高一數(shù)學(xué)必修二《圓與方程》知識(shí)點(diǎn)整理

22222222高數(shù)必二圓方》識(shí)整一標(biāo)方

2求標(biāo)準(zhǔn)程的方法——關(guān)鍵是求出圓心

①待定系數(shù)：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，例如教材②利用平面幾何性質(zhì)

P例2往往涉及到直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線(xiàn)垂直直線(xiàn)相交：利用到點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及垂徑定理特殊位的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無(wú)需記，關(guān)鍵能理解）條件圓心在原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)

方程形式222

圓心在x軸

2

2

圓心在y軸上

2

2

圓心在

x

軸上且過(guò)原點(diǎn)

圓心在

軸上且過(guò)原點(diǎn)

2

與x軸切

2

與

軸相切

2

與兩坐標(biāo)軸都相切

x

y

2

0

二一方y(tǒng)2EyF

Ax2CxyEy

表示圓方程則AFAA

D2AF

求圓的般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材

P例r

D

22

F

?？捎脕?lái)求有關(guān)參數(shù)的范圍三點(diǎn)圓位關(guān)判斷方：點(diǎn)到圓心的距離

d

與半徑r

的大小關(guān)系在圓內(nèi)；d點(diǎn)圓上；r點(diǎn)圓外涉及最：（1圓外一點(diǎn)

B

，圓上一動(dòng)點(diǎn)

P

，討論

PB

的最值

BCmin

BC（2圓內(nèi)一點(diǎn)

A

，圓上一動(dòng)點(diǎn)

P

，討論

的最值

ANACmin

AC思考：過(guò)此

A

點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直

）四直與的置系判斷方（

d

為圓心到直線(xiàn)的距離）（1相離沒(méi)公共點(diǎn)r（2相切只一個(gè)公共點(diǎn)r（3相交有個(gè)公共點(diǎn)r這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線(xiàn)與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范.直線(xiàn)與相切（1知識(shí)要點(diǎn)①基本圖形②主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線(xiàn)方程、切線(xiàn)長(zhǎng)等問(wèn)題：直線(xiàn)l與C相切意味著什么？圓心C到線(xiàn)l的離好于徑

r（2常見(jiàn)題型——求過(guò)定點(diǎn)的切線(xiàn)方程

．．．2．．．．．．．2．．．．①切線(xiàn)條數(shù)點(diǎn)在圓外——兩條；點(diǎn)在圓上——一條；點(diǎn)在圓內(nèi)——無(wú)②求切線(xiàn)方程的方法及注意點(diǎn)i點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)

P

2，[00

]第一步：設(shè)切線(xiàn)l方y(tǒng)

第二步：通過(guò)

，從而得到切線(xiàn)方程特注：上解題步驟僅對(duì)k存有效，當(dāng)k不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上——千萬(wàn)不要漏了！如：過(guò)點(diǎn)

P

作圓

x2

的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程.答案：

3和ii）點(diǎn)圓上）若

x0

在圓

x

2

2

r

2

上，則切線(xiàn)方程為

xxyyr0

2會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用，但一定要看清題.）若

0

2

上，則切線(xiàn)方程為

x

碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運(yùn)用上述結(jié)由上述分析我們知道過(guò)定求某圓的切線(xiàn)方程常重要的第一步就是——判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得出切線(xiàn)的條③求切線(xiàn)長(zhǎng)：利用基本圖形，

APCP

AP

CP

求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程AC直線(xiàn)與相交（1求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題垂徑定理及勾股定理——常用弦長(zhǎng)公式：

l

x2

x

x

（暫作了解，無(wú)需掌握）（2判斷直線(xiàn)與圓相交的一種特殊方法（一種巧合過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓（3關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題例：若圓

2

上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)

4

的距離為，則半徑

r

的取值范圍_________________.

答案：

直線(xiàn)與相離會(huì)對(duì)直線(xiàn)與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時(shí)）五對(duì)問(wèn)

,2525222,2525222若圓

2

2

，關(guān)于直線(xiàn)

x

，則實(shí)數(shù)

的值為_(kāi)___.答案：3（注意：

D

22

F

，故舍去）變式知點(diǎn)

A

是圓

:

x22axy

上任意一點(diǎn)

點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)

xy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓C上則數(shù)a圓

對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程變式已圓

C1

：

與圓

C

2

：

關(guān)于直線(xiàn)

l

對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)

l

的方程_圓

關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程__________________.已知直

l

：

y

與圓

：

x

，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)

b

使自

發(fā)出的光線(xiàn)被直線(xiàn)l反射與圓切于點(diǎn)B

？若存在，求出的；若不存在，試說(shuō)明理由六最問(wèn)方法主要有三種）形結(jié)合）換）參數(shù)方程已知實(shí)

x

，

滿(mǎn)足方程

x

22

0

，求：（1（2

y

的最大值和最小值；——看作斜的最小值；——截距（線(xiàn)性規(guī)劃）（3xy的大值和最小.—兩點(diǎn)間的距離的平方已知

AOB

中，

，

，

點(diǎn)

P

是

內(nèi)切圓上一點(diǎn)以

，PB

，

為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！設(shè)

P

2

上的任一點(diǎn)，欲使不等式

xy

恒成立，則的值范圍是____________.答：

（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可七圓參方x

2y2r2

r

xy

，

為參數(shù)

r2

xcosy

，參

y4y2y4y2八相應(yīng)直線(xiàn)

mx2ny40（m，

平

2

4xy4

的周長(zhǎng)，則

mn

的取值范圍______________.已

C

：

2

2xy

，問(wèn)：是否存在斜率為1的線(xiàn)

，

被

C

截得的弦為

AB

，以

AB

為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，出直線(xiàn)

的方程，若不存在，說(shuō)明理由提示12

yy1

0

或弦長(zhǎng)公式

d1kx1

x.案xy1或xy402已

：

x3

22

1

，點(diǎn)

A0,1

，

B

，設(shè)

P

點(diǎn)是圓

上的動(dòng)點(diǎn)，d

22

，求

的最值及對(duì)應(yīng)的

P

點(diǎn)坐標(biāo).已C：

x1

22

：

2mxm1y4mR

）（1）明：不論

m

取什么值，直線(xiàn)

與

C

均有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）其中弦長(zhǎng)最短的直線(xiàn)方.若

yxk

與曲線(xiàn)

x1y

2

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則

的取值范.已

x2

x6ym0與直線(xiàn)x230于，兩，O為坐點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)

m

，使

OPOQ

，若存在，求出

m

的值；若不存在，說(shuō)明理九圓圓位關(guān)判法：幾何法（

d

為圓心距）（1）

d12

外離）

d12

外切（3）

r

r

dr2

相交（4

drr

內(nèi)切（5）

dr2

內(nèi)含兩共弦所在直線(xiàn)方程圓C：xy11

，：xyDEyF22

，則

D

D

x

E

y

F

0

為兩相交圓公共弦方.補(bǔ)說(shuō)：若C與C相，表其一切線(xiàn)方程；12若

C

1

與

C

2

相離，則表示連心線(xiàn)的中垂線(xiàn)方.3系問(wèn)題（1過(guò)圓

C

1

：

2yxy11

和

C

2

：

2y2DEyF2

交點(diǎn)的

222222圓系方程為

2

2

11

22

（

）說(shuō)：1）上述圓系不包括

C

2

；2當(dāng)

時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線(xiàn)方程（公共弦）（）直線(xiàn)

Ax

與圓

xy

交點(diǎn)的圓系方程為

By（3有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4兩圓公切線(xiàn)的條數(shù)問(wèn)題①相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線(xiàn)；②相外切時(shí)，有三條公切線(xiàn)；③相交時(shí)，有兩條公切線(xiàn)；④相離時(shí)，有四條公切線(xiàn)十軌方（1定義法（圓的定義（2直接法：通過(guò)已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式——軌跡方.例：過(guò)圓

x外點(diǎn)A

作圓的割線(xiàn)，求割線(xiàn)被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方.分析：

OPOA（3相關(guān)點(diǎn)法（平移轉(zhuǎn)換法點(diǎn)隨另一的變動(dòng)而變動(dòng)動(dòng)點(diǎn)主點(diǎn)特點(diǎn)為：主動(dòng)點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn).例如，已知定點(diǎn)

，點(diǎn)Q圓x

2

上的動(dòng)點(diǎn)，的平分線(xiàn)交AQM，當(dāng)點(diǎn)圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的跡方程.分析：角平分線(xiàn)定理和定比分點(diǎn)公例2.知圓O

y

，、C是的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A、B、呈時(shí)針?lè)较蚺帕?，?/p>

3

，求的心的跡法1Q

3

，BC

為定長(zhǎng)且等于

2E32BC22,L2E32BC22,LBCLL2B222．．設(shè)

x3xC3，則yyyCB3取BC的中點(diǎn)為

3,E24

333，y4

QOC

，x

2

2

94

LL

（1xyy故由（1）得：

xxx，yBCEyy323yxyx,2

3,12法2數(shù)）設(shè)

3

，則C

2

2

設(shè)

，則

223323siny23,

，由

得：

2