2023屆陜西省安康市高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月一模數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆陜西省安康市高三上學(xué)期12月一模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，則，,所以，故.故選：B.2．記集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式確定集合，然后再根據(jù)交集的定義求其交集即可.【詳解】或所以集合，，所以.故選：B.3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得正確答案.【詳解】由，得，所以.故選：C4．設(shè)，則成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】成立的一個(gè)必要不充分條件就是可以推出這個(gè)條件，但是這個(gè)條件并不能推出.依次對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】A:,是的充分條件，A錯(cuò)；B：為其反例，不是必要條件，B錯(cuò)；C：在上遞增，，是充要條件，C錯(cuò)；D：可得，又，可得，反之不一定成立，D對(duì)；故選：D5．在正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】平移到,再連接，再解三角形即可求出答案.【詳解】平移到,再連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，易得，，，由余弦定理得故選：A.6．已知函數(shù)，則該函數(shù)的圖象在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再賦值法求出，然后得到的函數(shù)解析式可得切點(diǎn)，后將數(shù)據(jù)代入點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，即切點(diǎn)所以切線方程為：，即.故選：A.7．記函數(shù)的最小正周期為T，若，且的最小值為1.則曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求得，根據(jù)的最小值求得，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱中心的求法求得正確答案.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)?，所以，所以，又函?shù)的最小值為1，所以，所以，令，所以對(duì)稱中心為，只有選項(xiàng)C符合題意（）.故選：C8．南京市地鐵S8號(hào)線經(jīng)擴(kuò)建后于2022年國(guó)慶當(dāng)天正式運(yùn)行，從起點(diǎn)站長(zhǎng)江大橋北站到終點(diǎn)站金牛湖站總行程大約為51.3千米，小張是陜西來南京游玩的一名旅客，從起點(diǎn)站開始，他利用手機(jī)上的里程表測(cè)出前兩站的距離大約為2千米，以后每經(jīng)過一站里程約增加0.1千米，據(jù)此他測(cè)算出本條地鐵線路的站點(diǎn)（含起始站與終點(diǎn)站）數(shù)一共有（

）A．18 B．19 C．21 D．22【答案】B【分析】由等差數(shù)列的求和公式求解即可【詳解】由題意設(shè)前兩站的距離為千米，第二站與第三站之間的距離為千米，…，第n站與第站之間的距離為千米，則是等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差，則，解得，則站點(diǎn)數(shù)一共有19個(gè).故選：B.9．已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由確定點(diǎn)的位置，再利用與的面積之比列方程來求得的值.【詳解】由得，設(shè)，則.由于，所以A，B，D三點(diǎn)共線，如圖所示，∵與反向共線，，∴，∴，∴.故選：D10．定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意的x恒有，且，則的值為（

）A．2026 B．1015 C．1014 D．1013【答案】B【分析】先根據(jù)遞推和夾逼準(zhǔn)則將不等條件轉(zhuǎn)化為等式，再將其看成一個(gè)等差數(shù)列可得的值.【詳解】根據(jù)得，又，所以，又所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；所以故選：B.11．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用分離變量法將與分開，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合容易得到答案.【詳解】由，得，設(shè)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，且，其圖象如圖所示：若使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則.故選：A.12．如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，，點(diǎn)M在棱上，且，平面與平面的夾角為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面 B．C．點(diǎn)M到平面的距離為 D．多面體的體積為【答案】D【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出，⊥平面，故平面，從而證明面面垂直；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解出平面的法向量，根據(jù)平面夾角列出方程，求出；C選項(xiàng)，在第一問的基礎(chǔ)上，求出平面的法向量，從而利用點(diǎn)到平面距離公式求出答案.D選項(xiàng)，求出，相加得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)G，連接交于N，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以⊥，且N是的中點(diǎn)，所以且，又，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以⊥平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)H，由四邊形是菱形，，則，所以是正三角形，所以，所以，又平面，以A為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，重合，此時(shí)平面與平面的夾角為，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，兩式相減得：，令，得，故，平面的法向量可取，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合B，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，解得：，取，得，故，所以點(diǎn)M到平面的距離，故C正確；對(duì)于D，，故，梯形的面積為，，故，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、填空題13．已知命題，使得，則為___________.【答案】【分析】由存在量詞命題的否定求解即可【詳解】命題，使得，則為，故答案為：14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則___________.【答案】4【分析】將化簡(jiǎn)，可得一個(gè)邊角關(guān)系，然后再結(jié)合正弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，若，所以，所以，即，由正弦定理得，化?jiǎn)得，所以.故答案為：415．已知圓錐的側(cè)面由函數(shù)的圖象繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得，圓錐的側(cè)面由函數(shù)的圖象繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得，記圓錐與圓錐的體積分別為和，則___________.【答案】##【分析】分別求出線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)與線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，所成的圓錐的體積，即可求解【詳解】當(dāng)線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，圍成一個(gè)半徑為2，高為4的圓錐，其體積為，當(dāng)線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，此時(shí)線段旋轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)半徑為，高為的圓錐，其體積為，所以.故答案為：16．設(shè)等比數(shù)列滿足，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和___________.【答案】114【分析】由題意求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此確定數(shù)列中的項(xiàng)的取值，進(jìn)而求得的前50項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得，故，因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故,故答案為：114.三、解答題17．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)存在，實(shí)數(shù)【分析】（1）利用求得，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)的最小值為列方程，從而求得的值.【詳解】（1）∵，∴，即，，由，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，∵函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵在上為增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0，，∵函數(shù)的最小值為0，∴函數(shù)的最小值為1，所以①，且②，聯(lián)立①②解得：，∴存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為0.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)；.(2)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的基本公式聯(lián)立方程可解出的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；對(duì)，考慮整理說明其為等比數(shù)列可得其通項(xiàng)公式；（2）將的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)，可以求出其和，進(jìn)而證明不等式.【詳解】（1）設(shè)的公差為d，由題意得：解得所以，由，得，又，所以是公比為的等比數(shù)列，所以.（2）證明：，.要證，即證，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以得證.19．已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)若，求外接圓的面積；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理與圓的面積公式即可求解；（2）由（1）得，根據(jù)為銳角三角形，求得，利用正弦定理和面積公式，以及三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）由題知：，由正弦定理可化為，即，由余弦定理知，又，故.設(shè)外接圓的半徑為R，則，所以，所以外接圓的面積為.（2）由（1）知：，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，又由正弦定理，得，所以.又，則，所以，故面積的取值范圍是.20．如圖，已知為圓錐底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，，，平分，D是上一點(diǎn)，且平面平面.(1)求證：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用等邊三角形三線合一得出，再利用平面平面，是兩個(gè)平面的交線得出平面，進(jìn)而得出結(jié)論.（2）取的中點(diǎn)M，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋移椒?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）取的中點(diǎn)M，連接，則兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系則，，，，，由（1）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，，則取，則，因此，所以二面角的正弦值為.21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，得到函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到，令，換元后利用整體法求出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，得到，再根據(jù)對(duì)稱性得到，相加后得到，求出答案.【詳解】（1）由圖示得：，解得：，又，所以，所以，所以.又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.（2）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，,所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，則，兩式相加得：，即，所以.22．設(shè)向量.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積得到，定義域?yàn)?，求?dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)特征，分，，，四種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）定義域?yàn)椋髮?dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)特征得到與不合題意，當(dāng)時(shí)，滿足要求，且由知，整理得到等價(jià)于，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出當(dāng)時(shí)，，證畢.【詳解】（1）根據(jù)已知得，定義域?yàn)椋瑒t，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，由，得或；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（