全國卷高考數(shù)學圓錐曲線大題集大全

全國卷高考數(shù)學圓錐曲線大題集大全本文為全國卷高考數(shù)學圓錐曲線大題集，涵蓋了圓錐曲線的所有知識點。共計。1.利用二次曲線的定義式求證：當曲線焦點在x軸正半軸時，該曲線為橢圓。證明：假設曲線的定義式為：$\\frac{(x-h)^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$h$為橢圓的中心點，$a$和$b$分別為橢圓的兩個軸長。由于曲線的焦點在x軸正半軸，因此可以表示為$(ae,0)$和$(-ae,0)$，其中$e$為橢圓的離心率。則根據(jù)離心率的定義，有$e=\\frac{c}{a}$，其中$c$為橢圓的焦距長度。因為曲線焦點在x軸正半軸，所以$c=ae$。代入上式可得：$\\frac{(x-h)^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1$，證畢。2.二次曲線$E:3x^2+8xy+3y^2-2x+4y-1=0$是否為橢圓？若是，求出橢圓的長軸、短軸長度和離心率。解：首先，為了判斷該曲線類型，可以計算其判別式$B^2-4AC$，其中$A=3,B=8,C=3$。$B^2-4AC=(8)^2-4\\times3\\times3=4>0$，因此該曲線為二次曲線。接著，為了確定其類型，可以計算其方程$3\\lambda^2-(2-8\\mu)\\lambda+3\\mu^2+4\\mu-1=0$的根。其中，$\\lambda$表示特征方程的系數(shù)，$\\mu$表示特征方程的常數(shù)項。計算得到該曲線的特征方程的兩個根為$\\lambda_1=\\frac{1}{3},\\lambda_2=1$。因為$\\lambda_1<0,\\lambda_2>0$，所以該曲線為橢圓。根據(jù)公式，可以求出橢圓的長軸和短軸長度：$a=\\sqrt{\\frac{2}{3\\lambda_1}}=\\sqrt{\\frac{2}{\\frac{2}{3}}}=\\sqrt{3}$$b=\\sqrt{\\frac{2}{3\\lambda_2}}=\\sqrt{\\frac{2}{2}}=1$同時，根據(jù)離心率的定義，可以求出離心率：$e=\\sqrt{1-\\frac{b^2}{a^2}}=\\sqrt{1-\\frac{1}{3}}=\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$3.二次曲線$E:9x^2-8xy+9y^2+16x-16y+17=0$是否為雙曲線？若是，求出其漸近線方程。解：為了判定該曲線類型，可以計算判別式$B^2-4AC$：$B^2-4AC=(-8)^2-4\\times9\\times9=-44<0$因此該曲線為雙曲線。根據(jù)雙曲線方程的標準形式，可以將其化為標準形式：$\\frac{(x-\\frac{4}{3})^2}{(\\frac{4}{3})^2}-\\frac{(y-\\frac{4}{3})^2}{(\\frac{1}{3})^2}=1$同時，根據(jù)雙曲線方程的定義，可以求出其漸近線方程：$y=\\pm\\frac{a}x$其中，$a=\\frac{4}{3}$，$b=\\frac{1}{3}$。因此，該雙曲線的漸近線方程為$y=\\pm\\frac{1}{4}x$。4.一根鐵棒長40cm，經(jīng)過加熱后以其中點為圓心彎成圓弧，則該圓弧的半徑是6cm。鐵棒的長、短軸對應圓弧造成的角度分別為多少？解：設該圓弧中心角為$\\alpha$，則有：$\\frac{\\alpha}{360^\\circ}\\times2\\pir=\\frac{1}{2}\\times2\\pir$解得$\\alpha=60^\\circ$因為該圓弧的半徑為6cm，所以長軸的長度為12cm，短軸的長度為4cm。由于鐵棒中點處在橢圓中心點處，則長軸與鐵棒的夾角為$\\frac{\\alpha}{2}=30^\\circ$，所以長軸對應的圓弧長度為：$\\frac{\\alpha}{360^\\circ}\\times2\\pir=\\frac{1}{6}\\times2\\pi\\times6=2\\picm$同理，短軸對應的圓弧長度為：$\\frac{1}