上海市寶山2023年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)全集U=R，集合M={x|x<l},N={x|x>2},貝iJ(Q,M)cN=()

A.{x|x>2)B.{x|x>l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>2)

2.已知集合4={-2,-1,0,1,2},?={x|x2-4x-5<0},貝114nB=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,(),1}D.{0,1,2)

3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()

T

^

I

T

X

A328,

A.-------+64B.8G+6萬

3

「32616716萬

D.873+

33~T

4.已知函數(shù)f(x)=x2一3無+5,g(x)=ox—lnx,若對Vxe(0,e),肛，/G(0,e)且無產(chǎn)x2,使得

/(x)=g(x,)(i=l,2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

5.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為：在AABC中，角A8,C所

+b2-c2\

對的邊分別為則AABC的面積S=(ab)2—.根據(jù)此公式，若

acos3+(b+3c)cos4=0,且"一〃一《2=2,則AABC的面積為()

A.72B.272C.76D.2百

6.將一張邊長為12cm的紙片按如圖（1）所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)

有底的正四棱錐模型，如圖⑵放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（

至八△

圖⑴圖⑵

64/T-3

A.—V6cm3B.—y/^cm3C.—V2cm3D.—V2cm3

3333

7.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（)

正（主眠網(wǎng)觸為視圖

8

A.8C.8+2也D.8+40

3

8.某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）

?i〈左）戲團(tuán)

帽觀圖

84

A.8B.C.4D.

33

9.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額.V（單位：億元）的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是（

200020012002200320(M200520062007200820092010201120122013201420152016年份

A.從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；

B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；

C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；

D.為了預(yù)測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2,…，7)

建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型9=99+17$,根據(jù)該模型預(yù)測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為

256.5億元.

10.已知向量”=(1,2)力=(2,/1-2),S.a±b,則2等于()

A.4B.3C.2D.1

11.函數(shù)/(x)=sin的(。>0)的圖象向右平移三個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間上

1263

單調(diào)遞增，在區(qū)間［(,］］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)”的值為()

735

A.-B.-C.2D.一

424

12.已知正四面體A-3CD外接球的體積為86不，則這個(gè)四面體的表面積為()

A.1873B.16百C.1473D.12百

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知f(x)=log“(x2+4)(a>0且有最小值，且最小值不小于1,則。的取值范圍為.

14.動點(diǎn)P到直線％=-1的距離和他到點(diǎn)口(1,0)距離相等，直線AB過(4,0)且交點(diǎn)尸的軌跡于A,5兩點(diǎn)，則以AB

為直徑的圓必過.

15.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，數(shù)列出｝為等比數(shù)列，滿足｛《,%%｝=%也也｝=｛。，"-2｝,其中a>0,b>0,

貝!Ia+6的值為.

16.已知向量a=(2,加)，方=(1,—2),且則實(shí)數(shù)，〃的值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合

格，，“不合格，，兩個(gè)等級，同時(shí)對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)

計(jì)結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：

等級不合格合格

得分[20,401[40,60][60,80][80,100]

頻數(shù)6a24b

(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得

分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

(3)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，

記所選4人的量化總分為鼻求J的數(shù)學(xué)期望EC).

18.(12分)已知直線y=x-l是曲線/(x)=alnx的切線.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式，

(2)若41n2,證明:對于任意機(jī)＞0,〃(x)=/nr-石'+/(x)+r有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

19.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,且成

績分布在［0,60］的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取

400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中上。構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

(1)求a/,。的值;

(2)填寫下面2x2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？

文科生理科生合計(jì)

獲獎(jiǎng)6

不獲獎(jiǎng)

合計(jì)400

(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為X，

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

〃2n(ad-bcY?一,,

附：K二,其中〃一Q+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃4-c)(Z?+d)

2

P(K..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(12分)［選修45：不等式選講］

a2b2c2d21

已知都是正實(shí)數(shù)，S.a+b+c+d=i,求證：‘一+2二+二+/—..，.

1+Q1+〃1+C1+d5

21.(12分)設(shè)橢圓C:］+y2=i的右焦點(diǎn)為尸，過f的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求線段A3的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)4關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C,求證：M,B,C三點(diǎn)共線；

(3)設(shè)過點(diǎn)M的直線交橢圓于G,4兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得OG+O”=2OP(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)

2的取值范圍.

22.(10分)已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S”，4=4,%是%與小的等比中項(xiàng).

(1)求s“；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足4=%,%=勿+3x2”"，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先求出，何，再與集合N求交集.

【詳解】

由已知，^M={x\x>l],又雙=卜|%>2},所以知McN={x|x>2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.

2.D

【解析】

解一元二次不等式化簡集合8,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榧?={-2,-1,0,1,2},B={X[(X-5)(X+1)<0}={X[-l<x<5}

.?.AnB={-2,-l,0,l,2}n{x|-l<x<5}={0,l,2},

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.

【詳解】

由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐

1,1,

半個(gè)圓柱體積為：一兀戶h=-7i又啜乂3=6兀

22

四棱錐體積為：K=1S/2=|X4X3X273=8V3

原幾何體體積為：V=K+%=8百+6乃

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.

4.D

【解析】

先求出/(x)的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,e)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因?yàn)間(x)=^一?，故g'(x)=￡~」，

當(dāng)a<0時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(o,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

e

當(dāng)時(shí),令g[x)=O,解得x=5，

故g(x)在區(qū)間I。,5]單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又g(：)=l+/〃a,g(e)=?-l,且當(dāng)x趨近于零時(shí)，g(x)趨近于正無窮；

對函數(shù)/(x),當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/(x)e

根據(jù)題意，對Vxe(O,e),叫w(O,e)且石，使得/(%)=g(%)(i=1,2)成立,

只需g(￡|<*g(e)N5,

即可得1+勿a<U,0—125,

4e

一6二、

解得ae-,e4.

[e)

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

5.A

【解析】

根據(jù)acos3+(。+3c)cosA=0,利用正弦定理邊化為角得sinAcos3+cosAsin3+3sinCeosA=0,整理為

sinC(l+3cosA)=0,根據(jù)sinCxO,得cosA=—g,再由余弦定理得兒,=3,又如—白—d=2,代入公式

L+2

求解.

【詳解】

由acosB+優(yōu)+3c)cosA=0得sinAcos8+cosAsin8+3sinCeosA=0,

即sin(4+B)+3sinCcosA=0,即sinC(1+3cosA)=0,

因?yàn)閟inCwO,所以cosA=-,，

3

2

由余弦定理2一。2=-2/?ccosA=~bc=2,所以歷=3,

由AABC的面積公式得S=-3c-)2-仁+1二土

H12心T)=3

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

6.B

【解析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為。，高為〃，則/7=正〃，故由題設(shè)可得,a+a=12x變na=4后，所以

222

四棱錐的體積V=g(4行產(chǎn)x/x4夜=呼cm3,應(yīng)選答案B.

7.D

【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積.

【詳解】

由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，

且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2,

所以S=2X2+2XLX2X2+2XL2X2^=8+4VL

22

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.D

【解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它

的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱PA_L底面ABCD的四棱錐，如圖所示：

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形,

高為PA=2,

2

...四棱錐的體積為It?-2=42.

323

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力.屬于中等題.

9.D

【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于8選項(xiàng)，2000-2004投資總額為

11+19+25+35+37=127億元，小于2012年的148億元，故描述正確.2004年的投資額為37億，翻兩翻得到

37x4=148,故描述正確.對于。選項(xiàng)，令/=10代入回歸直線方程得99+17.5x10=274億元，故O選項(xiàng)描述不正

確.所以本題選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測的方法，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】

因?yàn)閍=(1,2),/?=(2,4—2),且a_L8，

a"=2+2(4—2)=0,

則4=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

由函數(shù)f(x)=siiwx(G>0)的圖象向右平移個(gè)單位得到g(x)=sin[a^x-^)]=si〃(如一管)，函數(shù)g(力在

7TJTT[7C

區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

63」|_32_

上單調(diào)遞減，可得X=?時(shí)，g(x)取得最大值，即(oxg—符)=^+2版，k&Z,0>0,當(dāng)％=0時(shí)，解得0=2,

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間-,-上單調(diào)遞增，在區(qū)間-,-上單調(diào)遞減可得x=§時(shí)，g(x)取

得最大值，求解可得實(shí)數(shù)。的值.

12.B

【解析】

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)

正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面

積.

【詳解】

將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a,如圖所示，

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則生a=8n%，得/?=n.因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的

3

外接球是同一個(gè)球，則有屈=2R=2?,，a=2夜.而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，

所以，正四面體ABCD的棱長為J5a=20x0=4,因此，這個(gè)正四面體的表面積為4x返二=16百.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計(jì)

算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1,4]

【解析】

真數(shù)V+4有最小值，根據(jù)已知可得〃的范圍，求出函數(shù)/(x)的最小值，建立關(guān)于“的不等量關(guān)系，求解即可.

【詳解】

?X2+4>4,且/(x)=log“(x2+4)(a>0且awl)有最小值,

，?>l,/(x)min=loga4>l,a<4,/.l<?<4,

的取值范圍為(1,4].

故答案為：d,4],

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.(0,0)

【解析】

利用動點(diǎn)P到直線x=-1的距離和他到點(diǎn)尸(1,0)距離相等，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以尸(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線,從而可

求曲線的方程，將V=Z(x—4),代入y2=4x,利用韋達(dá)定理，可得+乂%=°，從而可知以為直徑的圓經(jīng)過

原點(diǎn)O.

【詳解】

22

設(shè)點(diǎn)尸(x,y),由題意可得x+]=J(x-1)2+V,(x+l)?=(1-1)2+y,%+2x+l=x-2x+l+/,可得

V=4x,設(shè)直線48的方程為丁=左5-4),代入拋物線可得

x

—4(2K+l)x+16K=0,A^xi,yi),B(^x2,y2):.xtx2=16,x,+x2=———j——-?

K

.0%=幺(%-4)&-4),

2

x(x2+yty2=(42+1)X]W—4左2(%+x2)+16A:

=16儼+i)-4k=o,

:.OAOB=Q>以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)。.

故答案為：(0,0)

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

15.5

【解析】

根據(jù)題意，判斷出仇=一2,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得代=他3=(—2)2=4,再令數(shù)列｛4｝中的4=-2,%=a,

a.=b,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式2a=—2+。，求出”和人的值即可.

【詳解】

解:由｛4，生,4｝=也也也｝=｛。力，-2｝,其中a>0,b>0,

可得仇=—2,則以=44=(一2)2=4,令*=a,瓦=1),

可得曲=4.①

又令數(shù)列｛4｝中的4=-2,a2=a,a3=b,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得2%=4+?3,

所以為=一2+".②

根據(jù)①②得出”=1,b=4.

所以a+/?=5.

故答案為5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

根據(jù)a_L。即可得出=2-2心=0，從而求出，”的值.

【詳解】

解：；a_L〃；

a-b-2-2m-0;

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

23

17.(1)64,65；(2)一；(3)E?)=12.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出4,b,C,平均數(shù)，中位數(shù);

(2)設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,由條件概率公

式P網(wǎng)A)=需可求出;

24

(3)從評定等級為“合格”和“不合格''的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為二x10=4,“合

60

格''的學(xué)生數(shù)為6；由題意可得4=0,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率，進(jìn)而得出分布列

與數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

由題意知，樣本容量為——-——=60,。=60X(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

0=60-6-12-24=18,c=------=0.015.

60x20

(1)平均數(shù)為(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,

設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)?.005x20+0.015*20=0.4<0.5,0.005x20+0.0l5x20+0.02x20=0.8>0.5,所以

xG(60,80),則0.005x20+0.015*20+(x-60)x0.02=0.5,

解得x=65.

(2)由題意可知，分?jǐn)?shù)在［60,80)內(nèi)的學(xué)生有24人，分?jǐn)?shù)在［80,100］內(nèi)的學(xué)生有12人.設(shè)“第1次抽取的測試得分

低于80分”為事件A，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,

則「⑷啜亭叩黑嗡所以「⑻小需=n

24

(3)在評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為二x10=4,

60

“合格”的學(xué)生人數(shù)為10-4=6.

由題意可得自的所有可能取值為0,5,10,15,1.

4

p(g=o)=cT=1——,p?=5)C=3^cl^=2—4,p(g=io)_90

q；210配210最

「I「30(1041C

「《=15)=勺=旦,尸(4=20)。=旦.

。210C：o210

所以。的分布列為

0510151

124908015

p

210210210210210

49=0+5嗡+10x券+15x黑+20x蔡=12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.(1)/(x)=lnx(2)證明見解析

【解析】

(D對函數(shù)求導(dǎo)，并設(shè)切點(diǎn)4(毛,%),利用點(diǎn)既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得小=。=1，即可得答

案;

(2)當(dāng)x充分小時(shí)〃(為<0,當(dāng)x充分大時(shí)〃。)>0,可得〃(x)至少有一個(gè)零點(diǎn).再證明零點(diǎn)的唯一性，即對函數(shù)

求導(dǎo)得〃'(?=m一-!-+(3-?。?對加分加和0<“<，兩種情況討論，即可得答案.

164J1616

【詳解】

(D根據(jù)題意，.1(x)=q,設(shè)直線y=x-l與曲線/(x)=alnx相切于點(diǎn)發(fā)(%,%).

烏=1

根據(jù)題意，可得Jx(),解之得Xo=a=l,

QIn//一1

所以，(%)=如％.

(2)由(1)可知/i(x)=mx-4+lnx+r(x>0),

則當(dāng)x充分小時(shí)以x)<0,當(dāng)x充分大時(shí)〃。)>0,???〃(工)至少有一個(gè)零點(diǎn).

Vhr(x)=------^=-—,

x2?16gx4)

①若則"(x)N0,力(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，有唯一零點(diǎn).

16

/、2

②若令得有兩個(gè)極值點(diǎn)，

+,?--L=o,/i(x)

11

玉，馬(西<七)，>4J???0<Xi<16.

在(0,不)上單調(diào)遞增，在(％,&)上單調(diào)遞減，在(々，+8)上單調(diào)遞增?

—y[x^+lnX]+/.=_J^L_1],又

.,.極大值為〃(玉)=〃狀1-JZ+lnX]+，fii]+nx(+

%)=—志+；=茅川

...力(%)在(0,16)上單調(diào)遞增,

二力(七)</?(16)=In16—3+7<lnl6—3+3-41n2=0,

J./z(x)有唯一零點(diǎn).

綜上可知，對于任意相＞0,%(幻=如-?+/(%)+/有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論

思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用.

19.(1)a=0.005,Z?=0.01,c=0.02.(2)填表見解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得

優(yōu)秀作文，，與，，學(xué)生的文理科，，有關(guān)(3)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分步直方圖和4,仇c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解;

(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫2x2列聯(lián)表，再用K?的計(jì)算公式運(yùn)算即可;

201

(3)獲獎(jiǎng)的概率為而，隨機(jī)變量》~B\，再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖可知，10x(。+8+c)=l-10x(0.018+0.022+0.025)=0.35,

因?yàn)閍S,c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以a+2a+4。=0.035,解得a=0.005,

所以b=2a=0.01,c=4a=0.02.

故。=0.005,Z?=0.01,c—0.02.

(2)獲獎(jiǎng)的人數(shù)為0.005x10x400=20人，

因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為1：4,所以400人中文科生的數(shù)量為400x(=80,理科生的數(shù)量為

400-80=320.

由表可知，獲獎(jiǎng)的文科生有6人，所以獲獎(jiǎng)的理科生有20-6=14人，不獲獎(jiǎng)的文科生有80-6=74人.

于是可以得到2x2列聯(lián)表如下:

文科生理科生合計(jì)

獲獎(jiǎng)61420

不獲獎(jiǎng)74306380

合計(jì)80320400

心翌)'叱3吩史74J]32<6.635

20x380x80x320

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).

201

(3)由(2)可知，獲獎(jiǎng)的概率為礪=三，

X的可能取值為0,1,2,

02361

P(X=())=《.

120,-4601

_38_19

P(X=1)=C>'.I

.20J,20J-400-2001

2

P(X=2)=C[120,(11220：,J400'

分布列如下:

X012

361191

P

400200400

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x至l+lx'Z+2x—!_=-L

40020040010

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，屬于

中檔題.

20.見解析

【解析】

試題分析：把不等式的左邊寫成[(l+a)+(l+b)+(l+c)+(l+d二+左形式，利用柯西不

等式即證.

試題解析：證明：...[(1+")+(1+8)+(1+，)+。+△)]

1+。1+/71+c1+d,

2

>

=(Q+/?+C+d『=1,

又(l+a)+(l+b)+(l+c)+(l+d)=5,

a2h2c2d~1

----1-----1-----1----2-

1+。1+b1+c1+d5

考點(diǎn)：柯西不等式

2

21.(1)A8的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為§；(2)證明見解析；(3)(-2,2)

【解析】

設(shè)A(x，x),B(x2,y2).

y=x-

(1)因?yàn)橹本€/的傾斜角為45。，尸(1,0),所以直線A5的方程為y=x-l,聯(lián)立方程組f2],消去y并整理,

[2+y

得3d-4x=0,則占+々=。，受產(chǎn)=：，

2

故線段A3的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-.

3

(2)根據(jù)題意得點(diǎn)cu,,-x),

若直線A8的斜率為0,則直線A8的方程為y=o,A、C兩點(diǎn)重合，顯然M,B,C三點(diǎn)共線；

若直線A8的斜率不為0,設(shè)直線48的方程為％=加)，+1,

x=my+1

聯(lián)立方程組《r2,消去』并整理得畫+2)丁+2*1=0,

---F9=]

[2/

則y+%=——二7，X%=——~~-，設(shè)直線BM.C