初一奧數(shù)幾何圖形的計(jì)數(shù)問題

七年級奧數(shù)1第一頁，共33頁。幾何圖形的計(jì)數(shù)問題主講：劉文峰2第二頁，共33頁。專題簡析在幾何中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，假設(shè)干個(gè)圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等．這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法的．常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．3第三頁，共33頁。例1、如圖1－65所示，數(shù)一數(shù)圖中有多少條不同的線段？4第四頁，共33頁。解：對于兩條線段，只要有一個(gè)端點(diǎn)不同，就是不同的線段，我們以左端點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)，將線段分5類分別計(jì)數(shù)：(1)、以A為左端點(diǎn)的線段有：

AB，AC，AD，AE，AF共5條；(2)、以B為左端點(diǎn)的線段有BC，BD，BE，BF共4條；(3)、以C為左端點(diǎn)的線段有CD，CE，CF共3條；(4)、以D為左端點(diǎn)的線段有DE，DF共2條；(5)、以E為左端點(diǎn)的線段只有EF一條．所以，不同的線段一共有5+4+3+2+1=15(條)．一般地，如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))，那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為：

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/25第五頁，共33頁。例2、圖1－66中有多少個(gè)三角形？6第六頁，共33頁。解：以O(shè)A為一邊的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5個(gè)；以O(shè)B為一邊的三角形還有4個(gè)(前面已計(jì)數(shù)過的不再數(shù)，下同)，它們是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以O(shè)C為一邊的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3個(gè)；以O(shè)D為一邊的三角形有△ODE，△ODF共2個(gè)；以O(shè)E為一邊的三角形有△OEF一個(gè)．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(個(gè))．說明：其實(shí)，不同的三角形數(shù)目等于線段AF中不同線段的條數(shù)．一般地，當(dāng)原三角形的一條邊上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩端點(diǎn))時(shí)，它們與另一頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形總數(shù)為：n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.7第七頁，共33頁。例3、(1)、圖1－67中一共有多少個(gè)長方形？(2)、所有這些長方形的面積和是多少？8第八頁，共33頁。解：(1)圖中長的一邊有5個(gè)分點(diǎn)(包括端點(diǎn))，所以，長的一邊上不同的線段共有1+2+3+4=10(條)．同樣，寬的一邊上不同的線段也有10條．所以，共有長方形10×10=100(個(gè))．(2)因?yàn)殚L的一邊上的10條線段長分別為5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，寬的一邊上的10條線段長分別為2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有長方形面積和為(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)=144×86=12384．9第九頁，共33頁。例4、

圖1－68中共有多少個(gè)三角形？10第十頁，共33頁。解：顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個(gè)數(shù)相等．尖向上的三角形又可分為6類：最大的三角形1個(gè)(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(個(gè))，第三大的三角形有1+2+3=6(個(gè))，第四大的三角形有1+2+3+4=10(個(gè))，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(個(gè))，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(個(gè))．我們的計(jì)數(shù)是有規(guī)律的．當(dāng)然，要注意在△ABC外面還有三個(gè)最小的尖向上的三角形(左、右、下各一個(gè))，所以最小的三角形不是21個(gè)而是24個(gè)．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(個(gè))．圖中共有三角形59×2=118(個(gè))．11第十一頁，共33頁。例5、圖1－69中有多少個(gè)等腰直角三角形？12第十二頁，共33頁。解：圖1－69中有5×5+4×4=41個(gè)點(diǎn)．在每點(diǎn)標(biāo)一個(gè)數(shù)，它等于以這點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)．因此，共有等腰直角三角形4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1=268(個(gè))．13第十三頁，共33頁。例6、(1)、圖1－70(a)中有多少個(gè)三角形？

(2)、圖1－70(b)中又有多少個(gè)三角形？14第十四頁，共33頁。解：(1)

圖1－70(a)中有6條直線．一般來說，每3條直線能圍成一個(gè)三角形，但是這3條直線如果相交于同一點(diǎn)，那么，它們就不能圍成三角形了．從6條直線中選3條，有種選法(見說明)，每次選出的3條直線圍成一個(gè)三角形，但是在圖1－70(a)中，每個(gè)頂點(diǎn)處有3條直線通過，它們不能圍成三角形，因此，共有20-3=17個(gè)三角形．15第十五頁，共33頁。(2)、圖1-70(b)中有7條直線，從7條直線中選3條，有7×6×5/6=35種選法．每不過同一點(diǎn)的3條直線構(gòu)成一個(gè)三角形．圖1－70(b)中，有2個(gè)頂點(diǎn)處有3條直線通過，它們不能構(gòu)成三角形，還有一個(gè)頂點(diǎn)有4條直線通過，因?yàn)?條直線中選3條有4種選法，即能構(gòu)成4個(gè)三角形，現(xiàn)在這4個(gè)三角形沒有了，所以，圖1－70(b)中的三角形個(gè)數(shù)是：

35-2-4=29(個(gè))．16第十六頁，共33頁。說明：從6條直線中選2條，第一條有6種選法，第二條有5種選法，共有6×5種選法．但是每一種被重復(fù)算了一次，例如l1l2與l2l1實(shí)際上是同一種，所以，不同的選法是6×5÷2=15種．從6條直線中選3條，第一條有6種選法，第二條有5種選法，第三條有4種選法，共有63534種選法．但是每一種被重復(fù)計(jì)算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211實(shí)際上是同一種，所以，不同的選法應(yīng)為6×5×4/6=20種．17第十七頁，共33頁。例7、問8條直線最多能把平面分成多少局部？18第十八頁，共33頁。解、1條直線最多將平面分成2個(gè)局部；2條直線最多將平面分成4個(gè)局部；3條直線最多將平面分成7個(gè)局部；現(xiàn)在添上第4條直線．它與前面的3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)將第4條直線分成4段，其中每一段將原來所在平面局部一分為二，如圖1－71，所以4條直線最多將平面分成7+4=11個(gè)局部．5條直線最多將平面分成11+5=16個(gè)局部；6條直線最多將平面分成16+6=22個(gè)局部；7條直線最多將平面分成22+7=29個(gè)局部；8條直線最多將平面分成29+8=37個(gè)局部．所以，8條直線最多將平面分成37個(gè)局部．說明一般地，n條直線最多將平面分成2+2+3+…＋n=(n2+n+2)個(gè)局部．19第十九頁，共33頁。例8、平面上5個(gè)圓最多能把平面分成多少個(gè)局部？20第二十頁，共33頁。解：1個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)局部；

2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)局部；

3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)局部；現(xiàn)在參加第4個(gè)圓，為了使分成的局部最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)．如圖1－72所示．因此得6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的局部一分為二，即增加了一個(gè)局部，于是，

4個(gè)圓最多將平面分成8+6=14個(gè)局部．

5個(gè)圓最多將平面分成14+8=22個(gè)局部．所以，5個(gè)圓最多將平面分成22個(gè)局部．21第二十一頁，共33頁。說明：用上面類似的方法，我們可以計(jì)算出n個(gè)圓最多分平面的局部數(shù)為：

2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n-n+2．222第二十二頁，共33頁。例9、平面上5個(gè)圓和一條直線，最多能把平面分成多少個(gè)局部？23第二十三頁，共33頁。解、首先，由上題可知，平面上5個(gè)圓最多能把平面分成22個(gè)局部．現(xiàn)在參加一條直線．由于一條直線最多與一個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，一條直線與5個(gè)圓最多有10個(gè)交點(diǎn)．10個(gè)點(diǎn)把這條直線分成了11段，其中9段在圓內(nèi)，2條射線在圓外．9條在圓內(nèi)的線段把原來的局部一分為二，這樣就增加了9個(gè)局部；兩條射線把圓外的平面一分為二，圓外只增加了一個(gè)局部．所以，總共增加了10個(gè)局部．因此，5個(gè)圓和1條直線，最多將平面分成22+10=32個(gè)局部．24第二十四頁，共33頁。例10、平面上5條直線和一個(gè)圓，最多能把平面分成多少個(gè)局部？25第二十五頁，共33頁。解：首先，由例7知，5條直線最多將平面分成16個(gè)局部．現(xiàn)在參加一個(gè)圓，它最多與每條直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，與5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)．這10個(gè)交點(diǎn)將圓周分成10段圓弧，每一段圓弧將原來的局部一分為二，所以，10段圓弧又把原來的局部增加了10個(gè)局部．因此，5條直線和一個(gè)圓，最多能把平面分成：16+10=26個(gè)局部．26第二十六頁，共33頁。例11、三角形ABC內(nèi)部有1999個(gè)點(diǎn)，以頂點(diǎn)A，B，C和這1999個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把原三角形分割成多少個(gè)小三角形？27第二十七頁，共33頁。解：設(shè)△ABC內(nèi)部的n-1個(gè)點(diǎn)能把原三角形分割成an-1個(gè)小三角形，我們考慮新增加一個(gè)點(diǎn)Pm之后的情況：(1)、假設(shè)點(diǎn)Pn在某個(gè)小三角形的內(nèi)部，如圖1－73(a)，那么原小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連同Pn將這個(gè)小三角形一分為三，即增加了兩個(gè)小三角形；(2)、假設(shè)點(diǎn)Pn在某兩個(gè)小三角形公共邊上，如圖1－73(b)．那么這兩個(gè)小三角形的頂點(diǎn)連同點(diǎn)Pn將這兩個(gè)小三角形分別一分為二，即也增加了兩個(gè)小三角形．所以，△ABC內(nèi)部的n個(gè)點(diǎn)把原三角形分割成的小三角形個(gè)數(shù)為：an=an-1+2．a(chǎn)0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，an＝an-1+2．將上面這些式子相加，得an=2n+1．所以，當(dāng)n=1999時(shí)，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C和這1999個(gè)內(nèi)點(diǎn)能把原三角形分割成2×1999+1=3999個(gè)小三角形．28第二十八頁，共33頁。1．填空：(1)在圓周上有7個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)和G，連接每兩個(gè)點(diǎn)的線段共可作出______條．(2)5條線段的長分別是3，5，7，9，11，假設(shè)每次以其中3條線段為邊組成三角形，那么最多可構(gòu)成互不全等的三角形_____個(gè)．(3)三角形的三邊長都是正整數(shù)，其中有一邊長為4，但它不是最短邊，這樣不同的三角形共有_____個(gè)．(4)以正七邊形的7個(gè)頂點(diǎn)中的任意3個(gè)為頂點(diǎn)的三角形中，銳角三角形的個(gè)數(shù)是_______．(5)平面上10條直線最多能把平面分成_____個(gè)局部．(6)平面上10個(gè)圓最多能把平面分成_____個(gè)區(qū)域．29第二十九頁，共33頁。2．有一批長度分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的細(xì)木條，它們的數(shù)量足夠多，從中適中選取3根木條作為三條邊，可圍成一個(gè)三角形，如果規(guī)定底邊是11厘米長，你能圍成多少個(gè)