曲率函數(shù)圖形的描繪市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

§3.7曲率弧微分曲率及其計算公式曲率圓與曲率半徑小結(jié)思考題作業(yè)(curvature)(arcelement)第1頁第1頁

前面講了單調(diào)性、極值、最值、凹凸性。我們知道凹凸性反應(yīng)是曲線彎曲方向，但是朝同一方向彎曲兩條曲線，其彎曲程度也不盡相同。曲率就是表征彎曲程度量，它等于單位路程上方向（角度——切線傾斜角）改變量。2第2頁第2頁一、弧微分

要求3為了得出曲線y=

f(x)曲率公式,先計算弧長函數(shù)s(x)對x微分,稱為弧微分.第3頁第3頁4單調(diào)增函數(shù).如圖，于是弧s增量為那末第4頁第4頁5取極限,即又得弧微分公式為單調(diào)增函數(shù),第5頁第5頁6如將代入公式,得弧微分公式可化為參數(shù)方程形式如曲線以極坐標(biāo)方程給出如曲線為參數(shù)方程寫到根式內(nèi),得第6頁第6頁二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）量。))弧段彎曲程度越大,轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同，弧段越短，彎曲程度越大1.曲率定義)第7頁第7頁)yxo（設(shè)曲線C是光滑，（定義曲線C在點M處曲率8第8頁第8頁例1(1)直線曲率(2)圓上各點處曲率

直線曲率處處為零;圓上各點處曲率等于半徑倒數(shù).圓半徑越小曲率越大.9第9頁第9頁2.曲率計算公式10(1)(2)第10頁第10頁例2解顯然,11第11頁第11頁例3

曲率最小？t為何值時,曲線

求出最小曲率,

寫出該點曲率半徑.解

要使K(t)最小,

等價于

最大,

故當(dāng)

即曲率最小,

且,|2sin|41ta,1|2sin|=t|2sin|t

擺線第12頁第12頁三、曲率圓與曲率半徑定義13第13頁第13頁1.曲線上一點處曲率半徑與曲線在該點處曲率互為倒數(shù).注意:2.曲線上一點處曲率半徑越大,曲線在該點處曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).3.曲線上一點處曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近二次近似).曲率圓y=y(x)與曲線y=f(x)關(guān)系:①過同一點②有公切線③圓弧與曲線在該點處曲率相等，且彎曲方向相同14第14頁第14頁

例4

設(shè)工件表面截線為拋物線y0.4x2.現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面.問用直徑多大砂輪才比較適當(dāng)？

解

砂輪半徑不應(yīng)不小于拋物線頂點處曲率半徑

拋物線頂點處曲率半徑為

r=K-11.25

因此,選取砂輪半徑不得超出1.25單位長即直徑不得超出2.50單位長

y0.8x

y0.8

y|x00

y|x00.8

把它們代入曲率公式得15第15頁第15頁四、小結(jié)利用微分學(xué)理論,研究曲線和曲面性質(zhì)數(shù)學(xué)分支——微分幾何學(xué).基本概念:弧微分,曲率,曲率圓.曲線彎曲程度描述——曲率;曲線弧近似代替曲率圓(弧).16第16頁第16頁作業(yè)習(xí)題3-7(175頁)3.5.第17頁第17頁圖形描繪環(huán)節(jié)作圖舉例漸近線(asymptoticline)§3.6函數(shù)圖形描繪18第18頁第18頁

現(xiàn)在我們還不能較好地作出函數(shù)圖形,由于還不知道如何求曲線漸近線.中學(xué)就會求了.第19頁第19頁若動點P沿著曲線y=f(x)某一方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點時,動點P到始終線L距離趨于零,則稱此直線L為曲線y=f(x)一條漸近線.

一、曲線漸近線定義第20頁第20頁曲線漸近線水平漸近線垂直漸近線第21頁第21頁1.鉛直漸近線鉛直漸近線.或(垂直于x軸漸近線)222.水平漸近線水平漸近線.或(b為常數(shù))(平行于x軸漸近線)=)(limxf兩種漸近線定義第22頁第22頁*3

斜漸近線斜漸近線若(P75題13)函數(shù)圖形描繪第23頁第23頁第24頁第24頁

曲線能夠穿過其漸近線.解例1第25頁第25頁解例2第26頁第26頁例.

求曲線漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.第27頁第27頁利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.擬定函數(shù)定義域、值域、間斷點,函數(shù)是否有奇偶性、周期性.鑒定和拐點,討論函數(shù)單調(diào)性和極值,曲線凹凸性漸近線.

適當(dāng)計算曲線上一些點坐標(biāo),是否與坐標(biāo)軸是否有交點.尤其注意123函數(shù)圖形描繪二、圖形描繪環(huán)節(jié)28第28頁第28頁29例解非奇非偶函數(shù),三、作圖舉例第29頁第29頁不存在拐點極小值間斷點無斜漸近線.列表擬定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:30第30頁第30頁作圖拐點極小值補充點不存在拐點極小值間斷點水平漸近線:垂直漸近線:函數(shù)圖形描繪第31頁第31頁解極大拐點例第32頁第32頁曲線無水平漸近線.第33頁第33頁第34頁第34頁練習(xí)

解

(1)函數(shù)定義域為(

3)(3

)

令f

(x)0得x3

令f

(x)0得x6(3)曲線性態(tài)分析表:(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)x

f(x)

f(x)

yf(x)圖形－－－－－－－－＋＋00↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐點4極大

(4)曲線有鉛直漸近線x=-3與水平漸近線y=1(5)特殊點函數(shù)值

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4函數(shù)圖形描繪第35頁第35頁63912-3-6-9-12-153-3(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)x

yf(x)圖形↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐點4極大

鉛直漸近線為x=-3,水平漸近線為y=1

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

y=1x=-3(3,4)(-1,-8)(-9,-8)

練習(xí)

解

函數(shù)性態(tài)分析表:第36頁第36頁37四、小結(jié)

利用一階、二階導(dǎo)數(shù)符號擬定函數(shù)升降、最大值最小值凹凸單增單減極大值拐點極小值非極值不可導(dǎo)極大值地描繪圖形基礎(chǔ).凹凸以及極值點和拐點是掌握函數(shù)性態(tài)、較準(zhǔn)確第37頁第37頁思考與練習(xí)

1.

曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.拐點為

,凸區(qū)間是

,2.

曲線凹區(qū)間是

,漸近線

.第38頁第38頁39解答提醒

1.

曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既