剛體力學基礎

剛體力學基礎第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日二、平動和轉動AB平動:固聯(lián)在剛體上的任一條直線,在各時刻的位置始終保持彼此平行的運動特征:各點的速度和加速度一樣,因此,可以選取剛體上的任一點來代表其運動.轉動:剛體上所有各點都繞同一直線(轉軸)作圓周運動.特征:rpoX剛體上所有不在轉軸上的各個質元都在作半徑不等的圓周運動圓周軌道所在平面垂直于轉軸,稱為轉動平面.各個質點在相同時間內都轉過了相同的角度因此,描述剛體的定軸轉動,可以在剛體上選取一個質元作代表點P,選取坐標軸oX,就可以用角坐標、角速度、角加速度來定量描述。第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日三、定軸轉動O剛體vP×rr定軸參考方向θz角速度角加速度勻變速轉動時:第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日四、角速度o角速度矢量:大小:方向:與剛體轉動方向成右手螺旋法別.剛體上任一點p的線速度與角速度之間的關系可表示為:速度的大小為:其中是質元P到轉軸的垂直距離第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日4-2

力矩轉動定律轉動慣量

是決定剛體轉動的物理量,表明力的大小、方向和作用點對物體轉動的影響。一、力矩1.力矩的定義:2.物理意義3.定軸轉動的力矩

(1)力矩只有兩個方向，規(guī)定了正方向后，可用正負號表示力矩的方向;(2)若有n個力作用在剛體上，且都在與轉軸相垂直的平面內，則合力矩為所有力對剛體力矩的代數(shù)和;doPz第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日(3)若力不在垂直于轉軸的平面內,則將這些力沿平面和轉軸方向分解，與轉軸平行的分力力矩為零，在平面內的分力力矩的代數(shù)和即為這些力的合力矩;(4)由于剛體內質點間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，并遵守牛頓第三定律，所以這些力對轉軸的合力矩為零，即合內力矩為零。對mi用牛頓第二定律：二、轉動定律zOrifiFimiii切向分量式為：外力矩內力矩第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日對所有質點求和：用M表示合外力矩,則有:M＝J轉動慣量矢量式:剛體定軸轉動的轉動定律:剛體繞定軸轉動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積。2.力矩是使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生改變而產生角加速度的原因。說明：1.與地位相當，m反映質點的平動慣性，J反映剛體的轉動慣性。3.力矩是矢量，方向沿轉軸，對定軸轉動只有兩個方向，所以用正負號表示方向。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日物理意義：轉動慣量是對剛體轉動慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉動狀態(tài)的難易程度。三、轉動慣量1.定義2.與轉動慣量有關的因素①剛體的質量及其分布;②轉軸的位置;③剛體的形狀。在（SI）中，J的單位：kgm2剛體對某一轉軸的轉動慣量等于每個質點的質量與這一質點到轉軸的距離平方的乘積之和。3.轉動慣量的計算質量離散分布的剛體第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日若質量連續(xù)分布質量為線分布質量為面分布質量為體分布線分布體分布面分布為質量的線密度為質量的體密度為質量的面密度注意只有幾何形狀規(guī)則、質量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計算其轉動慣量,一般剛體則用實驗求其轉動慣量。第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例1求長為L質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量。ABLxABL/2L/2Cx解：取軸處為原點建立一維坐標系如圖所示，dm=λdxA,C相距L/2第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日2.平行軸定理前例中JC表示相對質心軸的轉動慣量，JA表示相對通過棒端的軸的轉動慣量。兩軸平行，相距L/2，有：cd推廣:若有任一軸與過質心的軸平行且相距d，剛體對其轉動慣量為:,稱為平行軸定理。第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例2求質量為m半徑為R的均勻圓環(huán)的轉動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解:在環(huán)上任取一小線元dlROdm其質量第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例3求質量為m，半徑為R，厚為l的均勻圓盤的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)可見，轉動慣量與l無關。所以，實心圓柱對其軸的轉動慣量也是。第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例4求質量為m半徑為R的勻質薄球殼繞過中心軸的轉動慣量。解:在球面取一圓環(huán)帶，半徑第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例5求質量為m半徑為R的勻質球體繞過球心軸的轉動慣量。解:把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合

第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日3.(薄板)垂直軸定理

例如求對圓盤的一條直徑的轉動慣量已知yxz

圓盤

R

Cmx,y軸在薄板內；z軸垂直薄板。zxy第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例4在半徑為R,質量為M的均勻薄圓板上,挖出一個直徑為R的圓孔,孔的中心為R/2處,求所剩部分對通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉動慣量。oZ解用補償法大圓板對Z軸的轉動慣量被挖圓孔對Z軸的轉動慣量被挖圓孔質量計算用平行軸定理ZZ第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例5如圖所示，剛體對經過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？(棒長為L,球半徑為R）解：第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日四、定軸轉動剛體的轉動定律的應用解：例6

一個質量為半徑為R的定滑輪（當作均勻圓盤），上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。()第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日0例7一個飛輪的質量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉的轉速轉動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內使它均勻減速而最后停下來。已知摩擦系數(shù)為0.46，求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（J=mR2

）解：飛輪制動時有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。0Nfr第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質心所產生的力矩一樣。解：xOmgx例8一根長為l質量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度和角速度。()重力力矩為：第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日一、力矩的功

----力矩的空間積累作用-----力矩的功5.3力矩作功剛體繞定軸轉動的動能定理Frds

合外力矩二、力矩的功率功對時間的變化率第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日若力矩是恒量:比較：三、轉動動能miri

設轉動角速度為，第i個質元mi的速度為:其動能為:第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日整個剛體的動能為:剛體轉動動能平動動能轉動動能比較：四、定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理:合外力矩作的功等于剛體轉動動能的改變量.第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日-----剛體繞定軸轉動的動能定理-----質點的動能定理比較:四、機械能與機械能守恒機械能=勢能+平動動能+轉動動能剛體與質點組成的系統(tǒng)，機械能包括：機械能守恒條件：機械能=勢能+平動動能+轉動動能=恒量剛體與質點組成系統(tǒng)的機械能守恒定律第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例9質量m半徑為R的均勻圓盤,可在水平桌面上繞中心軸轉動,盤面與桌面間摩擦系數(shù)為μ,求盤轉過一圈時摩擦力矩的功.解：第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例10如圖所示，滑輪轉動慣量為0.01kg·m2，半徑為7cm，物體質量為5kg，由一繩與倔強系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。（1）當繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體速度達到最大值的位置及最大速率。求：第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日5.4角動量角動量守恒定律一、質點繞固定軸轉動的角動量(動量矩)質點m以速率v、角速度繞z軸轉動,z軸垂直于轉動平面xoy。定義質點m繞z軸的角動量為:方向:如圖所示;大小:

由于質點繞固定軸轉動,則有:單位：第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日二、質點的角動量定理及角動量守恒定律由牛頓第二定律:力矩:由于:則:質點的角動量定理:質點的角動量守恒定律:沖量矩第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日一質量m的粒子位于(x,y)處,速度為并受到一個沿-x方向的力f,求它相對于坐標原點o的角動量和作用在其上的力矩.解:第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日開普勒第二定律:在有心力作用下,從力心到運動質點的矢徑在單位時間內掃過的面積是常量證明:oab+t內,質點矢徑掃過面積為t0tt0因質點只受有心力作用,則常量常量說明:的大小不變,說明面積速度是恒量在空間的指向不變,說明質點的軌跡在一個平面內兩邊同除t第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日兩個重量相等的小孩從同一高度從靜止向上爬,相對于繩子,甲的速率是乙的兩倍,誰先到達頂點?若兩小孩重量不等,又如何?甲乙選取兩人為研究對象C=0方向向里方向向外=0甲相對于地的速度乙相對于地的速度因此,兩人同時到達二:若初始兩者速度都為零,(1)乙先到達頂點(2)甲先到達頂點取向里為正0第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日

剛體以角速度繞z

軸轉動。剛體上任一質元繞z軸作圓周運動的角動量為：三、剛體定軸轉動的角動量

由于每個質元對z軸的角動量方向相同,剛體對z軸的角動量為:角動量是描述剛體轉動狀態(tài)的物理量四、剛體的角動量定理由轉動定律:第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日沖量矩表示合外力矩在t0t

時間內的累積作用。單位：牛頓·米·秒角動量定理:作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的改變量。五、剛體的角動量守恒定律剛體角動量守恒定律:當物體所受的合外力矩為零時,物體的角動量保持不變。定軸說明：1.若系統(tǒng)由幾部分構成，總角動量守恒是指各部分相對同一轉軸的角動量；2.對微觀粒子和高速運動也適用，是物理學中的基本定律之一。第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日角動量守恒定律的兩種應用：1.轉動慣量保持不變的單個剛體。2.轉動慣量可變的物體。花樣滑冰運動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉動慣量來改變轉速.ω第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例11一質量為M長度為L的均質細桿可繞一水平軸自由轉動。開始時桿子處于鉛垂狀態(tài)?，F(xiàn)有一質量為m的橡皮泥以速度v和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求:1.碰撞后系統(tǒng)的角速度；2.碰撞后桿子能上擺的最大角度。）θLmM解：碰撞過程角動量守恒上擺過程機械能守恒，得：注意：橡皮泥和桿子的零勢點取得不同。第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例12如圖所示,質量為m的粘土塊從距勻質圓盤h處落下,盤的質量M=2m,=60°,盤心為光滑軸。求碰撞后瞬間盤的0；P轉到x軸時盤的，。解：m下落到P點前一瞬間有碰撞時間極短，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對o的力矩可忽略，角動量守恒：對m+盤+地球系統(tǒng)，只有重力做功，機械能守恒。令x軸為零勢面,則：第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日解：由角動量守恒摩擦力矩作負功，有機械能損失。例13兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為1、2，求：1)對接后共同的角速度;2)對接過程中的機械能損失。J2J1ω1ω2ω第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例14人和轉盤的轉動慣量為J0,啞鈴的質量為m,初始轉速為ω1。求：雙臂收縮由r1變?yōu)閞2時的角速度及機械能增量。r2r1mmJ0ω1解：由角動量守恒非保守內力作正功，機械能增加。第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例15一轉臺繞其中心的豎直軸以角速度ω0=πs-1轉動，轉臺對轉軸的轉動慣量為J0=4.0×10-3

kg·m2。今有沙粒以Q=2tg·s-1的流量豎直落至轉臺，并粘附于臺面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為r=0.10m，求沙粒下落t=10s時，轉臺的角速度。解：在0ts內落至臺面的沙粒質量為：沙粒下落對轉臺不產生力矩作用（沖擊力與軸平行）,則任意時刻系統(tǒng)角動量守恒：t=10s時轉臺的角速度：第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日例16如圖，一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO′自由轉動，轉動慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始角速度為ω0，今有一質量為m的小球靜止在環(huán)內A點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達B、C點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？（設環(huán)內壁光滑）。解：小球在A、C

點對OO′軸的轉動慣量為0，在B

點處的轉動慣量為mR2,對環(huán)+小球系統(tǒng),外力為重力,不產生力矩,角動量守恒：對環(huán)+小球+地球系統(tǒng),機械能守恒，取環(huán)心為零勢點，有：得：第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日由這幾式得：例17如圖，在光滑的水平面上有一輕彈簧（倔強系數(shù)為k）它的一端固定，另一端系一質量為m′的滑塊。最初滑塊靜止時，彈簧呈自然長度l0，今有一質量為m的子彈以速度v0沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內滑動，當彈簧被拉伸至長度l時，求滑塊速度的大小和方向。解：沿水平方向動量守恒:對子彈+滑塊+彈簧系統(tǒng),合外力做功為零，機械能守恒；合外力矩為零，角動量守恒：第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日本章小結一、描述剛體定軸轉動的物理量及運動學公式1.物理量角速度角加速度2.線量和角量的關系3.勻角加速轉動公式二、轉動定律注意:J和M必須是一個剛體對同一轉軸的轉動慣量和力矩。若同時存在幾個剛體，原則上應對每個剛體列出。三、轉動慣量剛體的轉動慣量與剛體的質量、形狀、質量的分布以及轉軸的位置有關。第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日計算轉動慣量的方法：(1)已知質量分布，由定義式求轉動慣量：(2)已知兩軸間距離，用平行軸定理求解：(3)已知剛體系中各個剛體對同一轉軸的轉動慣量，由疊加法求解：四、剛體力學中的功和能(1)力矩的功：(2)剛體轉動動能定理：(3)機械能守恒定律：只有保守內力作功時，系統(tǒng)動能與勢能之和為常量。五、剛體角動量和角動量守恒定律(1)角動量:(2)角動量定理:(3)角動量守恒定律:當剛體(系統(tǒng))所受外力矩為零時，則剛體(系統(tǒng))對此軸的總角動量為恒量。第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期日半徑為R,轉動慣量為I的圓柱體可繞中心軸無摩擦地轉動,起初它靜止,今有一木塊M以由光滑平面的左方向右滑動,并切擦圓柱體上表面滑向等高的另一平面,設木塊和圓柱體間無滑動,求木塊滑過圓柱體后的速度oRMI解分析木塊滑過圓柱體的一瞬間,把木塊