對(duì)數(shù)學(xué)概念形成過程實(shí)施局部探究的實(shí)踐與思考

對(duì)數(shù)學(xué)概念形成過程實(shí)施局部探究的實(shí)踐與思考

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念的建立也是解決數(shù)學(xué)問題的前提，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位.反觀某些數(shù)學(xué)課堂，不注意概念的引入，對(duì)定義的表述一掠而過，只重概念的應(yīng)用，匆匆轉(zhuǎn)入練習(xí).以至于學(xué)生對(duì)概念只習(xí)得一些具體解題技能，缺乏從感性到理性的認(rèn)識(shí)，難以形成數(shù)學(xué)能力；另外，由于新概念的引入沒能以學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，又沒有大量實(shí)例揭露概念的關(guān)鍵特征，因此新概念不能較好地納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，缺乏系統(tǒng)化，不僅記憶難以長(zhǎng)期保持①，而且不利于知識(shí)的遷移應(yīng)用，不利于思維能力的提高.教學(xué)實(shí)踐表明：概念的引入是概念的形成過程的重要一環(huán)，是概念教學(xué)的基礎(chǔ)和重點(diǎn)，有時(shí)也是個(gè)難點(diǎn).新課標(biāo)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的教學(xué)方式.在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于課堂的限時(shí)性，我們常選用局部探究的形式②，即根據(jù)教材的特點(diǎn)，圍繞某個(gè)小專題或某一問題，選好1-2個(gè)探究點(diǎn)，從一堂課中拿出5-15分鐘，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生用自我探究與合作交流的方式學(xué)習(xí).對(duì)概念的引入實(shí)施局部探究，可以充分展示概念的形成過程，能有效突破概念教學(xué)的難點(diǎn)、強(qiáng)化重點(diǎn).以下對(duì)我?！癙CK”課題③研討的兩個(gè)概念教學(xué)的片段進(jìn)行分析、思考，供同行參考.一、通過“問題驅(qū)動(dòng)+合作交流”，實(shí)施局部探究【課例1】高中數(shù)學(xué)必修2“二面角的平面角”的概念概念的簡(jiǎn)要分析“二面角及其平面角”的概念是立體幾何的重要概念，其中“二面角的平面角”的定義是教學(xué)難點(diǎn).蘇教版教材通過衛(wèi)星、筆記本電腦引出“二面角”的概念，讓學(xué)生感受科學(xué)的力量，學(xué)生也很容易理解.而在給出棱、面的定義和記法之后，以筆記本電腦打開時(shí)，感到兩個(gè)面所構(gòu)成的二面角在變化，提出問題：如何刻畫這個(gè)二面角的大小呢？觀察：隨著張口的增大，∠MAN逐漸增大，當(dāng)二面角確定時(shí)，∠MAN也隨之確定，故可用∠MAN度量二面角.由此得出二面角的平面角的定義：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.上述對(duì)“二面角的平面角”概念的處理很簡(jiǎn)約，有了筆記本的張開、逐漸變大，學(xué)生對(duì)于問題1“有了二面角，為什么還要研究二面角的平面角”？理解是不困難的，但對(duì)于問題2“怎么想到這樣來(lái)定義二面角的平面角的”？心存疑惑，對(duì)于從筆記本模型，直接過渡到∠MAN，AM⊥AB，AN⊥AB，學(xué)生感到有點(diǎn)突然，不利于學(xué)生形成“二面角的平面角”的概念，且蘊(yùn)含的思維資源沒能很好地挖掘，難免有些遺憾！鑒于此，需要我們對(duì)教材進(jìn)行“再加工”，對(duì)“二面角的平面角”的概念設(shè)置一個(gè)局部探究的過程.對(duì)概念實(shí)施局部探究第一步，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，明確目標(biāo)教師把筆記本電腦緩緩打開，邊操作，邊提問：大家是否感覺到這兩個(gè)面所組成的二面角在逐漸變——（大），停止到如圖的位置，提出問題：這個(gè)二面角是多大？如何刻畫一個(gè)二面角的大小呢？第二步，師生對(duì)話探究，解決問題1“為什么要研究二面角的平面角？”教師再翻開一本書到某一位置（與筆記本展開的角相當(dāng)），問學(xué)生：這本書張開的角與筆記本電腦展開的角哪一個(gè)較大？何以見得？生A：需要量一量！師：如何度量一個(gè)空間角呢？（略為停頓）前面有沒有這樣的先例？生B：可以轉(zhuǎn)化為平面角；前面學(xué)習(xí)過異面直線所成的角、斜線與平面所成的角.師：你說(shuō)說(shuō)看，這兩種空間角是如何定義的？生B：異面直線所成的角是通過平移，轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，而斜線與平面所成的角是指斜線和斜線在平面內(nèi)的射影所成的銳角.師（追問）：為什么要用“和射影所成的角”來(lái)定義斜線與平面所成的角？生B：因?yàn)楹蜕溆八傻慕鞘亲钚〉?，是確定的.師：很好！確定的，在這里也是唯一的，所以定義是合理的.因此，對(duì)于二面角的大小，需要用一個(gè)確定的平面角去刻畫、去度量.第三步，小組合作探究，解決問題2“怎么想到這樣來(lái)定義二面角的平面角的？”師：哪一個(gè)平面角可以承擔(dān)這一重任呢？這樣的平面角有幾個(gè)？是否唯一？教師見有些同學(xué)面露難色，則以課件投影出一組提示性的問題：（1）考慮角的兩條射線落在什么位置？在某一個(gè)半平面上行嗎？（2）角的端點(diǎn)應(yīng)該落在什么位置？（3）具體的，這兩條射線該如何放置，才能合理地刻畫這個(gè)二面角呢？請(qǐng)大家試一試，前后四人一組討論一下.小組合作顯示：對(duì)于問題（1）（2）比較容易達(dá)成共識(shí)：即兩條射線落在兩個(gè)平面上，端點(diǎn)落在棱上.而對(duì)于問題（3），學(xué)生在嘗試畫圖的過程中，有幾個(gè)小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師遂請(qǐng)小組代表發(fā)言.生C：在棱AB上取一點(diǎn)P，在兩個(gè)半平面內(nèi)作兩條射線PE，PF，使得PE⊥AB，PF⊥AB，這兩條射線組成的角∠EPF是確定的，可以刻畫二面角的大小.生D（反問）：何以見得∠EPF是確定的？生C：在棱上另取一點(diǎn)Q，同樣在兩個(gè)面內(nèi)分別引棱的垂線QH，QG，……生：（不少人）哦！發(fā)出贊嘆聲！生C（得意）：大家都知道啦！原因是……生：（大家齊聲）等——角——定——理.師：這兩個(gè)角是相等的，所以∠EPF是確定的，也就是這個(gè)平面角只與二面角α-AB-β的大小有關(guān)，與點(diǎn)P在棱AB上的位置無(wú)關(guān).其實(shí)，這種二面角的平面角的操作也很方便.如果把這個(gè)角定義為二面角的平面角，大家有意見嗎？生：（大家齊聲）沒意見！第四步，學(xué)生歸納“二面角的平面角”的定義，解決初始問題.師：哪位同學(xué)給“二面角的平面角”下一個(gè)完整的定義？生E答，生F補(bǔ)充、完善（略）.師：二面角是個(gè)空間角，它的大小可以用平面角來(lái)度量.對(duì)于講臺(tái)上的這臺(tái)筆記本，哪位能說(shuō)出二面角的平面角是哪一個(gè)？不少同學(xué)都在指指、點(diǎn)點(diǎn)，指著筆記本左端（或右端）的相鄰兩條邊沿所成的角.師：為什么？生G：因?yàn)檎叫梧忂吇ハ啻怪保瑵M足二面角的平面角的定義.師：如果量出這個(gè)角是72°，請(qǐng)問筆記本張開的這個(gè)二面角是多少度？生（齊答）：72°.師：這種把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了降維、轉(zhuǎn)化的思想，是立體幾何中最基本的思想方法.師：弄清了二面角的平面角的含義，請(qǐng)大家思考一下，二面角的平面角的取值范圍如何？生H說(shuō)、生I補(bǔ)充得：0°，90°，180°，銳角，鈍角都可以，因此二面角的范圍是[0，π]……局部探究后評(píng)說(shuō)以上對(duì)“二面角的平面角”的概念進(jìn)行了一次局部探究，主要是通過問題驅(qū)動(dòng)，并輔助于對(duì)話、合作交流完成的.第一步，創(chuàng)設(shè)情境、提出問題“如何刻畫二面角的大??？”是為了明確研究目標(biāo).第二步，通過“把空間角轉(zhuǎn)化到平面角，有沒有先例”這一問題，不僅是為了復(fù)習(xí)舊知，更重要的是給學(xué)生一個(gè)類比、發(fā)現(xiàn)的提醒（最小角、唯一性），為解決問題2作鋪墊，便于合理有效地利用思維資源，同時(shí)體現(xiàn)“降維、轉(zhuǎn)化”的重要思想.第三步，為解決難點(diǎn)（問題2），先提出“哪一個(gè)平面角可以承擔(dān)這一重任呢”？的問題，教師發(fā)現(xiàn)同學(xué)面露難色，則提出一組帶提示性的3個(gè)問題.與問題2組成“問題串”，是運(yùn)用由遠(yuǎn)及近、由指向不明到指向逐步明朗的“分級(jí)提問”來(lái)促使不同層次學(xué)生的思考，使每一位學(xué)生的思維得到不同程度地激活.對(duì)于個(gè)別問題有困難，則安排分組討論，旨在借助同學(xué)之間的相互探討、提醒，讓學(xué)生的智慧在這里產(chǎn)生碰撞.其中學(xué)生的質(zhì)疑、小組代表的回答，既復(fù)習(xí)了“等角定理”，又讓學(xué)生對(duì)定義合理性達(dá)成了共識(shí).第四步，請(qǐng)學(xué)生給“二面角的平面角”下定義，是水到渠成，同時(shí)呼應(yīng)了初始問題；之后在弄清“二面角的平面角”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，議一議，得出了二面角的外延（范圍）.二、通過“嘗試操作+類比探求”，實(shí)施局部探究【課例2】高中數(shù)學(xué)選修1“雙曲線的定義”④概念的簡(jiǎn)要分析對(duì)于“圓錐曲線”一章，蘇教版教材是按“先整體再局部”的思路，先介紹“2.1圓錐曲線”，由一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面，得到不同的曲線，遂定義橢圓、雙曲線、拋物線等，然后再分別學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線和拋物線的方程、性質(zhì).教學(xué)實(shí)踐表明：這樣處理，因第一堂課時(shí)間太緊，不利于這些曲線概念的形成.因此，將它調(diào)整為先具體曲線（橢圓、雙曲線、拋物線），后整體圓錐曲線的思路.“雙曲線定義”是在學(xué)習(xí)了橢圓之后研究的，蘊(yùn)含著豐富的思維資源有待挖掘，可組織一次局部探究.對(duì)概念實(shí)施局部探究第一步，學(xué)生畫圖嘗試，教師操作拉鏈、演示《畫板》③.師：前面，我們研究了橢圓，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，橢圓是怎樣定義的？生：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于||）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.師：很好！請(qǐng)大家想一想，如果把“和”改為“差”，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么呢？學(xué)生探索，教師提示：我們不妨畫張草圖試一試.課堂反饋：不少同學(xué)從特殊化入手，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，共線且常數(shù)=||時(shí)，軌跡為兩條射線，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，不共線時(shí)，感覺是曲線，但不太確定.此時(shí)，教師用一條事先準(zhǔn)備好的拉鏈釘在木條上，拉鏈拉開畫出曲線時(shí)，M與M增加的長(zhǎng)度相同，觀察此時(shí)點(diǎn)M的軌跡是什么？教師左右交換演示.生（大部分）：是雙曲線.師：哪位同學(xué)來(lái)描述一下點(diǎn)M滿足什么條件？生A：|M|-|M|為定值，|M|-|M|也為定值.教師用《幾何畫板》演示，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形.第二步，學(xué)生通過類比，歸納雙曲線的定義.師：與橢圓相類比，哪位同學(xué)嘗試給雙曲線下一個(gè)定義.生B：（略）第三步，學(xué)生通過交流、反思，完善雙曲線的定義.師：對(duì)剛才學(xué)生B的回答，哪位同學(xué)要補(bǔ)充？生C：漏掉了常數(shù)應(yīng)滿足小于||這個(gè)條件.通過畫圖我得出了當(dāng)常數(shù)等于||時(shí)，軌跡是兩條射線；而當(dāng)常數(shù)大于||時(shí)，無(wú)軌跡.生D：為什么沒有軌跡？生C：兩邊之和小于第三邊嘛?。ù蠹以陬l頻點(diǎn)頭）師：精彩！師：請(qǐng)大家觀察圖形，再反思：還有其他情形嗎？同學(xué)E站起來(lái)問：當(dāng)常數(shù)等于零時(shí)，軌跡是什么？生F：是線段的垂直平分線.師（評(píng)價(jià)）：同學(xué)E問得太好了！你有一雙慧眼，這種特殊情形，也逃不過你的眼睛！師：因此，這個(gè)常數(shù)應(yīng)滿足什么條件？生（齊答）：應(yīng)該是小于||的正數(shù).教師強(qiáng)調(diào)說(shuō)，這個(gè)條件非常重要.讓學(xué)生歸納出完整的雙曲線定義，教師投影（略）.之后，學(xué)生類比橢圓得出雙曲線的焦點(diǎn)、焦距等相關(guān)概念.局部探究后評(píng)說(shuō)由上不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么？”這一未知曲線的探求，構(gòu)成了一個(gè)完整的局部探究的過程.第一步先讓學(xué)生畫圖嘗試，有困難時(shí)，教師啟用拉鏈，再通過《幾何畫板》，直觀、動(dòng)態(tài)的教具演示等操作活動(dòng)，激發(fā)起學(xué)生探究的興趣和求知欲，突出了雙曲線的形成過程；第二步，主要是讓學(xué)生嘗試歸納，通過類比橢圓初步得出雙曲線的定義，以訓(xùn)練知識(shí)、方法的遷移；第三步，學(xué)生C能馬上答出：漏掉“小于||”的條件，是緣于部分學(xué)生已經(jīng)會(huì)進(jìn)行方法的類比遷移，由橢圓的常數(shù)有限制條件，類比、猜想出雙曲線也應(yīng)有.然后師生借助圖形，對(duì)常數(shù)應(yīng)滿足的條件的一些“退化”情形進(jìn)行分析、探究，經(jīng)過交流、反思和補(bǔ)充，完善了雙曲線的定義.三、對(duì)概念的形成過程實(shí)施局部探究的幾點(diǎn)思考上述兩個(gè)課例的局部探究主要是通過精心預(yù)設(shè)系列問題，運(yùn)用動(dòng)手操作、演示、小組合作、對(duì)話、交流、評(píng)價(jià)等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、嘗試、歸納、類比、質(zhì)疑，以及分析、綜合、抽象等活動(dòng)過程，不僅有助于學(xué)生概念的形成、深化理解和遷移應(yīng)用，更重要的是讓學(xué)生通過親身參與、成功體驗(yàn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、深刻性、批判性和創(chuàng)造性，有助于彌補(bǔ)學(xué)生的質(zhì)疑缺失.上述課例為今后更好地實(shí)施局部探究，提供了如下方法論的啟示：對(duì)概念的形成過程實(shí)施局部探究，往往離不開問題，其主要標(biāo)準(zhǔn)，一是提出的問題要能引發(fā)學(xué)生積極思考和探究熱情，二是提出的問題要符合學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，具有層次性.側(cè)重以問題驅(qū)動(dòng)實(shí)施局部探究的概念有很多，如函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)的零點(diǎn)、直線的斜率、數(shù)列等.對(duì)概念的形成過程實(shí)施局部探究，往往伴隨著嘗試、特殊化、類比推理等.嘗試、特殊化是局部探究的先行者，類比推理能啟迪人們思維，是局部探究的助推器，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的主要源泉.許多數(shù)學(xué)概念，如等比數(shù)列，對(duì)數(shù)函數(shù)，雙曲線、拋物線的定義之間等，都可以用類比獲得.但類比是否為真，需邏輯論證.對(duì)概念的形成過程實(shí)施局部探究，常常需要借助動(dòng)手操作、演示，以體現(xiàn)“做中學(xué)”的理念.立體幾何中的異面直線、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）、點(diǎn)面（線面、面面）距離等許多概念，都可以借助于實(shí)驗(yàn)、演示、操作以及不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)化形成.當(dāng)然，代數(shù)、三角分支中也不乏這方面的概念.對(duì)概念的形成過程實(shí)施局部探究，當(dāng)然要考慮有效性.在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，需要把握不同概念的特點(diǎn)，選取合適的探究方式；在實(shí)施過程中，教師要給予學(xué)生適時(shí)地引導(dǎo)、點(diǎn)撥，化解探究活動(dòng)中的障礙，促進(jìn)局部探究的順利實(shí)施；對(duì)問題探究后的交流、評(píng)價(jià)以及小組合作，既有益于同伴之間的思維碰撞，也有益于培養(yǎng)學(xué)生概括能力，但需控制好時(shí)間.其實(shí)，實(shí)施局部探究也是將學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為教學(xué)知識(shí)的重要途徑.質(zhì)疑意識(shí)是中學(xué)生普遍缺失的，在某些課堂，師講、生聽，師問、生答的現(xiàn)象大量存在，學(xué)生成天忙于應(yīng)付作業(yè)，鮮有自己的想法，亟待我們的教師為他們補(bǔ)上“質(zhì)疑”這一課！課例中的反問：“何以見得∠EPF是確定的？”“為什么沒有軌跡？”學(xué)生問得好！課例中教師一句“哪位同學(xué)要補(bǔ)充？”“還有其他情形嗎？”教師提醒得到位！在