初中數(shù)學(xué)相似三角形的經(jīng)典綜合題

PAGE初中數(shù)學(xué)相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用經(jīng)典試題一、知識體系：1．相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對應(yīng)角相等；②相似三角形的對應(yīng)邊成比例；③相似三角形對應(yīng)邊上的高之比，對應(yīng)邊上的中線之比，對應(yīng)角的角平分線之比都等于相似比；④相似三角形的周長之比等于相似比。⑤相似三角形的面積之比等于相似比的平方（）。二、典型例題：例1：若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為15，則△A′B′C′的周長為（）A．18B．20C．D．針對練習(xí)：1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三邊長為3、4、5，若△DEF的周長為6，那么下列不可能是△DEF一邊長的是（）A．1.5B．2C．2.5D．32．一直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及，那么的值為（）A．B．5C．或5D．無數(shù)個(gè)例2：（2014江蘇南京，3）若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1:2，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A．1:2B．2:1C．1:4D．4:1針對練習(xí)：1．兩相似三角形的最短邊分別是5和3，它們的面積之差為32，那么小三角形的面積為（）A．10B．14C．16D．182．如圖，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，則△ADE與四邊形DBCE面積之比是▲。3．如圖，平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，CD＝2DE，若△DEF的面積為，則平行四邊形ABCD的面積為▲（用的代數(shù)式表示）。4．如圖，在四邊形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，EC∥AB，EB∥DC，若△ABE的面積為3，△ECD的面積為1，則△BCE的面積為▲。5．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O。M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON＝1。①求BD的長；②若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積。6．（2012湖北鄂州，10）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，延長CB交軸于點(diǎn)，作正方形，延長交軸于點(diǎn)，作正方形，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2012個(gè)正方形的面積為（）A．B．C．D．例3：（2014浙江紹興，20改編）有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120，高AD＝80。①如果把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上。問加工成的正方形零件的邊長是多少？②如果把它加工成矩形零件，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長又分別為多少？請你計(jì)算。針對練習(xí)：1．）如圖，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的頂點(diǎn)E，F(xiàn)在△ABC內(nèi)，頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，則點(diǎn)F到BC的距離為（）A．1B．2C．D．2．如圖，已知△ABC的面積是12，BC＝6，點(diǎn)E、I分別在邊AB、AC上，在BC邊上依次做了個(gè)全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，則每個(gè)小正方形的邊長為（）A．B．C．D．3．一塊直角三角形木版的一條直角邊AB為3，面積為6，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，小明打算按圖①進(jìn)行加工，小華準(zhǔn)備按圖②進(jìn)行裁料，他們誰的加工方案符合要求？例4：如圖，為了測量大樹的高度，小華在B處垂直豎立起一根長為2.5的木桿，當(dāng)他站在點(diǎn)F處時(shí)，他的眼睛E、木桿的頂端A、樹端C恰好在同一條直線上，量得BF＝3，BD＝9，小華的眼睛E與地面的距離EF為1.5，求大樹的高度。針對練習(xí)：1．如圖，已知：某同學(xué)想測量旗桿的高度，他在某一時(shí)刻測得1米長的竹竿豎直放置時(shí)影長1.5米，在同時(shí)刻測量旗桿影長時(shí)，因旗桿靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上的影長為9米，留在墻上的影長CD為2米，求旗桿的高度。2．如示意圖，小華家（點(diǎn)A處）和公路（l）之間豎立著一塊30米長且平行于公路的巨型廣告牌（DE），廣告牌擋住了小華的視線，請?jiān)趫D中畫出視點(diǎn)A的盲區(qū)，并將盲區(qū)的那段公路記BC，一輛以60公里/小時(shí)勻速行駛的汽車經(jīng)過公路BC段的時(shí)間為6秒，已知廣告牌和公路的距離為35米，求小華家到公路的距離．3．如圖，王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6，兩個(gè)路燈的高度都是9.6。①求兩個(gè)路燈之間的距離；②當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長是多少？4．如圖，為測量學(xué)校圍墻外直立電線桿AB的高度，小亮在操場上點(diǎn)C處直立高3的竹竿CD，然后退到點(diǎn)E處，此時(shí)恰好看到竹竿頂端D與電線桿頂端B重合；小亮又在點(diǎn)處直立高3的竹竿，然后退到點(diǎn)處，此時(shí)恰好看到竹竿頂端與電線桿頂端B重合。小亮的眼睛離地面高度EF＝1.5，量得CE＝2，＝6，＝3。①△FDM∽△▲，△∽△▲；②求電線桿AB的高度。相似三角形的判定一、知識體系：1．相似三角形的概念：三邊對應(yīng)成比例，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比，一般用表示。2．相似三角形的判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似（平行法）；②兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似（“AA”）；③兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似（“SAS”）；④三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似（“SSS”）。3．相似三角形的基本圖形平行型（A字型）平行型（X字型）旋轉(zhuǎn)型交錯(cuò)型母子型二、典型例題：例1：如圖，在△ABC和△ADE中，已知∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC∽△ADE。針對練習(xí)：1．已知：如圖，AB＝AC，∠DAE＝∠B。求證：△ABE∽△DCA。2．已知：如圖，△PQR是等邊三角形，∠APB＝120°，求證：△PAQ∽△BPR。3．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3，求證：△ABC∽△DEF。4．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且∠BAC＝∠DAG，∠CDG＝∠BAD。①求證：；②當(dāng)GC⊥BC時(shí)，求證：∠BAC＝90°。例2：（2014福建南平，21）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D在AC上且∠ABD＝∠C，求證：。針對練習(xí)：1．如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G。寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對。例3：（2013四川巴中，29）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B。①求證：△ADF∽△DEC；②若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的長。針對練習(xí)：1．（2014遼寧本溪，9）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點(diǎn)F，AB＝9，BD＝3，則CF等于（）A．1B．2C．3D．42．如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)。(1)如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE丄CD，垂足為E。試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)；(2)在△ABC中，∠A∠B∠C．①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。3．（2013江蘇蘇州，26）如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G。(1)求證：△APB≌△APD；(2)已知DF:FA＝1:2，設(shè)線段DP的長為，線段PF的長為。①求與的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，求線段FG的長。例4：已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CB延長線上一點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且滿足。求證：△ADB∽△EAC。針對練習(xí)：1．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。求證：△ABC∽△DBE。2．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于點(diǎn)G。①求證：△AED∽△ABC；②如果BE平分∠ABC，求證：DE＝CE。3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。找出圖中相似的三角形，并說明理由。4．（2014山東淄博，23）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB＝AC＝BD。連接MF，NF。①判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；②判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說明理由。5．（2014江蘇徐州，27）如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點(diǎn)P落在第四象限，頂點(diǎn)A、B分別落在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且PB⊥于點(diǎn)C，PA⊥于點(diǎn)D，AB分別與軸，軸相交于點(diǎn)E、F。已知。①▲；②試說明AE＝BF；③當(dāng)四邊形ABCD的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。6．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠AMC＝∠ABC，求證：①；②MB⊥AM。例5：如圖，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，且，求證：△ABC∽△A′B′C′。針對練習(xí)：1．如圖，已知。①求證：△ABD∽△ACE；②若∠BAD＝18°，求∠EBC的度數(shù)。射影定理：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD是斜邊AB上的高，則有射影定理如下：①（由△ADC∽△CDB推導(dǎo)出）；②（由△ACD∽△ABC推導(dǎo)出）；③（由△BCD∽△BAC推導(dǎo)出）。例6：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，則圖中的相似三角形共有▲對。針對練習(xí)：1．已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，，AC＝。①求BC、AB的長；②求AD、BD、CD的長。2．如圖，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為D、E、F。①求證：△CEF∽△CBA；②連接EF交CD于點(diǎn)O，線段OC、OD、OE、OF成比例嗎？為什么？相似三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題圖形中的點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一個(gè)新問題——?jiǎng)討B(tài)幾何。動(dòng)態(tài)幾何問題是近年來各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，通常以壓軸題形式出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)試卷中，分值占總分的10%左右。它通常分為三種類型：動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、動(dòng)形問題。在解這類題時(shí)，要充分發(fā)揮空間想象的能力，往往不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，把相關(guān)的線段用含有時(shí)間（或其他字母）的代數(shù)式表示出來，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找確定的關(guān)系式，就能找到解決問題的途徑。例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15。動(dòng)點(diǎn)P以4的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以2的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)。當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)。設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒。

①當(dāng)秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

②求△CPQ的面積（）與時(shí)間（）的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍；

③為何值時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與與△ABC相似？練習(xí)1.1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)、點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止。設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為秒。①求直線AB的解析式； ②當(dāng)為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？③求△APQ的面積（用含的代數(shù)式表示）。練習(xí)1.2：(2013江蘇蘇州，28)如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10，BC＝12。點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5。當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（單位：）。①當(dāng)時(shí)，四邊形EBFB'為正方形；②若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求的值；③是否存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。例2：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高為4。動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）。①求∠B的度數(shù)以及AB的長；②當(dāng)MN∥AB時(shí)，求的值；③試探究：為何值時(shí)，△MNC為直角三角形？練習(xí)2.1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝，∠B＝45°。動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，①求BC的長；②試探究：為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形？練習(xí)2.2：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)。點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點(diǎn)G。點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止。設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒（）。①D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離是________；②射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出的值；若不能，說明理由；③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF-FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求的值；④連接PG，當(dāng)PG∥AB時(shí)，請直接寫出的值。例3：如圖所示，在ΔABC中，BA＝BC＝20，AC＝30，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止移動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。①當(dāng)為何值時(shí)，PQ∥BC？②當(dāng)，求的值；③ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。練習(xí)3：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，CD＝4，BC＝BD＝10，點(diǎn)由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1AD＝6；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1，交BD于Q，連接PE。當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止移動(dòng)。若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）（）。①當(dāng)為何值時(shí)，PE∥AB？②設(shè)△PEQ的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；③是否存在某一時(shí)刻，使？例4：如圖，已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），解答下列問題：①當(dāng)＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；②設(shè)△BPQ的面積為（），求S與的函數(shù)關(guān)系式；③作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？練習(xí)4：在△ABC中，∠BAC＝90°，ABAC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)P在線段BA上以每秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)N向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ⊥MP。一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒()。①△PBM與△QNM相似嗎？請說明理由；②若∠ABC＝60°，AB＝4。(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；(2)設(shè)△APQ的面積為（），求S與的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出的取值范圍）；③探求三者之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由。例5：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為秒。①求直線BC的解析式；②若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的？③動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)△OPD的面積為，請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；④當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？請求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由。練習(xí)5：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5。點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)。伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB—BC—CP于點(diǎn)E。點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止。設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒()。①當(dāng)＝2時(shí)，AP＝，點(diǎn)Q到AC的距離是；②在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求△APQ的面積S與的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出的取值范圍）；③在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求的值；若不能，請說明理由；④當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C

時(shí)，請直接寫出的值。相似三角形單元復(fù)習(xí)知識點(diǎn)一：比例的性質(zhì)與成比例線段例1：不為0的四個(gè)實(shí)數(shù)，，，滿足，改寫成比例式錯(cuò)誤的是（▲）A．B．C．D．針對練習(xí)：1．4和1的比例中項(xiàng)是▲。2．已知線段是線段，的比例中項(xiàng)，且，，則▲。例2：如果，則▲。針對練習(xí)：1．如果，那么的值是（▲）A．B．C．D．2．若，則的值是（▲）A．B．－1C．或－1D．知識點(diǎn)二：相似三角形的判定：例3：如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，試說明△ACE∽△BAD。針對練習(xí)：1．如圖，△BAC、△AGF為等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC＝∠AGF＝90°。若△BAC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E。請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明。知識點(diǎn)三：相似三角形的性質(zhì)例4：如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，則的值為（▲）A．B．C．D．針對練習(xí)：1．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上的點(diǎn)，BF:FD＝1:3，則BE:EC＝（▲）A．B．C．D．2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，連接DN并延長交CB的延長線于點(diǎn)P，連接AC交DN于點(diǎn)M。若PN＝3，則DM的長為▲。3．如圖，已知△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC＝10，BC＝15，則AE＝▲，DE＝▲。例5：（2014浙江寧波，8）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（▲）A．2:3B．2:5C．4:9D．針對練習(xí)：1．兩個(gè)相似三角形的相似比為2:3，它們的面積之差為25，則較大三角形的面積是（▲）A．75B．65C．50D．452．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，D是AB延長線上一點(diǎn)，連接CD，若∠DCB＝∠A，BD:DC＝1:2，則△ABC的面積為（▲）A．4B．5C．6D．7例6：如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD相交于點(diǎn)F，DE:EC＝2:3，則等于（▲）A．4:25B．4:9C．9:25D．2:3針對練習(xí)：1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD相交于點(diǎn)F，，則DE:AB＝▲，▲，▲。A．4:25B．4:9C．9:25D．2:32．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，若，則（▲）A．1:4B．1:6C．1:8D．1:93．如圖所示，△ABC是邊長為6的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為▲。知識點(diǎn)四：位似三角形例7：如圖，位似圖形由三角尺與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5，且三角尺的一邊長為8，則投影三角形的對應(yīng)邊長為▲。針對練習(xí)：1．已知，如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，以O(shè)為位似中心，按比例尺2:1把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（▲）A．或B．或C．D．2．如圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是。以點(diǎn)C為位似中心，在軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍。設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（▲）A．B．C．D．知識點(diǎn)五：以直角三角形為背景的相似問題（“K”字型相似等問題）例8：如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則等于（▲）A．B．C．D．針對練習(xí)：1．如圖，一個(gè)邊長為3、4、5的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個(gè)正方形的面積是▲。2．如圖：邊長為12的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為、，則的值為（▲）A．60B．64C．68D．723．如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，放置邊長分別為3、4、的三個(gè)正方形，則的值為（▲）A．5B．6C．7D．124．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在BC上移動(dòng)至點(diǎn)C停止．記PA＝，點(diǎn)D到直線PA的距離為，則關(guān)于的函數(shù)解析式是（▲）A．B．C．D．5．如圖，D為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點(diǎn)，N為DC邊上一點(diǎn)，ON⊥OM，若AB＝6，AD＝4，設(shè)OM＝，ON＝，則與的函數(shù)關(guān)系式為（▲）A．B．C．D．6．已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)（），（）的圖象上，且OA⊥OB，則的值為（▲）A．B．2C．D．37．已知Rt△ABC，AB＝AC＝20，如圖，現(xiàn)把另一個(gè)Rt△EDF頂點(diǎn)放在AC邊上一點(diǎn)（與B、C不重合），再將△EDF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，EF與線段AC始終有交點(diǎn)Q，ED線段AB始終有交點(diǎn)P，若已知，則▲。知識點(diǎn)六：相似三角形的應(yīng)用：例9：如圖，夜晚路燈下，小明在點(diǎn)D處測得自己影長DE＝4，在點(diǎn)G處測得自己影長DG＝3，E、D、G、B在同一條直線上，已知小明身高為1.6，求燈桿AB的高度。針對練習(xí)：1．如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點(diǎn)P表示照明燈的位置。①在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為▲；②請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子；③當(dāng)小亮離開燈桿的距離OB＝4.2時(shí)，身高（AB）為1.6的小亮的影長為1.6，問當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD＝6時(shí)，小亮的影長是多少？知識點(diǎn)七：相似三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題：例10：（2014遼寧盤錦，10）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)C在第一象限，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（▲）A．1B．2C．3D．4針對練習(xí)：1．已知△ABC，AB＝AC＝5，BC＝8，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，沿著折線CAB運(yùn)動(dòng)（當(dāng)?shù)竭_(dá)B時(shí)停止），Q為CB上一動(dòng)點(diǎn)，沿CB運(yùn)動(dòng)（到B時(shí)停止），若P，Q分別同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以2和1的速度沿折線CAB和CB運(yùn)動(dòng)，問，何時(shí)PQ截△ABC兩邊所形成的三角形與原三角形相似？是位似圖形嗎？相似三角形綜合題題型一：相似三角形中的相關(guān)證明：例1：如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，EF∥BC，交AD與點(diǎn)G，求證：FG＝EG。練習(xí)1：如圖，延長正方形ABCD的一邊CB至E，ED與AB相交于點(diǎn)F，過F作FG∥BE交AE于G，求證GF＝FB。例2：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：①；②。練習(xí)2：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E是BA延長線上一點(diǎn)，CE與AD、BD交于G、F。求證：。例3：已知：如圖，在ABC中，EF∥CD，DE∥BC。①求證：；②若FD＝2，DB＝4，求AF的長。練習(xí)3：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，若AB＝6，AC＝4，求DE的長。題型二：相似三角形中的相關(guān)比例計(jì)算例4：（2014天津，8）如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對角線BD于點(diǎn)F，則EF:FC等于（）A．3:2B．3:1C．1:1D．1:2練習(xí)4.1：如圖，在平行四邊形ABCD中，、、是對角線BD上的四等分點(diǎn)，連接并延長交BC于點(diǎn)E，連接并延長交AD于點(diǎn)F，則AF:DF等于（）A．3:1B．9:1C．8:1D．6:1練習(xí)4.2：如圖，梯形ABCD的對角線AC、BD相交于O，G是BD的中點(diǎn)。若AD＝3，BC＝9，則GO:BG＝（）A．1:2B．1:3C．2:3D．11:20練習(xí)4.3：如圖，□ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，則AG:AC的值為（）A．1:3B．1:4C．1:5D．不確定題型三：相似三角形中常用輔助線的作法例5：已知：如圖，△ABC中，在BC上取一點(diǎn)P，CA上取一點(diǎn)Q，使得BP:PC＝2:5，CQ:QA＝3:4，AP，BQ交于點(diǎn)R，求AR:RP的值。練習(xí)5.1：如圖，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF:AE＝▲。練習(xí)5.2：如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，有AF:FD＝1:5，連接CF，并延長交AB于E，則AE:EB等于（）A．1:6B．1:8C．1:9D．1:10例6：如圖，△ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使AD＝AE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：。練習(xí)6：如圖，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD＝CE，DE，BC的延長線相交于點(diǎn)F，證明：AB·DF＝AC·EF。題型四：相似三角形綜合題例7：（2012湖北仙桃，24）△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN＝∠B。①如圖(1)，當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．②如圖(2)，將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論。③在圖(2)中，若