于，且ABBD=，則∠大小是（）A200

B250

C．

D．45．如圖，在ABCACBC，∠ACB=900平∠交BD⊥于DDM⊥AC交AC的長線于，連，下列四個結(jié)論：①∠ADC=450

；②BD=

12

；③+=；④ABMC．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個B．個C．個D．個如已△等邊三角形延至D延BA至并且使AE連CEDE求證：．EAB

C

D

．如圖，△中已知∠C=600

，＞BC又△ABC、eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BCeq\o\ac(△,)都eq\o\ac(△,是)ABC外的等邊三角形，而點D在AC上且BC=DC⑴證：eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)DC⑵證：eq\o\ac(△,)D≌eq\o\ac(△,)；⑶對△ABC△ABC、eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC、eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)，面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？（江蘇省競賽試題）CABDB

CA．在ABC中，已知=，過某頂點的直線可將ABC分兩個等腰三角形，試求△ABC各內(nèi)