源于三等邊 旨在多路徑 論文

源于三等邊旨在多路徑內(nèi)容摘要：

2022年中考的第22題，最后一問(wèn)原型就是三等邊四邊形，這一知識(shí)點(diǎn)在我們歷年來(lái)的中考也是多次出現(xiàn)，解題方法多樣，靈活多變，對(duì)學(xué)生的思維能力，知識(shí)的掌握熟練程度，都有很好的考察作用。關(guān)鍵詞：中考題、三等邊四邊形、一題多解

一、定義闡述 有三條邊相等的四邊形叫做三等邊四邊形。如圖，在四邊形ABCD中，如果AB=BC=CD，那么四邊形ABCD是三等邊四邊形。比如我們所學(xué)的四邊形中的菱形、正方形都是三等邊四邊形。DA BC二、試題呈現(xiàn)已知四邊形ABCD中，BC＝CD，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．圖1 圖2（1）如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形BCDE是菱形；

（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大??；

（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．1、評(píng)分細(xì)則

（1）先根據(jù)DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據(jù)“AAS”證明ΔODE≌ΔOBC，得出DE=BC，得出四邊形BCDE為平行四邊形2分，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形1分，得出四邊形BCDE為菱形1分，故第1問(wèn)4分。（2）（?。└鶕?jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據(jù)∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出∠CED=180°3=60°得4分；（ⅱ）得出∠ACE=∠ABF得2分，利用三角形全等得出BE=CF得2分，本題共計(jì)12分。連接EF，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出∠GEF=15°，得出∠OEF=45°，證明OE=OF，再證明ΔBOE≌ΔCOF，即可證明結(jié)論得4分． 2、試題評(píng)價(jià)：

本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)眾多，解題方法多樣，充分考察了學(xué)生幾何基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，又達(dá)到了一定的深度，靈活多變，對(duì)學(xué)生的思維靈活性有一定的要求，是一道比較有價(jià)值的幾何壓軸題。三、解題方法總結(jié)1、第一問(wèn)的解法匯總

解法一：

∵BC=CD，CD⊥BD，∴∠BCE=∠DCF,CE是BD的垂直平分線從而DE=BE又∵DE∥BC，

∴∠DEC=∠BCE=∠DCE于是DE=DC=CB=EB

故四邊形BCDE是菱形。解法二：

∵DC=BC，CE⊥BD，

∴DO=BO，

∵DE∥BC，

∴∠ODE=∠OBC，∠OED=∠OCB，∴ΔODE≌ΔOBC（AAS），∴DE=BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵CE⊥BD，

∴四邊形BCDE為菱形．2、第二問(wèn)第1問(wèn)的解題方法由CE是BD的垂直平分線可知BE=ED，所以∠BEC=∠DEC又DE垂直平分線段AC，

同理∠AED=∠DEC1 1故∠CED=（∠AED+∠DEC+∠BEC）=3 3×180°=60°這一題改的時(shí)候，兩條垂直平分線找出來(lái)，寫(xiě)出相應(yīng)的過(guò)程，就可以相應(yīng)地給分了。3、第二問(wèn)第2問(wèn)的解法匯總

由（i）知∠CED=60°，AC⊥DE，所以∠ACE=30°，同理∠ABF=30°所以∠ACE=∠ABF

解法一：在△AEC和△AFB中，因?yàn)锳E＝AF，∠CAE＝∠BAF，∠ACE＝∠ABF所以△AEC≌△AFB，于是AC＝AB

所以AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF解法二：連接EF，∵AE＝AF,

∴∠AEF＝∠AFE

則∠BEF＝∠CFE，在△EFC和△FEB中，因?yàn)镋F＝FE，∠ACE＝∠ABF，∠CFE=∠BEF，所以△EFC≌△FEB，于是BE＝CF解法三：連接EF，∵EG⊥AC，∴∠EGF=90°，∴∠EFA=90°-∠GEF，∵∠AEF=180°-∠BEF=180°-∠BEC-∠CEF=180°-∠BEC-(∠CEG-∠GEF)=180°-60°-60°+∠GEF=60°+∠GEF∵AE＝AF，∴DAEF=DAFE，∴90°-∠GEF=60°+∠GEF，∴∠GEF=15°，∴∠OEF=∠CEG-∠GEF=60°-15°=45°，∵CE⊥BD，∴∠EOF=∠EOB=90°，∵∠OFE=90°-∠OEF=45°，∴∠OEF=∠OFE，則OE=OF，∵AE=CE∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°，∴∠ECA=30°，∵∠EBO=90°-∠OEB=30°，∴∠OCF=∠OBE=30°，∠BOE=∠COF=90°，∴ΔBOE≌ΔCOF（AAS），則BE=CF．前兩種解法，相對(duì)來(lái)說(shuō)思路更簡(jiǎn)潔一些，也比較容易想到，主要應(yīng)用了三角形全等，第三種做法要證明45°角，如果沒(méi)有45°角的證明過(guò)程，是不得分的，解題過(guò)程也更為復(fù)雜一點(diǎn)。此外，這里還可以通過(guò)證明△COF≌△DOE或者△BCE≌△ADE或者△CEF≌△BFE或者△BCF≌△CBE等方法得到結(jié)果，本題在閱卷過(guò)程中，有的同學(xué)使用了四點(diǎn)共圓沒(méi)有扣分。四、解題中的典型錯(cuò)誤 （1）第1問(wèn)平行四邊形條件不具備，比如很多孩子直接證明△DOC≌△BOE，得到∠CDB=∠EBD，通過(guò)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，但事實(shí)上，這里證明△DOC≌△BOE是缺少條件的，由垂直平分線只能得到OD=OB，無(wú)法得到OC=OE,這樣一來(lái)，平行四邊形的證明條件就出現(xiàn)錯(cuò)誤，不具備條件了；

（2）第2問(wèn)不會(huì)使用線段垂直平分線的性質(zhì)定理，使得求∠CED變得復(fù)雜甚至錯(cuò)誤，事實(shí)上這一問(wèn)只要出現(xiàn)兩條垂直平分線，就很容易得到BE=DE，從而得出∠BEC=∠CED，同理可得∠AED=∠CED，又因?yàn)椤螦ED+∠CED+∠

BEC=180°，從而得出∠CED=60°，但是不少孩子因?yàn)椴粫?huì)使用線段垂直平分線的性質(zhì)定理，得不到線段相等，角相等，從而導(dǎo)致偽證；

（3）最后一問(wèn)連接EF后，不證明45°角，直接使用這個(gè)結(jié)論，導(dǎo)致不得分，這個(gè)問(wèn)題方法還是很多的，因?yàn)橹庇X(jué)上很容易發(fā)現(xiàn)△BOE和△COF全等，但是需要證明OE=OF，不少孩子就直接用了OE=OF，沒(méi)有證明∠OEF=∠OFE，∠

EOF=90°，也沒(méi)有說(shuō)明△OEF是等腰直角三角形，相當(dāng)于自行添加了條件，進(jìn)行偽證，從而不得分，縱觀各種做法，證明△OEF是等腰直角三角形是必不可少的，從而缺少了關(guān)鍵步驟。五、教學(xué)建議（1）強(qiáng)化三角形全等的判定，第1問(wèn)中之所以判定平行四邊形出現(xiàn)失誤，根本原因就在于不熟悉三角形全等的判定，條件缺失就強(qiáng)行證明三角形全等，可見(jiàn)需要強(qiáng)化三角形全等的判定，達(dá)到熟練使用的成度；強(qiáng)化平行四邊形的判定定理；強(qiáng)化線段垂直平分線的性質(zhì)定理的使用，第2問(wèn)之所以迷失在線段相等的證明里，是因?yàn)椴皇煜ぞ€段垂直平分線性質(zhì)，不會(huì)使用有垂直平分線得到線段相等，進(jìn)而得出角相等，線段垂直平性質(zhì)的使用，使得本題的證明事半功倍。（2）在教學(xué)過(guò)程中，基于基本圖形，拓展思維，尋找多種解決問(wèn)題的方法和途徑，從解題方法匯總就可以看出，本題由多種方法可用，靈活使用線段垂平分線的性質(zhì)，三角形全等的證明是本題的解題關(guān)鍵所在，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中要有意強(qiáng)化從不同的角度去思考問(wèn)題，善于觀察，善于思考，打開(kāi)學(xué)生的思路，進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練。（3）強(qiáng)調(diào)規(guī)范的答題過(guò)程，證明題書(shū)寫(xiě)要有條理，比如三角形全等的證明，在初期學(xué)習(xí)時(shí)都是有固定的書(shū)寫(xiě)格式的，另外，證明過(guò)程中，缺少角的符號(hào)∠、缺少字母、書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，也是常見(jiàn)的扣分原因。六、關(guān)于三等邊四邊形的探究 我們可以以三條等邊中的任一條為邊構(gòu)造等邊三角形，方法一：以CD為邊構(gòu)造等邊△CDP，連接AP，易得四邊形ABCP為一個(gè)角為160°的菱形，△ADP為底角為20°的等腰三角形，可得∠ADC=80°；方法二：以BC為邊構(gòu)造等邊△BCP，連接AP、DP，則△CDP、△ABP均為等腰三角形，由∠APB+∠BPC+∠CPD=180°，可得A、P、D三點(diǎn)共線，易得∠ADC=80°；方法三：以AB為邊構(gòu)造等邊△ABP，連接DP，易得四邊形BCDP為一個(gè)角為100°的菱形，△ADP為底角等于20°的等腰三角形，可得∠ADC=80°。綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)：

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD，且∠ABC+∠BCD=240°，則：

(1)、以相等的三邊中的任意一邊向內(nèi)作等邊三角形，均可將原四邊形割補(bǔ)成一個(gè)等邊三角形、一個(gè)等腰三角形和一個(gè)菱形。1 1(2)、∠ADC=∠ABC,∠BAD=∠BCD2 2APDCB如果讓∠BCD特殊化，讓其等于90°，又會(huì)有什么新的結(jié)論呢？如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD，且∠ABC+∠BCD=240°，特別地，當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，此圖又有什么新的結(jié)論呢？我們以剛才的方法三為例來(lái)加以說(shuō)明，以AB為邊構(gòu)造等邊△ABP，連接PD、AC，因?yàn)椤螧CD=90°，所以此時(shí)四邊形BCDP是正方形，則四邊形ABCD可以看成是一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形的組合圖形切去一個(gè)等腰△APD所得，不難發(fā)現(xiàn)五邊形ABCDP是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，此時(shí)，AD=AC，AE=AF，△APD、△ABC均是底角為15°的等腰三角形，△ACD、△AEF都是頂角為30°的等腰三角形，這個(gè)圖形就出現(xiàn)在2018年安徽省初中學(xué)業(yè)水平測(cè)試的第23題：

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F

（1）、求證：CM=EM；

（2）、若∠BAC=50°，求∠EMF的大??；（3）、如圖2，若△DAE≌△CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM圖1圖2圖3七、關(guān)于一題多解所謂一題多解，主要體現(xiàn)在沒(méi)有唯一的、固定的模式，而是以其多樣化的答案為明確的特征?？梢酝ㄟ^(guò)縱橫發(fā)散、知識(shí)串聯(lián)、綜合溝通，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的目的。一題多解的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的好方法，解題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)所給條件，突破固有的解題思路和思維定勢(shì)，去尋找不同的解題方法，以期達(dá)到預(yù)定的效果。比如在上述試題中第（1）問(wèn),方法一：由CE垂直平分BD，可得△BCD和△BED都是等腰三角形，所以∠CBD=∠CDB，∠EBD=∠EDB，又因?yàn)镈E∥BC，可得∠EBD=∠CBD，故可得∠CBD=∠CDB=∠EBD=∠EDB，易得△BCD≌△BED，所以BE=BC，由四條邊相等的的四邊形是菱形可得證；方法二：由CE垂直平分BD，可得∠DOE=∠BOC，且OD=OB，由DE∥BC，可得∠EBD=∠CBD，所以△BOC≌△DOE,所以BC=DE，又BC∥DE，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，又因?yàn)锽C=DE，所以平行四邊形BCDE是菱形；方法三：根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，也可得證。人們常說(shuō)“數(shù)學(xué)是思維的體操，是科學(xué)的皇后”，那么它作為“體操”的作用與“皇后”的價(jià)值是如何體現(xiàn)的呢?數(shù)學(xué)解題教學(xué)是思維教學(xué)的核心，故可將解題視為二者的集中體現(xiàn)。這也是解題教學(xué)受到兒乎所有教育工作者普遍重視的原因。筆者認(rèn)為,在解題教學(xué)中，除了讓學(xué)生熟練解題的一般步驟，掌握解題的技能技巧，學(xué)會(huì)解題的一些通法以外，還應(yīng)讓學(xué)生對(duì)所要解決的一些問(wèn)題做到習(xí)慣于一題多解，能夠舉一反三，突破常規(guī)，養(yǎng)成一題多解的習(xí)慣。比如上述試題的第（2）（ii）問(wèn)，由第（2）（i）問(wèn)可知∠CED=60°，CE垂直平分BD，可得∠ACE=∠ABF=30°，方法一：用“角角邊”可判定△AEC≌△AFB，得AC=AB，由AB-AE=AC-AF，得證；方法二：連接EF，由“角角邊”可判定△EFC≌三角形FEB,得BE=CF；方法三：連接EF，由CE、DE分別垂直平分BD和AC，可得∠DOE=∠AGF=90°，所以∠AFE=90°-∠GEF，∠AEF=180°-∠BEC-∠CEF=180°-∠BEC-（∠CEG-∠GEF）=180°-60°-60°+∠GEF=60°+∠GEF，又因?yàn)椤螦EF=∠AFE，所以90°-∠GEF=60°+∠GEF，得∠GEF=15°，所以∠OEF=∠OFE=45°，所以O(shè)E=OF，用“角角邊”判定△BOE≌△COF，得BE=CF；方法四：由∠DOE=∠COF=90°，∠OCF=∠ODE=30°，OE=OF，用“角角邊”判定△DOE≌△COF,得CF=DE，又因?yàn)镈E=BE,所以可得BE=CF；方法五：由兩條垂直平分線可得，AE=CE，DE=BE，又因?yàn)椤螦ED=∠CEB=60°，可得△AED≌△CEB，得BE=DE=CF；方法六：由△ACE≌△ABF，可得AB=AC，得∠ABC=∠ACB,又因?yàn)椤螧EC=∠CFB=60°，BC=CB，可判定△BCE≌△CBF，的BE=CF；方法七：由△BCE≌△EDA，也可得證。 綜上所述，一題多解的作用主要體現(xiàn)在：

1、利用一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。研究表明，是否具有良好的發(fā)散思維能力，是衡量學(xué)生是否具有創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志。因而，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力就成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要任務(wù)之.一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的好方法。對(duì)于解法不僅限于一種的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在學(xué)生用較常規(guī)的方法(也稱(chēng)通法)解決之后，鼓勵(lì)他們?cè)購(gòu)钠渌煌慕嵌?、不同的方向試著?duì)問(wèn)題展開(kāi)另一層面分析，思考其它的解法，久而久之，學(xué)生的思維就不會(huì)局限于原有的定勢(shì)，而能夠從其它思維方向考慮，達(dá)到訓(xùn)練發(fā)散思維的目 2、利用一題多解，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用能力，本例的諸多種解法體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于所學(xué)知識(shí)的掌控,第（1）問(wèn)利用的是菱形的三種判定方法,這是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中較為熟悉與常用的知識(shí)組塊,該方法一般較易得到；第（2）（i）問(wèn)利用了線段的垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)，得到線段相等，繼而得到角相等,這樣一來(lái)既讓學(xué)生溫習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)，也讓他們?cè)陬^腦中留下了線和角之間互相轉(zhuǎn)化意識(shí);第（2）（ii）問(wèn)的多種解法中，都利用了各種三角形的全等,對(duì)學(xué)生的思維又是一次洗禮與啟發(fā)。這樣,利用一題多解，既讓學(xué)生復(fù)習(xí)、回憶了舊知識(shí),也讓學(xué)生溝通了頭腦中不同知識(shí)之間的聯(lián)系，同時(shí)還對(duì)完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)起了積極的促進(jìn)作用。3、利用一題多解，培養(yǎng)學(xué)生探究實(shí)踐能力。在解題教學(xué)中，通過(guò)一題多解，讓學(xué)生在探索、實(shí)踐、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中享受到成功，在興奮、愉快的過(guò)程中