2023屆山東省高三年級下冊學(xué)期開學(xué)考試聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆山東省高三下學(xué)期開學(xué)考試聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，再根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算求解即可.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，所以，所以故選：D2．設(shè)集合，則的所有子集的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解不等式得，再根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：解不等式得，解不等式得，由于,所以，，所以，的所有子集的個數(shù)為個.故選：C3．設(shè)隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】解：因為隨機(jī)變量，所以，因為，所以，所以，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，.故選：A4．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，則向上的點數(shù)為3個互不相同的偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)計數(shù)原理，排列的應(yīng)用，古典概型求解即可.【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，共有種不同結(jié)果，其中向上的點數(shù)為3個互不相同的偶數(shù)的情況為點數(shù)為的排列，故有種，所以，向上的點數(shù)為3個互不相同的偶數(shù)的概率為.故選：D5．已知等邊三角形的邊長為1，動點滿足．若，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【分析】利用平方的方法化簡已知條件，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】，由兩邊平方得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以的最小值為.故選：B6．克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線長的乘積等于兩組對邊長乘積之和．已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】由托勒密定理求出，設(shè)圓的半徑為，由正弦定理可得，即可得到，再根據(jù)及二倍角公式求出，即可求出，從而得解.【詳解】解：由托勒密定理，得．因為，所以．設(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因為，所以，因為，所以，所以，所以，則，故．故選：B7．已知正方體的棱長為3，點滿足．若在正方形內(nèi)有一動點滿足平面，則動點的軌跡長為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在棱上分別取點，使得，，連接，證明平面平面即可得點的軌跡為線段，再計算長度即可.【詳解】解：如圖，在棱上分別取點，使得，，連接，因為，，所以，，因為平面，平面，所以平面，因為，，所以，，，因為，，所以，≌，≌，所以所以，四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面平面,所以，在正方形內(nèi)有一動點滿足平面時，點的軌跡為線段，因為所以，動點的軌跡長為故選：C8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式當(dāng)時，，進(jìn)而得，再討論與的關(guān)系即可判斷.【詳解】解：令，，則在上恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，即，；令，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，即，，所以，當(dāng)時，所以，，因為，所以所以，，即，即所以，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用時，，結(jié)合二倍角公式，比較與的關(guān)系判斷.二、多選題9．已知雙曲線和圓，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．當(dāng)時，雙曲線與圓沒有公共點D．當(dāng)時，雙曲線與圓恰有兩個公共點【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷A、B，求出圓心到漸近線的距離，即可判斷C，設(shè)雙曲線上的點的坐標(biāo)為，表示出的距離，即可得到圓心到雙曲線上的點的距離的最小值，從而判斷D.【詳解】解：由已知得，，則，所以雙曲線的離心率，故選項A正確；雙曲線的漸近線方程為，即，故選項B錯誤；因為圓心到雙曲線的漸近線的距離，所以當(dāng)時，圓與雙曲線的漸近線相切，此時雙曲線與圓沒有公共點，故選項C正確；設(shè)雙曲線上的點的坐標(biāo)為，，則圓心到點的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以圓心到雙曲線上的點的距離的最小值為，且雙曲線上只有兩個點到圓心的距離為，所以當(dāng)時，雙曲線與圓恰有兩個公共點，故選項D正確．故選：ACD10．已知函數(shù)．若曲線經(jīng)過點，且關(guān)于直線對稱，則（

）A．的最小正周期為 B．C．的最大值為2 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】由題知，進(jìn)而得，，再結(jié)合題意得，進(jìn)而再討論各選項即可得答案.【詳解】解：因為曲線關(guān)于直線對稱，所以，即，解得，所以，，所以，的最小正周期為，故A選項正確；因為曲線經(jīng)過點，所以，解得，所以，，故B選項正確；所以，的最大值為，故C選項錯誤；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D選項正確.故選：ABD11．在數(shù)列中，若對于任意，都有，則（

）A．當(dāng)或時，數(shù)列為常數(shù)列B．當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列，且C．當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列D．當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)數(shù)列【答案】ABC【分析】直接代入計算判斷A；由題知，，再依次討論BC選項即可判斷；根據(jù)無法確定符號判斷D.【詳解】解：對于A選項，由得，所以，當(dāng)時，，是常數(shù)列；當(dāng)時，是常數(shù)列，故A選項正確；對于B選項，，因為，所以，當(dāng)時，，即，同理可得，，所以，即，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，故B選項正確；對于C選項，當(dāng)時，由得，即由得，所以，，同理可得，所以，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，故C選項正確；對于D選項，當(dāng)時，由，即，由得，符號不確定，所以符號不確定，所以，當(dāng)時，數(shù)列的單調(diào)性無法確定，故錯誤.故選：ABC12．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對于任意，都有，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BCD【分析】依題意可得，再由奇偶性得到，從而得到，即可判斷A，由，可得，再由，即可求出，從而判斷B，再結(jié)合奇偶性的定義判斷C、D.【詳解】解：由，得．由是奇函數(shù)，得，即，所以，即，所以，故選項A錯誤；由，得，由，得，所以，故選項B正確；由，，得，即為偶函數(shù)，故選項C正確；由，，得，則，即為奇函數(shù)，故選項D正確．故選：BCD三、填空題13．寫出曲線過點的一條切線方程__________．【答案】或（寫出其中的一個答案即可）【分析】首先判斷點在曲線上，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，再說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值，從而得到曲線的另一條切線方程.【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．因為當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標(biāo)，所以直線也符合題意．故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）14．已知橢圓，直線交于兩點，點，則的周長為__________．【答案】【分析】由題知為等邊三角形，直線過點，且傾斜角為，進(jìn)而得直線為邊的中垂線，再根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】解：由題知，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為所以，由得，所以，為等邊三角形，且因為，當(dāng)時，解方程得，所以，直線過點，且傾斜角為，即，所以，直線為為等邊三角形中角的角平分線，所以，直線為邊的中垂線，所以，因為所以，的周長為，故答案為：15．設(shè)奇函數(shù)的定義域為，且對任意，都有．若當(dāng)時，，且，則不等式的解集為__________．【答案】【分析】由題知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，，，，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為解即可得答案.【詳解】解：設(shè)，且，則因為，當(dāng)時，，所以，因為對任意，都有．所以，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為不等式等價于不等式，即，因為對任意，都有，，所以，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得所以，所以，，，，，所以，當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為，所以，的解集為，所以，不等式的解集為故答案為：16．已知三棱錐的體積為6，且．若該三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則三棱錐的體積為__________．【答案】【分析】根據(jù)錐體體積公式結(jié)合條件可得，，兩兩互相垂直，取的中點，連接并延長至點，使，連接、、，則的中點即為球心，即可得到.【詳解】解：由已知得，，．設(shè)點到平面的距離為，則．又，所以，，兩兩互相垂直．取的中點，連接并延長至點，使，連接、、，則的中點即為球心，（四棱錐中底面，且為矩形，則四棱錐可以補(bǔ)形為以為底面的長方體，即為該長方體的一條體對角線，三棱錐的外接球即為四棱錐也即為該長方體的外接球）．因為點到平面的距離等于點到平面的距離的，而點到平面的距離等于點到平面的距離，所以．故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列滿足，求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系解方程得，進(jìn)而證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解即可；（2）由題知，進(jìn)而令，記數(shù)列的前項和為，則為與的和，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】（1）解：數(shù)列滿足所以，，解得，由得，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即所以，的通項公式為（2）解：因為，，所以，，，，所以，，令，設(shè)數(shù)列的前項和為，因為數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，所以，因為數(shù)列的前項和為與的和，，所以，.18．在中，，是邊上一點，．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出、，再在、、中分別利用正弦定理計算可得；（2）設(shè)，則，，由面積公式表示出、、，即可得到，從而得到，令，則，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的值域，即可得解.【詳解】（1）解：由，，可得，．在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得，所以．（2）解：由，得．設(shè)，則，，所以，，，則，故．設(shè)，則．因為，所以，則．設(shè)，，則．因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為，，所以，故的取值范圍為．19．為了促進(jìn)地方經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，國家鼓勵地方政府實行積極靈活的人才引進(jìn)政策，被引進(jìn)的人才，可享受地方的福利待遇，發(fā)放高標(biāo)準(zhǔn)的安家補(bǔ)貼費和生活津貼．某市政府從本年度的1月份開始進(jìn)行人才招聘工作，參加報名的人員通過筆試和面試兩個環(huán)節(jié)的審查后，符合一定標(biāo)準(zhǔn)的人員才能被錄用．現(xiàn)對該市1~4月份的報名人員數(shù)和錄用人才數(shù)（單位：千人）進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格．月份1月份2月份3月份4月份報名人員數(shù)/千人57錄用人才數(shù)/千人(1)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)假設(shè)該市對被錄用的人才每人發(fā)放2萬元的生活津貼（i）若該市5月份報名人員數(shù)為8000人，試估計該市對5月份招聘的人才需要發(fā)放的生活津貼的總金額；（ii）假設(shè)在參加報名的人員中，小王和小李兩人被錄用的概率分別為，．若兩人的生活津貼之和的均值不超過3萬元，求的取值范圍．附：經(jīng)驗回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為【答案】(1)(2)（i）1060萬元；（ii）【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，，即可求出b，，從而求出回歸直線方程；（2）（i）將代入（1）中回歸直線方程，求出，即可估計需要發(fā)放的生活津貼的總金額；（ii）設(shè)小王和小李兩人中被錄用的人數(shù)為，則的可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望，即可得到且，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，，所以，故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為．（2）（?。⒋?，得，所以（萬元），故估計該市對5月份招聘的人才需要發(fā)放的生活津貼的總金額為1060萬元．（ⅱ）設(shè)小王和小李兩人中被錄用的人數(shù)為，則的可能取值為，，，則，，，所以，則，解得．又，所以，則．故的取值范圍是．20．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點，，平面平面．(1)證明：平面平面；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)的中點為，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而得到平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得；（2）根據(jù)題意以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，從而求解.【詳解】（1）設(shè)的中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為在等邊三角形中，為的中點，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，因為，，，所以四邊形為矩形，即，，，所以，設(shè)，，，，以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，所以，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，則，，即，，取，，則，，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.21．已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，為的準(zhǔn)線上的一點，直線的斜率為的面積為1．(1)求的方程；(2)過點作一條直線，交于兩點，試問在上是否存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)直線的斜率為，得到，再根據(jù)的面積為求出，即可得解；（2）假設(shè)存在點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方．設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，又，，化簡，即可得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】（1）解：由題意知，設(shè)點的坐標(biāo)為，則直線的斜率為．因為直線的斜率為，所以，即，所以的面積，解得或（舍去），故拋物線的方程為．（2）解：假設(shè)存在點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方．由（1）得，拋物線