2023屆天津市武清區(qū)楊村高三年級下冊學(xué)期開學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆天津市武清區(qū)楊村高三下學(xué)期開學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義計算.【詳解】對于集合B，，；故選：B.2．?dāng)?shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，且可以無限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B3．函數(shù)的部分圖像大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)奇偶性及特殊點、特殊值即可.【詳解】因為定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，故排除選項B、D；當(dāng)時，令可得或，所以時，兩個相鄰的零點為和，當(dāng)時，，，，故排除選項A，故選：C.4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，可比較的大小，由于，結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得，即可得答案.【詳解】由題意可得，，由于，故，即；由于，故，而，故，所以.故選：D.5．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲~18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)該圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】由頻率直方圖中的小長方形的面積即為該范圍內(nèi)的頻率,先求出體重在的頻率,再由樣本的容量求人數(shù)即可.【詳解】解:由頻率直方圖得,體重在的頻率為,所求人數(shù)為.故選：C.6．從7個人中選4人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人員不重復(fù)，則不同安排方式的種數(shù)可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用分步計數(shù)原理.先選出2人安排在第一天，再選出2人安排在后兩天，將結(jié)果乘起來即可.【詳解】用分步計數(shù)原理.第一步，從7個人中選2人的負(fù)責(zé)值班第一天，不同安排方式的種數(shù)；第二步，剩余5人選取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的種數(shù).所以，不同安排方式的種數(shù)可表示為.故選：D.7．雙曲線的左、右頂點分別為，，為上一點，若點的縱坐標(biāo)為1，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】由題可知，設(shè)，則，，所以，又點的縱坐標(biāo)為1，，，所以，即，所以的離心率為.故選：.8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到如圖所示的奇函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列選項不正確的是（

）A．在區(qū)間上為增函數(shù) B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可知；根據(jù)圖象、的對稱軸和對稱中心可確定最小正周期，從而得到；由為奇函數(shù)可知，由此可得，從而確定的解析式；利用代入檢驗法可確定A正確；根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知B正確；結(jié)合的單調(diào)性可判斷出CD正誤.【詳解】由題意知：，由圖象可知：，則與是相鄰的對稱軸和對稱中心，，即，為奇函數(shù)，，解得：，又，，；對于A，當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)，A正確；對于B，，B正確；對于C，，，在上單調(diào)遞減，，，C正確；對于D，，，在上單調(diào)遞減，，，，即，D錯誤.故選：D.9．已知函數(shù)，若存在實數(shù)（且），使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨設(shè)，當(dāng)時，可得不存在實數(shù)滿足題意；當(dāng)時，可轉(zhuǎn)化為有大于1的實數(shù)根.構(gòu)造，求導(dǎo)，當(dāng)時，由的單調(diào)性可知不符合題意；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，可得.令,設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)及即可求解.【詳解】不妨設(shè)，當(dāng)時，，，故不存在實數(shù)（且），使得成立；當(dāng)時，若存在實數(shù)（且），使得成立，則方程，即有大于1的實數(shù)根.令，則.①若時，，則在上單調(diào)遞增，則，此時方程無解.②若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，則.令,設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減.又，所以，即時，不等式恒成立.設(shè)，，而，所以，即，所以，即.由于，所以，故存在實數(shù),使得有大于1的實數(shù)根，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、填空題10．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為______.【答案】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運算解求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，又復(fù)數(shù)z滿足，即，所以，解得：，則，所以的虛部為，故答案為：.11．的第三項的系數(shù)為____________．【答案】【分析】根據(jù)二項式的展開式的通項公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得的第三項為，故的第三項的系數(shù)為.故答案為：12．已知正數(shù)a、b滿足：直線與圓相切，則的最大值是______.【答案】【分析】由圓心到直線的距離等于半徑得，再根據(jù)不等式知識可求出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又因為，所以，即的最大值是.故答案為：13．棱長為的正方體的8個頂點都在球的表面上，，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為__．【答案】【分析】先求正方體外接球的半徑R，再根據(jù)過球心和點,的大圓的截面圖，可得直線被球截得的線段為，進(jìn)而可求解．【詳解】因為正方體內(nèi)接于球，所以，，過球心和點,的大圓的截面圖如圖所示，則直線被球截得的線段為，過點作于點，所以在中，．故答案為：三、雙空題14．一個盒子里有5個相同的球，其中2個紅球，2個黃球，1個綠球，每次從盒中隨機(jī)取出一個且不放回，則紅球首先被全部取完的概率為______；若紅球全部被取出視為取球結(jié)束，記在此過程中取到黃球的個數(shù)為，則______.【答案】

【分析】由題可知紅球首先被全部取完分兩種情況，紅球2次取完或紅球3次取完，結(jié)合古典概型概率公式即得；由題可知可能的取值為0，1，2，然后分別求概率，再利用數(shù)學(xué)期望公式即得.【詳解】由題可知紅球2次取完的概率為，紅球3次取完(前2次中有1次取到黃球)的概率為，所以紅球先取完的概率為；由題可知可能的取值為0，1，2，則，，，所以.故答案為：；.四、填空題15．已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則的最小值為___________．【答案】【解析】利用向量的加減法運算，求出，即可得出，運用向量的數(shù)量積運算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】解：由題可知，平行四邊形的圖象如下：設(shè)，，，，則，所以，又，則有：，解得：，即，平行四邊形的面積為，即，，，即：，，即：，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)：時，取等號，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的應(yīng)用，涉及向量加減法運算、向量的數(shù)量積運算和模以及運用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.五、解答題16．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式變形后可得角；（2）利用余弦定理再求得關(guān)系，然后求得．【詳解】（1）由，得，則，即．∵，∴，又，∴．（2）在中，，由余弦定理得，∵，∴，∴．17．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點．(1)求證：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)證明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求證BD⊥AM；(2)在點A處建立空間坐標(biāo)系，分別計算平面AFM與平面ACE的法向量，結(jié)合空間角與向量角的聯(lián)系計算即可.【詳解】（1）因為四邊形ADEF為正方形，所以AF⊥AD．又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因為AB＝AD，M線段BD的中點，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF兩兩垂直．分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz（如圖）．設(shè)AB＝1，則A，B，C，D，E，所以，，，設(shè)平面ACE的一個法向量為，則

即，令y＝1，則，則．由（1）知，為平面AFM的一個法向量．設(shè)平面AFM與平面ACE所成的銳二面角為，則．所以平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為．18．已知公比的絕對值大于1的無窮等比數(shù)列中的前三項恰為－32，－2，3，8中的三個數(shù)，為數(shù)列的前n項和．(1)求；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)(2)見詳解【分析】第（1）問先根據(jù)條件得出，代入后通過錯位相減法求得.第（2）問裂項相消法求得分析的最大值和最小值即可證明不等式.【詳解】（1）由已知中的前三項滿足，進(jìn)計算只有滿足題意，故，，解得.則

①②兩式相減得：則（2）由題意得：故的最大值即的最小值，即時的最大值，易知當(dāng)時，最大且小于0，則最小值為則最大值為同理：當(dāng)時，最小值為綜上可知：19．已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求C的方程；(2)經(jīng)過橢圓左頂點A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點，交y軸于點E，點P為線段AB的中點，若點E關(guān)于x軸的對稱點為H，過點E作OP（O為坐標(biāo)原點）垂直的直線交直線AH于點M，且APM面積為，求k的值．【答案】(1)(2)或1．【分析】（1）根據(jù)題意得出的值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，得出斜率，聯(lián)立方程組得出點的坐標(biāo)，利用點到直線距離公式，結(jié)合韋達(dá)定理將面積表示為關(guān)于的方程，解出即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，解得∴橢圓C的方程為．（2）易知，橢圓的左頂點，設(shè)直線l的方程為，則由消去y并整理，得．設(shè)，∴．∴∴，∴直線EM的斜率為∴直線EM方程為，直線AH的方程為．∴點∴點M到直線的距離為∴∴∵，解得或1．20．已知函數(shù).（I）若曲線在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（II）若在區(qū)間上存在極大值M，證明：.【答案】（1）；（2）證明見詳解.【分析】（I）由題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得到結(jié)果；（II）構(gòu)造函數(shù)，則，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用零點存在性定理可得函數(shù)的零點所在區(qū)間：和，則可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極大值，結(jié)合條件和基本不等式即可證明結(jié)論.【詳解】（I）由題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則.當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍為；（II）由（1）知當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則不存在極大值.當(dāng)時，.，令，則.令，則，則易知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.又，，（易知），，令，，所以在上