向量的線性運算

向量的線性運算知識點：向量的有關概念名稱定義備注向量具有大小和方向的量:向量的大小叫做向量的長度（或模）女口a，AB零向量長度等于零的向量：其方向不確定記作0單位向量給定一個非零向量a,與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0.aao=lal共線（平行）向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行向量a與b平行記作a〃b相等向量同向且等長的有向線段表示同一向量，或如AB=a相等的向量相反向量與向量a反向且等長的向量，叫做a的相反向量記作一a2?向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算a三角形怯則口 ■平行叫邊暗法卵1⑴交換律：a+b=b+a；（2）結合律：（a+b）+c=a+（b+c）.減法求a與b的相反向量一b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a—b=a+(—b)數(shù)乘求實數(shù)久與向量a的積的運算（1）|加|=|久iai；⑵當久＞0時，加的方向與a的方向相同：當久＜0時，加的方向與a的方向相反；當X(pa)—a〃)a:a+〃)a=Aa+〃a；久(a+b)=Aa+Ab

2=0時，2a=03.平行向量基本定理如果a=Xb，則aHb；反之，如果allb,且bHO,則一定存在唯一一個實數(shù)久，使a=Xb.課堂練習：（2012?四川）設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使盒二盒成立的充分條件是（）A.a=—b B.albC.a=2b D.alb且lal=lbl解析備表示案C與a同向的單位向量，盒表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有盒=盒，觀察選項易知C滿足題意.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且2OA+OB+OC=O,那么（）a.AO=OD b.AO=2ODC.AO=3OD D.2Ab=OD解析由2OA+OB+OC=O可知，O是底邊BC上的中線AD的中點，故Ao=OD.已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足PA+BP+CP=O,AP=1PD,則實數(shù)久的值為解析如圖所示，由AP=APD，且PA+BP+CP=O，則P是以AB.AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此AP=-2PD，則A=-2.5.設a、b是兩個不共線向量，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a~2b5.若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值為 解析VBD=BC+CD=2a-b，又A、B、D三點共線,?p=-1.2?p=-1..?.存在實數(shù)2，使AB=ABD.即｛P=—典型例題:平面向量的概念辨析【例1】給出下列命題:①若lal=lbl，則a=b；②若A,B,C,D是不共線的四點，貝iJAB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a=b,b=c,則a=c；?a=b的充要條件是lal=lbl且alb.

其中正確命題的序號是 .解析①不正確?兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.正確.VAB=D)C,AIABI=IDCI且AB#DC,又VA,B,C,D是不共線的四點，.?.四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB〃DC且iAbi=idci,因此，Ab=Dc.故“AB=DC”是“四邊形abcd為平行四邊形”的充要條件.正確.Va=b,.a,b的長度相等且方向相同；又b=c,?b,c的長度相等且方向相同，?a,c的長度相等且方向相同，故a=c.不正確.當allb且方向相反時，即使lal=lbl,也不能得到a=b,故“l(fā)ai=Ibl且allb”不是“a=b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是②③.思維升華(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.非零向量a與備的關系：a是a方向上的單位向量.平面向量的線性運算【例2】(1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么EF等于 ()b.4aB+~ADd.2aB-|Adc.|ab+|d)ad.2aB-|Ad⑵在△ABC中，AB=c，AC=b，若點D滿足BD=2DC,MAD等于( )B.5c—b

1八2D.^b+^c思維啟迪結合圖形性質(zhì)，準確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減法運算的關鍵.解析(1)在MEF中，有EF=EC+CF.

因為點E為DC的中點，所以EC=|dC.°因為點F為BC的一個三等分點，所以CF巧=2ab-|ad,故選d.(iy：BD=IDC,:.AD-AB=BD=IDC=l(AC-AD),Z.3AD=|Ac+AB,/.AD=|AC+3AB=|b+gc.思維升華(1)解題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量,并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(I)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.共線向量定理及應用【例3】設兩個非零向量a與b不共線，(1)若AB=a+b,BC=Ia+8b,CD=3(a_b)，求證：A、B、D三點共線;(I)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.思維啟迪解決點共線或向量共線的問題，要結合向量共線定理進行.(1)證明AB(1)證明AB=a+b,BC=la+8bCD=3(a-b),b)/.BD=BC+CD=la+8b+3(ab)=la+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB./.AB、BD共線，又???它們有公共點b,/.A、B、D三點共線.(I)解?ka+b與a+kb共線，/?存在實數(shù)久，使ka+b=A(a+kb),即ka+b=Aa+Akb./.(k-久)a=(Xk-1)b.?a、b是不共線的兩個非零向量，/?k-A=Ak-1=0,/.kl-1=0./?k=±1.思維升華(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.⑵向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)人，久2，使A^a+A2b=0成立，若人a+久2⑵向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)人，久2，使A^a+A2b=0成立，若人a+久2b=0，當且僅當A1=A2=0時成立，否則向量a、b不共線.方程思想在平面向量的線性運算中的應用例4：(12分)如圖所示，在AABO中，C1C=1(OA,OD=*OB，AD與BC相交于點M,設OA=a,OB=b.試用a和b表示向量CM.思維啟迪(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領,要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.⑵既然OM能用a、b表示，那我們不妨設出OM=ma+nb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解.規(guī)范解答解設OM=ma+nb,貝UAM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.—?—?—?1—?—? 1_AD=OD-OA=2OB-OA=-a+Qb.[3分]又???A、M、D三點共線，.AM與AD共線.???存在實數(shù)t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t(-a+±b)[5分](m-1)a+nb=-ta+|tb.m-1=-t，消去t得，m-1=-2n,即m+2n=1.①［7分］又*.*CM=OM-OC=ma+nb-4a=m-4)a+nb,CB=OB-OC=b-4a=-4a+b.又TC、M、B三點共線，.CM與CB共線.[10分]???存在實數(shù)使得CM=t1CB,4)a4)a+nb=t1114 41，消去［得，4m+n=l. ②、n=\1 3 i 3由①②得m=7,n=7j,：.OM=￥+〒b. ［12分］溫馨提醒（1）本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復雜，有一定的難度.（2）易錯點是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解.（3）數(shù)形結合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關問題時，多數(shù)習題要結合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D三點共線和B、M、C三點共線這個幾何特征.（4）方程思想是解決本題的關鍵，要注意體會.方法與技巧1.向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素?向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.2?可以運用向量共線證明線段平行或三點共線?如花〃CD且AB與CD不共線，則AB〃CD;若AB〃BC,則A、B、C三點共線.失誤與防范1.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件?要特別注意零向量的特殊性.課后訓練一、選擇題1.下列命題中正確的是 （）a與b共線，b與c共線，則a與c也共線任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點向量a與b不共線，則a與b都是非零向量有相同起點的兩個非零向量不平行答案C解析由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，

而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C.2.已知AB=a+2b,BC=—5a+6b,CD=7a~2b，則下列一定共線的三點是（ ）A.A、B、C B.A、B、DC.B、C、D D.A、C、D答案B解析BD=BC+CD=2a+4b=2AB^BD#AB^A>B、D三點共線.3.A.2B.3C.4D.5答案解析如圖,E點,由已知條件得MB+MC=-Ma.因此延長AM交BC于D點，則D為3.A.2B.3C.4D.5答案解析如圖,E點,由已知條件得MB+MC=-Ma.因此延長AM交BC于D點，則D為BC的中點?延長BM交AC于延長CM交AB于F點，同理可證E、F分別為AC、AB的中點，即M為△ABC的重心.—A —A—A —A .+AC)，即AB+AC=3AM,則m=3.4.已知點O為△ABC外接圓的圓心，且OA+OB+OC=0,則AABC的內(nèi)角A等于4.A.30°B.60°C.90°D.120°答案B解析由Oa+OB+OC=0，知點O為△ABC的重心,又O為△ABC外接圓的圓心，.?.△ABC為等邊三角形，A=60°.5.在△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若AO=AAB+〃BC,則久+〃等于A.1A.1C-ID-l答案D解析Ad=AB+Bd=AB+|Bc，2Ao=AB+|Bc，即ao=2ab+6bc.

故久+“=2+&二、填空題6.設向量ex，e2不共線，AB=3(e］+e2),CB=e—ey,CD=2ex+e2，給出下列結論：①A,B,C共線；②A,B，D共線；③B,C，D共線；④A,C，D共線，其中所有正確結論的序號為 .答案④解析AC=AB-CB=4ei+2e2，BD=CD-CB=3e,由向量共線的充要條件b=Aa(a^0)可得A,C,D共線，而其他A無解.7.在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3nC,M為BC的中點，則MN= .(用a,b表示)答案一fa+fb解析由AN=3NC得AN=3AC=3(a+b),AM=a+|b，所以MN=AN-AM=3(a+b)-(a+2b)=-4a+4b.8.在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD=2DB,CD=4CA+aCB，則 答案3解析由圖知CD=ca+aD，①CD=cB+bD，②且A