選修12222反證法課件

2.2.2反證法反證法2.2直接證明與間接證明2023/4/26復(fù)習(xí)1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過(guò)程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書(shū)寫(xiě)過(guò)程綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件2023/4/26本節(jié)重點(diǎn)：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟．本節(jié)難點(diǎn)：應(yīng)用反證法解決問(wèn)題．

教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能結(jié)合實(shí)例的間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)．2．過(guò)程與方法了解反證法的特點(diǎn)、增強(qiáng)應(yīng)用反證法證明的能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．2023/4/26王戎不取路邊李王戎七歲的時(shí)候，曾經(jīng)與小朋友們一起玩耍。他們見(jiàn)路邊有棵李樹(shù)，結(jié)了很多李子把枝條都?jí)簭澚?，那些小朋友都?zhēng)先恐后地跑去摘，只有王戎沒(méi)有動(dòng)。有孩子問(wèn)他為什么不去摘李子，王戎回答說(shuō)：“這樹(shù)長(zhǎng)在大路邊上，還有這么多李子，這李子一定是苦的?！焙⒆觽冋獊?lái)一嘗，果然是這樣。[1]?2023/4/26將9個(gè)球分別染成紅色或白色。那么無(wú)論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的。你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？假設(shè)有某種染法使紅色球和白色球的個(gè)數(shù)都不超過(guò)4，則球的總數(shù)不應(yīng)超過(guò)8，這與球的總數(shù)是9相矛盾假設(shè)不正確，因此，無(wú)論怎樣染至少有5個(gè)球是同色的思考：探究：思考1：掀起你的蓋頭來(lái)——認(rèn)識(shí)反證法2023/4/26思考2：A、B、C三個(gè)人，A說(shuō)B撒謊，B說(shuō)C撒謊，C說(shuō)A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？分析:假設(shè)C沒(méi)有撒謊,則C真.那么A假且B假;由A假,知B真.這與B假矛盾.那么假設(shè)C沒(méi)有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.2023/4/261．反證法證明數(shù)學(xué)命題的四個(gè)步驟：第一步：分清命題的條件和結(jié)論；第二步：做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；第三步：由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所做的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真．2.常見(jiàn)的主要矛盾有：(1)與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾；(2)與假設(shè)矛盾；(3)與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾．探究2：深度挖掘——了解反證法2023/4/263．反證法適宜證明存在性、唯一性、帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．4．用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“<”；“≤”的反面為“>”；“>”的反面為“≤”；“<”的反面為“≥”；“≠”的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“>及<”．5．反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”．反證法屬于“間接證明方法”，書(shū)寫(xiě)格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”錯(cuò)寫(xiě)成“設(shè)”．2023/4/26

常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)至多有n－1個(gè)p∨q(?p)∧(?q)至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)p∧q(?p)∨(?q)2023/4/26證明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一個(gè)根x=b/a。（以下為唯一性）2023/4/262023/4/26[例2]求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.[證明]

假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.

相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.

這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立，從而一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.2023/4/26解：假設(shè)，a,b,c都小于等于0a+b+c=x2_2y+π/2+y2-2z+π/3+z2-2x+π/6=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3

>0所以a+b+c

>0這與a,b,c都小于等于0矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立2023/4/26[說(shuō)明]

(1)反證法是利用原命題的否定不成立則原命題一定成立來(lái)進(jìn)行證明的，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．(2)對(duì)于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“至少”、“不可能”等字樣時(shí)，常用反證法．2023/4/26練習(xí)2變形練習(xí)題講解：練習(xí)1假設(shè)B不是銳角練習(xí)2假設(shè)可以成等差數(shù)列2023/4/26我來(lái)告訴你

1.存在性問(wèn)題2.否定性問(wèn)題3.唯一性問(wèn)題4.至多、至少類(lèi)問(wèn)題5.一些基本命題、基本定理哪些問(wèn)題適宜用反證法總之，直接證明比較困難的命題大家議一議！2023/4/26[規(guī)律方法]

當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題，此類(lèi)問(wèn)題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．例如證明異面直線(xiàn)，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾．2023/4/26名家情系反證法

反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具。牛頓說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。英?guó)數(shù)學(xué)家哈代也曾這樣稱(chēng)贊它：“反證法是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器，比起象棋開(kāi)局時(shí)犧牲一子以取得優(yōu)勢(shì)的讓棋法，它還要高明。象棋對(duì)弈者不外乎犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓給對(duì)方！”2023/4/26拓展閱讀—反證法典型例子證明：素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。這個(gè)古老的命題最初是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德(EuclidofAlexandria，生活在亞歷山大城,約前330～約前275,是古希臘最享有盛名的數(shù)學(xué)家)在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個(gè)反證法：假設(shè)命題不真，則只有有限多個(gè)素?cái)?shù)，設(shè)所有的素?cái)?shù)是2=a1<a2<……<an.此時(shí)，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)顯