線性微分方程組-第6次習(xí)題課

線性微分方程組§1存在唯一性定理一、線性微分方程組的有關(guān)概念1線性微分方程組的定義定義形如的微分方程組,稱為一階線性微分方程組.稱為(5.1)的通解.2函數(shù)向量和函數(shù)矩陣的有關(guān)定義(1)n維函數(shù)列向量定義為注:對(duì)向量或矩陣的代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì),對(duì)于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣成立.(2)函數(shù)向量和矩陣的連續(xù),微分和積分的概念可微函數(shù)可微可積函數(shù)可積此時(shí),它們的導(dǎo)數(shù)與積分分別定義為注:關(guān)于函數(shù)向量與矩陣的微分,積分運(yùn)算法則,和普通數(shù)值函數(shù)類似.(3)矩陣向量的范數(shù)定義(4)向量或矩陣序列的斂散性(一致收斂),(一致收斂).(一致收斂),(一致收斂).如果上一致收斂.3一階線性微分方程組的向量表示對(duì)一階線性微分方程組:則(5.1)可寫成(1)定義1(2)定義2初值問題例1驗(yàn)證向量是初值問題解:顯然4n階線性微分方程的初值問題與一階線性微分方程

組的初值問題關(guān)系對(duì)n階線性微分方程的初值問題若令:則有:而且:即方程(5.6)可化為顯然:且:事實(shí)上,由知即且即初值問題(5.6)與(5.7)的解等價(jià),即給出其中一個(gè)初問題的解,可構(gòu)造另一個(gè)初值問題的解.例2將初值問題化為與之等價(jià)的一階微分方程組的初值問題.解:設(shè)則有即有也即注:每一個(gè)n階線性微分方程可化為n個(gè)一階線性微分方程構(gòu)成方程組,反之卻不成立.如:方程組不能化為一個(gè)二階微分方程.二、存在唯一性定理1存在唯一性定理2存在唯一性定理的證明證明共分五步完成第一步

第二步

證明向量函數(shù)在區(qū)間上有定義且連續(xù)．命題２

第三步由考慮向量函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：設(shè)

則第四步設(shè)即證明積分方程的連續(xù)解的唯一性.

第五步３n階線性微分方程的解存在唯一性定理推論§2線性微分方程組的一般理論一階線性微分方程組:稱(5.15)為一階齊線性微分方程組.非齊線性微分方程組.一齊次線性微分方程組1疊加原理定理2證明:則有所以2函數(shù)向量組線性相關(guān)與無(wú)關(guān)證明:例1證明:函數(shù)向量組在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的.證明:要使例2證明:函數(shù)向量組則需因?yàn)樗怨示€性無(wú)關(guān).3函數(shù)向量組線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的判別準(zhǔn)則(1)Wronsky行列式由這n個(gè)向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式稱為這n個(gè)向量函數(shù)所構(gòu)成的Wronsky行列式(2)定理3證明:相關(guān),(3)定理4證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理2知,由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:(4)定理5(5.15)一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在滿足初始條件且4通解結(jié)構(gòu)及基本解組定理6證明:由已知條件,又因?yàn)閺亩芍此鼈儤?gòu)成n維線性空間的基,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有即推論1(5.15)的線性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n.基本解組:為(5.15)的一個(gè)基本解組.注1:(5.15)的基本解組不唯一.注2:(5.15)所有解的集合構(gòu)成一個(gè)n維線性空間.注3:由n階線性微分方程的初值問題(5.6)與線性微分方組的初值問題(5.7)的等價(jià)性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線性微分方程去.首先有:線性相關(guān).證明:即有即向量組(*)是線性相關(guān)的.反之,如果向量組(*)是線性相關(guān),當(dāng)然有從而,從4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,從本節(jié)定理3,4,5立即分別推出第四章定理3,4,5.從本節(jié)定理6立即得到推論25解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義則稱這個(gè)矩陣為(5.15)的解矩陣.則稱該解矩陣為(5.15)的基解矩陣.基解矩陣----以基本解組為列構(gòu)成的矩陣.由定理5,6得由定理3,4得注1:行列式恒等于零的矩陣列向量未必線性相關(guān).如矩陣注2:例3驗(yàn)證是方程組的基解矩陣.解:由于又由于證明:證明:于是有由此可得即有例4驗(yàn)證是方程組基解矩陣,并求其通解.解:又由于其通解為二非齊次線性微分方程組1非齊線性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)32通解結(jié)構(gòu)定理定理7這里C是確定的常數(shù)列向量.證明:由性質(zhì)2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量.3常數(shù)變易公式則(5.15)的通解為其中C是任意的常數(shù)列向量,下面尋求(5.14)形如的解,把(5.24)代入(5.14),得(1)一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式從而反之,可驗(yàn)證(5.26)是方程組(5.14)滿足初始條件的特解.因此,(5.24)變?yōu)槎ɡ?(1)向量函數(shù)是(5.14)的解,且滿足初始條件(2)方程組(5.14)的通解為注1:注2:公式(5.26)或(5.27)稱為(5.14)的常數(shù)變易公式.例5求方程組的通解.解:由例4知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,由(5.26)得方程的特解為所以,原方程的通解為例6試求初值問題的解.解:由例3知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,故方程滿足初始條件的解是(2)n階線性微分方程的常數(shù)變易公式則(5.7)對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組為從而其基解矩陣為推論3的基本解組,那么非齊線性方程的滿足初始條件解為公式(5.29))稱為(5.28)的常數(shù)變易公式.方程(5.28)的通解可表為但是而通解是例7試求方程的一個(gè)解.解:易知對(duì)應(yīng)齊線性方程的基本解組為由(5.31)求方程的一個(gè)解,這時(shí)故所以也是原方程的一個(gè)解.§3常系數(shù)線性方程組一階常系數(shù)線性微分方程組:本節(jié)主要討論(5.33)的基解矩陣的求法.一、矩陣指數(shù)expA的定義和求法1expA的定義定義注1:矩陣級(jí)數(shù)(5.34)是收斂的.由于而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.注2:級(jí)數(shù)在t的任何有限區(qū)間上是一致收斂的.由于而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.2矩陣指數(shù)的性質(zhì)由于:絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理由于:由于:3常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣(1)定理9矩陣是(5.33)的基解矩陣,且證明:又因?yàn)槔?如果A是一個(gè)對(duì)角矩陣解由(5.34)得例2解因?yàn)槎竺鎯蓚€(gè)矩陣是可交換的故(2)基解矩陣的一種求法則其中注1:二基解矩陣的計(jì)算公式類似第四章4.2.2,尋求形如將(5.43)代入(5.33)得1基解矩陣與其特征值和特征向量的關(guān)系方程(5.44)有非零解的充要條件是:結(jié)論即例3解的根,解得解得例4解特征方程為為求其對(duì)應(yīng)的特征向量考慮方程組解得2基解矩陣的計(jì)算方法---常系數(shù)線性微分方程組的解法(1)矩陣A具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)定理10是常系數(shù)線性微分方程組的一個(gè)基解矩陣.證明:由上面討論知,每一個(gè)向量函數(shù)都是(5.33)的解,因此矩陣是(5.33)的解矩陣,所以例5解由例3知由定理10,矩陣就是一個(gè)基解矩陣.注:但由于有從而例6

試求例5的實(shí)基解矩陣.解由于基解矩陣為故實(shí)基解矩陣為求例5滿足初始條件的解解由于基解矩陣為故該方程的通解為從而由初始條件有故例7

求方程組的通解.解因此特征根為它們相的特征向量為故基解矩陣為故通解為(2)矩陣A的特征根有重根時(shí)分量是無(wú)窮級(jí)數(shù)難!分量表為t的指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積有限項(xiàng)組合的解產(chǎn)生的,由于由(5.49)有由(5.51)有注1:故注2:其中例8

試解初值問題解從例4知,利用公式(5.53)即得或者分別令例9

如果解直接計(jì)算可得因此由公式(5.53)可得例10

求方程組滿足初始條件解這里系數(shù)矩陣特征根為由(5.48)我們需要考慮下面方程和首先討論這個(gè)方程組的解為其次這個(gè)方程組的解為解之得代入上式得到三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,利用這三個(gè)解為列,即得(3)非齊線性方程的解下面研究非齊線性微分方程組由于(5.60)對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣為故由常數(shù)變易公式,例10

設(shè)的解.解由例6知故初值問題的解為三拉普拉斯變換的應(yīng)用(1)定義定義其拉普拉斯變換為常系數(shù)線性微分方程組:1用拉普拉斯變換解微分方程組(2)定理12(3)推論