數(shù)列放縮證明不等式必刷100題(解析版)

專題16數(shù)列放縮證明不等式必刷100題

任務(wù)一:邪惡模式（困難）1-100題

提示:幾種常見的數(shù)列放縮方法：

1111/C'

(1)~<~(~；一(?-2);

nyn-\)nn-\n

1111

(2)~>~~7—r7=---------7；

nnln+\)nn+l

z144(11

n~4〃~4n~-1(2〃-12n+1

一、)

(4)L1+—1Y<1-+1+---1-+---1----F----1---_:3；

In)1x22x3?-1?

(5)=2(-y/n-I(〃>2)；

12

(6)2卜Vw4-1):

忑y/n+赤

122,2&=何々2〃-l+，2”+l)

(7)\[ny/n+y/nriJ2"-1+J2〃+11九

+j〃+一

V2

(8)(2"-l)2-(2"-l)(2,,-l)<(2"-l)(2"-^一(2"_，(2"i-)Y-l2"-l("22)；

111J.+l——11

討J”./J(〃-1)〃(〃+1)+J〃+l-y)n-\

]_________1CT^TT=2(7^T擊)空^1<2(看-看)〃汨；

j(〃-1)〃1〃e+i)

1_222

(10)3y/n2-n+?/

11122__2_

U)F^T=(i+i)"_]-c：+c：+"="〃+i)一-為;

12-1朝.

(12)-------<---------------------=----------TA.(?

2"-1(2,,-1-1)(2"-1)2"'-1z—1

一、單選題

1.2018年9月24日，英國數(shù)學(xué)家M.F阿帝亞爵在“海德堡論壇”展示了他“證明”黎曼猜想的過程，引

起數(shù)學(xué)界震動，黎曼猜想來源于一些特殊數(shù)列求和.記無窮數(shù)列的各項(xiàng)的和S=1+*+…

那么下列結(jié)論正確的是

4543

A.1<S<—B.—<S<—C.—<S<2D.S>2

3432

【答案】C

【分析】

1111

由〃22時，-<-7-77=-,由裂項(xiàng)相消求和以及不等式的性質(zhì)可得5<2,排除Q,再由前3項(xiàng)的

n〃(〃一1)n—\n

和排除A,B,從而可得到結(jié)論.

【詳解】

1111

由〃22時，而可=匚1一/

-I111.11111

可得S-1+齊+”+…+/<1+1-5+5-§+…+k-

n

〃f+8時，S.2,可得S<2,排除Q,

由1+乒+*=1+W>],可排除48,故選C.

2,已知數(shù)列｛叫滿足%>0,4=2,且(〃+1)*=應(yīng)+4，?eN\則下列說法中錯誤的是()

.2n+222)2

A.a2<-----B.參+A介一+夕<2

nn

c.1<a?+]<a?D.24n

【答案】D

【分析】

分析得出凡”<%,可判斷出CD選項(xiàng)的正誤；分析得出%+，利用累加法可判斷出A選項(xiàng)

的正誤；當(dāng)“22時，分析得出￡<二-一2,利用放縮法可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

由已知,數(shù)列｛《,｝滿足>0,q=2,且(〃+1)匕1=應(yīng)+°“，”wN*,

即(?+-(〃+1)=na；-n+an-\,

故("+l)(a“M-l)(%+i+l)=(a“T)(9+"+l)，

由?！?gt;0,有(〃+1)(〃用+1)>0,〃勺+〃+1>0,故見+]-1與%-1同號,

因?yàn)?q—1=1>0,則iz,—1>0,生—1>O,L,

以此類推可知，對任意的“eN',%>1,

所以，(〃+1”3=〃片+%<+，則見+i<a〃,所以，1<<?1=2,D錯;

1<%+]<%，C對;

因?yàn)?=(〃+1)。*一〃，則q=2d-a：,2d，L,%+，

匕LI、I2,2〃+4.一1*,口22〃+2,

累加得力+出+…+?！?〃+1)匕i-4<2〃,所以，匕[4——可得a；4-----,A對:

〃+1n

..a：,2〃+22(〃+1)222

當(dāng)〃22時，-r<——<-

nnn\(n—l)(n+1)n-1)n—\n

姆詔a,-2222222c2,八小

H—T-H-z-+?,?H--<2---1——d——+…-I-----=2—</,B對.

3342n222334n-1nn

故選：D.

3.已知數(shù)列｛%｝滿足％=J,〃向=?！?4

"WN"),則下列選項(xiàng)正確的是()

3n

B.嗎…

。2021<。202040432021

c2021

C.0<a.A,,<----D."2021>1

山4043

【答案】B

【分析】

A選項(xiàng)的正誤；利用放縮法得出‘一」一二十一11/一

利用數(shù)列｛%｝的單調(diào)性可判斷<-------(77>2,n

%〃川nh77-1

-利用放縮法可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.

%a?+1?-1n

4

eN=

9-

以此類推可知,對任意的〃eN*,a?>0,所以，國9=今>0,即—>4,

n~

所以，數(shù)列｛“"｝為單調(diào)遞增數(shù)列，故a麗>在出，A錯；

2

在等式an+1=%+&的兩邊同時除以可得

11《，.&y1111

〃4/〃%“長：”2也，w-1)n-\n,其中〃N2且〃wN*，

〃〃+可

1111111LJ_111

所以，------<1—,

一an4+】I〃

a2%-----223

累加得,1?1

-------<1——所以,-L>2-i+u+a,則%+1<1，故“2021<1

a2n%+14n4n

故D錯誤;

11111

—=~2--->

3〃+凡〃g+1)n77+1

1111___111

所以，丁L,

Z5'23an4+1nn4-1

,r1I1,1、12"+3〃+1

累力「得3------->1--------,可得---<2+-----=-------則a?i>-------

%+】〃+1/+]〃+1〃+1+2/7+3

山“2021乂2021?

//F以，。2021>彳八/r'"又._<a?Q2l<1'?

40434043

故選：B.

已知數(shù)列應(yīng)｝滿足

4.q=g,?！?1=片+?！?1，若，=—+—+…+一，對任意的〃cN*,s〃<〃恒成立,

%出a”

則M的最小值為().

A82626

B.D.3

?3927

【答案】D

【分析】

先根據(jù)已知的遞推關(guān)系式得到%>0,然后結(jié)合基本不等式得到進(jìn)而得到

a〃+iJ

—<i-(?^2,?e^),最后利用此不等式對，放縮，并利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解即可.

anJa\

【詳解】

由%="：+%+1，得。,+1-%=Y+1>1,

又q=；,所以%>0.

由-=+4,+1，

可得喂=?！?，+1*3,當(dāng)且僅當(dāng)d=1時等號成立,

%,an

因?yàn)?=g，??+i-??>>>

所以所以。(烏

-3

111

所以o<—<于一

。〃+13an

-1111111/C

所以一----<—-----<-<—r.一[n>2,neN*)，

%3峭3an_23%、

所以S,

?1?2??

又對任意的“eN*,S.<M恒成立,

所以M23,

故M的最小值為3.

故選：D

5.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,滿足“”=育￡川，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)P=-1時,則S2019c萬B.當(dāng)。=。時，貝!!$2019>71

C.當(dāng)P=5時，則$2019>1D.當(dāng)。=1時，貝1J$2019>1

【答案】B

【分析】

利用不等式放縮和裂項(xiàng)相消法對各選項(xiàng)進(jìn)行分析和計(jì)算，即可求出結(jié)果.

【詳解】

對于選項(xiàng)A,當(dāng)p=-l時，丁[=KT=l-ZTN55eN*),

--r1

n

2019i2019

所以539=2。,,23x2019=一萬，故選項(xiàng)A錯誤；

?=i22

對于選項(xiàng)B,當(dāng)P=0時，勺=工(〃€"*),

2n

又,所以>gln(l+L]=g[ln(〃+1)-lnz?J

所以

20191]

a

^2019=Z?>-[(ln2-lnl)+(ln3-ln2)+...+(ln2019-ln2018>(n2020-In2019)]=與n2020〉萬,故選項(xiàng)

n=l22

B正確；

1__I____<_1J1

nGH)

對于選項(xiàng)C,當(dāng)p=g時,viV([「小+i)n〃+l

n2n24-1nn+n2

所以

故選項(xiàng)C錯誤;

11117

對于選項(xiàng)D,當(dāng)p=；時，%F——1——77=----------(neN*),

n~(^+1)〃(/1+1)n〃+1,

所以

11-/<1，故選項(xiàng)D錯誤;

2020

故選：B.

第II卷（非選擇題）

二、解答題

6.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,。e=2%+2向.

（1）證明：數(shù)列［受］為等差數(shù)列；

（2）設(shè)4勺，證明：/…+^<2.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】

（1）根據(jù)爵-梟=L結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論；

（2）由（1）知，4=l+（“-l）x1=",根據(jù)J<—（"W2）放大后裂項(xiàng)求和，可證不等式成立.

bnn-1n

【詳解】

（1）因?yàn)槲桃谎甠2a“+2向

2"r=r+1"r=1'

所以數(shù)列;親｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)知，bn=l+(w-l)xl=/?,

11111

所以J=當(dāng)“22時,—=—<---------------------

b：n-b；n2(ii-1)/7n-1n

“—1+1—+1<―1+1---1--F-1----1--f-??4--1-------1-=r2--l---e<2

2

b；b：bn223nnn

7.已知數(shù)列M，｝的前〃項(xiàng)和為s“，對任意正整數(shù)"，點(diǎn)勺（〃3,）都在函數(shù)〃x）=/+2x的圖象上，且/（X）

在點(diǎn)P.（〃，S,,）處的切線的斜率為K?.

（1）求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式;

⑵若a=(啦1_2,求證：…+；＜L

'\，ahab?

【答案】(1)a“=2〃+l；(2)證明見解析.

【分析】

(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，結(jié)合句=:'：,"；(""2，"'")進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式進(jìn)行證明即可.

【詳解】

(1)解：依題意可知5”=1+2”，當(dāng)時，

a?=S?-5?_,=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=In+1,

當(dāng)〃=1時，％=S]=3也符合上式，

J%=2〃+1；

⑵證明：???/'(x)=2x+2,.?.K,=2N+2,4=27一2,=

u,z-ZZ+z-ZZ

XT

1111/1112n).\

23

“瓦打bn2222"1-12"

二原不等式成立.

8.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S.，且S?=9,又q=2.

(1)求數(shù)列｛對｝的通項(xiàng)公式：

(2)若數(shù)列也｝滿足bn=2"，求證：數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和[＜；.

【答案】(1)an=n+\(2)證明見解析

【分析】

⑴直接利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(2)利用等比數(shù)列的求和公式和放縮法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

【詳解】

解：(1)設(shè)｛。“｝的公差為止因?yàn)?=9,又6=2.

3x7

所以邑=3卬+于3=9,解得d=l.

故%=2+(〃-1)=〃+1.

（2）證明：由于%=，?+1,所以，=（;嚴(yán)，

1

所以北=（；）2+（32+...+（:"@=41:'L

1-----

22

9.已知等差數(shù)列｛%｝滿足%=7,%+%=26,｛%｝的前〃項(xiàng)和為

（1）求。“及3；

（2）記（,=[+[+…+J,求證：<7；,<7.

ES]S?34

【答案】（工）a?=2n+l,s“=〃2+2〃（〃eN*）

（2）見詳解

【分析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式可求解。

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和即可得出《，再利用單調(diào)性即可證明結(jié)論。

【詳解】

,.[tz,4-2d=7

（1）設(shè)等差數(shù)列?！钡墓顬閐,?.?%=7,%+%=26,?*

[q+4。+4+6。=26

q=3r?1、c1〃(3+2/7+1)八/…、

解得a=3+2(77-1)=2〃+1,s=---------------=n22+2〃(〃eN)

d=2nn

（2）由（1）可知：sn=n（n+2）

T111

所以乙=不+f+…+丁=另一為

1Z1LALA1、

=5+???+(--------—)+(-—)

n—\〃+lnn+2

=—(1+--------------------)

22n+ln+2

3l11、

=----(z----+----)

42n+ln+2

c1/11、,1/1、5

0<-(-----+-------)<-(-+-)=一

2〃+1〃+222312

131,11、3

.-<----(----+----)<—

342/7+1〃+24

/包二

3"4

10.公差不為。的等差數(shù)列｛對｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=1,岳，s2,反成等比.

（1）求數(shù)列｛對｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)2==，證明對任意的〃wN*,4+為+"+…2恒成立.

【答案】（1）an=2n-\；（2）見解析.

【詳解】

試題分析：（1）由已知S；=SQ4,把此等式用公差d表示出來，解得”后可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）計(jì)算

出為了證明不等式4+4+…+4<2,要想辦法求出和4+電+…+6“，但此和不可能求出，為了證

不等式，由4■〈丁二=一三一!（"22）,這樣和4+b,+…+4通過放縮后就可求得，從而證得不等式成

nn（n-i）n-\n

立.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d

2

由題5J54=(44+6d)=(2々+d)

q=l,dH0,d=2,/.an=2n-1

(2)由(1)得S“=〃2,...”=，?，當(dāng)〃=1時，4=1<2成立.

,111___1

當(dāng)心2時，b“=#<

n(n-l)n-\n

?一-一

?.b7+b,,4-----1-b7<1+1---1--1--1-----1--1--1----1--1-…H---1---------1-=02—1<02成.\j.

}n22334n-\nnf

所以對任意的正整數(shù)〃，不等式成立.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮法證明不等式.

11.已知數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為=（〃WN*）,且”1=2.數(shù)列｛瓦｝滿足加=0,歷=2,=

〃=2,3,….

（I）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

（HI）證明：對于H€N*,—+++2,,-,-1.

%〃2%

【答案】（1）冊=2",（II）b,=2"T（〃-1）,（ID）見解析.

【分析】

（I）利用S尸與L“，可得2S,=（?+1）an,再寫一式2s〃+產(chǎn)（"+2）a?+],兩式相減可得^^四,

2a?n

利用疊乘法，可求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

b2〃

（II）根據(jù)4=0,岳=2,資?=一"，利用疊乘法，可求數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

b?n-\

（III）先證明也=2"T—再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論.

外

【詳解】

（I）解：■:Sn=—--4”，**-2Sn=（〃+1）/①,

**.2Sn+]=（〃+2）②,

二?①-②可得2?！?|=（〃+2）〃田-（胃+1）%，

.%」+1

??/一〃

當(dāng)〃22時，4=/x"x???x-^-=2〃

a\%

<％=2

,數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為勺=2〃；

八bzIn

（II）解：Vfti=0,歷=2,~T~~----T，〃N2,

b,"T

時，b?=62x-^-x-..xA-=2"-'（n-l）

b2%

4=04=2滿足上式，

，數(shù)列｛也｝的通項(xiàng)公式為a=2i（〃-i）；

...”+9+…+泡“+1+2+…+"2=2"'-1=2”一

a\a2卬2-1

.74T/-XT*2bl242bn]

??對于--+---+…+--->2.-1

a\%an

12.已知函數(shù)/。)=加+云(〃*0)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=2x-2,數(shù)列｛對｝的前〃項(xiàng)和為S“，點(diǎn)匕(〃,S,)均在函

數(shù)y=/(x)的圖象上.若”=；(““+3)

(1)當(dāng)〃22時，試比較與2%的大??；

(2)記c“=^(〃eN")試證q+c2+…+C400<39.

【答案】(1)%<2%⑵證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)條件得到了(x)解析式，得到工，再求出％的通項(xiàng)，從而得到”的通項(xiàng)，再對2%二項(xiàng)展開，從而

得到"+]與a的大??；(2)對c”進(jìn)行放縮，然后得到C|+C2+...+.。的值，證明不等式.

【詳解】

(1)f(x)=2ax+b=2x—2

a=\,b=-2.

2

/(x)=x-2xf

故Sn="_2〃，

當(dāng)〃N2時，an=S〃一S“_[=2n-3,

當(dāng)力=1時，q=工二一1適合上式，

因此4=2〃-3(〃wN*).

從而。=〃也用=〃+1,2%=2〃，

當(dāng)“22時，2”=(1+1)"=?！啊?C/+…>〃+1

故如<2%=2〃

⑵c,=1,

_^=?<2——r=2(4-yjn-1)(71GN\n>2)

y/nyjn+yinS+S-l

C|+<?2+…+C400<1+2-1)+2—A/2j+...+2(-J400—V399

=2^/400-1=39.

13.已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,an+l=2a?+l(neTV*).

⑴求％;

⑵求數(shù)列｛”,,｝的通項(xiàng)公式；

⑶證明：<—+—+?.?+-<^-(?eN*).

23%a3a”+i2

【答案】解：(1)%=7;⑵?！?2"-1(〃eM)；⑶證明過程見詳解.

【分析】

⑴根據(jù)q=L-=2a“+l(〃eN*),逐項(xiàng)求解，即可求出結(jié)果；

⑵由%M=2?“+l(〃eN'),得到｛見+1｝是等比數(shù)列，進(jìn)而可求出結(jié)果.

⑶先由二一不口一"1<丁"L2,…，〃，

*十|-------)

,,a.a?an

得到」■+」+?..+—n<-.

?2?32

再由放縮法，即可得出結(jié)果.

【詳解】

⑴因?yàn)閿?shù)列｛凡｝滿足q=1,I=2“，+l(”eN*)

所以々=2q+1=3,%=2%+1=7,故%=7.

⑵因?yàn)閍“M=2?“+l(〃eN*)

所以。川+1=24+1)

所以｛。,,+1｝是以4+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

可得%+1=2".

即a“=2"-15eN*)..

kA

ak_2-\2-11,,_

⑶因?yàn)槎?西二［=；^一1；(5'j2'…'〃'

a+i——J

所以W...+J.

?2%2

4怎一2—_11_11、111,.

乂因?yàn)?--=-m—=----------m-----=—,—7-----7-----——.-r-yb1,2,o...,n

%2k+l-122(2A+1-1)23.2k+2k-2232"

,a,a-y〃1/111、〃1八1、〃1

712

a2a3a?+l23222〃232”23

n\a,a^,an,、,?、

故此丁一+—+...+-n--<-(n^N).

23a2%%2

14.數(shù)列｛叫滿足：4+2牝+34+…+〃％=(〃-1)2"+1；數(shù)列也｝滿足：％=在="，且4’.

(1)求數(shù)列｛叫和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)備=%,，證明：17北<3；

1=1

(3)設(shè)。“=。“+也,，證明：/+v+/+…

【答案】

_1.〃+1

(1)?！?2"，b,=-

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】

(1)當(dāng)〃22時，4+242+34+~+(〃-”,1=(〃-2)27+1,與條件等式兩邊相減，即得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

式，再利用累乘法求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用錯位相減法求得7；=3-耍，再利用單調(diào)性證明得解；

11111

(3)只需證明尹+手+下+…+而訐<4,再通過放縮和裂項(xiàng)相消證明不等式.

(1)

當(dāng)"=1時，a,=1;

當(dāng)〃22時，q+2a2+3如---1-(?—)<7?_1=(〃—2)2"“+1

與條件等式兩邊相減，得叫=(〃-1)2"-(〃-2)21=〃21

所以%=2"，

所以4=《=1,

aab.X—然……q

—x—x—x

如468

b\b242n,

故有*=77+1

T

所求通項(xiàng)公式分別為a,,=2"T和"=*

(2)

7234〃+1

瀛由蘆冢T+……+?、?/p>

1234〃+1

/二尹+丁夢+……十廣②

L

ioii1n+112ln+1

①-②：小齊=>+尹+尹++---~r

2〃2n

，+3

所以T=3-

T

〃+2

所以加尸北=2〃+i>0

所以｛1｝遞增

所以看27；=1

又當(dāng)〃f+oo時，T“T3

所以14北＜3

c”=。”+也,=〃+1

1111

只需證明了+手■+不'+…+<-

77+1)"4

111n1

當(dāng)〃22時,<——

rr〃x〃2"X(n-1)F?X??4-1)2,

cc,,1111If1111(111111

c：《《c；2(2xl2x3)2(2x33x4)2^?(n-l)+

111

=-----------------<-

42〃(〃+1)4

故原不等式成立

15.在下列條件：①數(shù)列｛?！保娜我庀噜弮身?xiàng)均不相等，且數(shù)歹（I｛展-4.｝為常數(shù)列,

②3=；(“,+〃+1乂*￡'"),③能=2,5向=5,1+1(〃22,〃€%*)中，任選一個，補(bǔ)充在橫線上，并回答

下面問題.

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“,q=2,.

(1)求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式對和前”項(xiàng)和s“；

(2)設(shè)4=不一^/€葉)，數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和記為7；,證明：

與應(yīng)*"4''

【答案】

⑴s“=寧+；”；

(2)證明見解析.

【分析】

(1)選①：由題意，4；-?！?2,所以%=2或%=-1,又因?yàn)閿?shù)列｛4｝的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且《=2,

所以數(shù)列｛4｝為2,-1,2,-1,2,-1……，即a,=-a?.1+l(n>2),

構(gòu)造等比數(shù)列卜“一共即可求解；選②：由S“=；(a“+〃+D(〃eN*),%[(1+〃-1+1)(〃22),兩式

相減可得+1(〃22),以下過程與①相同；選③：由S,m=S,i+l(〃±2,〃eN.),可得

/+1+%=l(?>2,?eV),

乂%=2,〃=2時，a3+a2=l,所以02=-1，因?yàn)閝=2,所以%+%=1也滿足上式，所以

=l(?>2,?eV),即a.=-a,i+l("N2),以下過程與①相同.

然后由分組求和法可得前n項(xiàng)和S,；

(2)由(1)求出$2.=〃，$2川=左+2,則4利用裂項(xiàng)相消求和法求出前〃項(xiàng)和記為7；即

2\kk+2)

可證明.

(1)

解：選①：因?yàn)?=2,數(shù)列｛端-%｝為常數(shù)列，

所以a；-a“=a；-a,=22-2=2,解得a“=2或a“=-l,

又因?yàn)閿?shù)列｛%｝的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且％=2,

所以數(shù)列｛氏｝為2,7,2,7,2,7

所以a“+a“_|=1(〃Z2,"€M),即%=-%T+1(HS2),

所以*22),又q_；=9O,

所以｛""一3｝是以g為首項(xiàng)，公比為T的等比數(shù)列，

所以一；=|(-l)'i，即%=g+|(一[)"T；

選②：因?yàn)镾,,=；&+"+S,-=；(*+〃-1+1)(〃22),

所以兩式相減可得a,即%=-%+1(〃22),以下過程與①相同;

選③：由S.+i=S,i+l("N2,〃eN.)，可得a.+I+a“=l("22,"eM),

又？=2,〃=2時，a3+a2=1,所以°2=-1,

因?yàn)閝=2,所以勺+q=1也滿足上式，

所以=l(〃Z2,〃eM),即a“=-%T+1(〃22),以下過程與①相同;

13-[IT)”]

3+2〃3/八“一1

所以S“=2W+2-1-(-1)=丁+了(-1);

(2)

..c3+2x2k3/1\2A--I.3+2x(2k+1)3/d1i

解：由(z1x)知S”=―4—+-(-1)=k,S3-----——-+^(-0=k+2,

,11nli

所以4

,,,,if,111111111A

所rr以rl71=4+4+…+4=T1-T+T-T+7+，，，+FT-TT7+T~7771

2V32435k-1k+\kk+2)

16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和滿足S〃>1,且65.=仇+1)(見+2),〃€”.

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足。(2"-1)=1,并記7；為也｝的前〃項(xiàng)和，求證：7；+l<log2(a?+3),neN\

【答案】

(1)an=3w-1

（2）證明見解析

【分析】

（1）由6s“=（a.+l）m，+2）項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得（《川+勺）（°,加一%-3）=0,結(jié)合%>0,可得a向-4=3,分析

即得解：

(2)由%(2，-1)=1可得"=log21J,利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得Z,=logJH,…?3rl，利用

''3〃一1V253w-1J

盧3/77<學(xué)3/14-42放縮即得證

3n-l3/7-1

(1)

由q=S]=—(q+1)(q+2),.?.4；_3q+2=(^-l)(a)-2)=0

6

結(jié)合q=￡>1,因此q=2,

由%+1=S“+|-S.=!(a”+i+1)1,田+2卜+1地+2)，

得(a,+i+a“)(a,+i-a,-3)=0,又見>0,得％-a“=3,

從而｛為｝是首項(xiàng)為2公差為3的等差數(shù)列,

故｛凡｝的通項(xiàng)公式為%=3〃-1.

(2)

由%(21)=1,故*-1=丁二

3n-l

即28=2-

3〃一1

可得〃=log?產(chǎn)；?，從而

3/2-1

_,,,.3.6.377,363〃)

北=4+仿+…+〃=log—+log—+...+log-----=log3w-lJ

222523n-l22'5

〃〃

..---3----<-3----+--2-

3〃-13n—1

〃

...*3—?63/7583+23/14-2

25…3/7-125…3〃一12

363〃]

于是T=log23M.…與一J

583〃+2)3〃+2人i

<log--—rTog?――=log(3?+2)-l,

22,53n-\J22

7；+1<k>g2(3〃+2)=log?(a“+3).

17.已知數(shù)列｛%｝中，q=l，“2=2,3%+]=4%-a,I

(1)求｛?！埃耐?xiàng)公式；

b=________!_______s卜

⑵設(shè)g=l,〃>2,"求證:g”.

'51I「

【答案】(1)勺=223"-2'-；(2)證明見解析.

l,n=1

【分析】

(I)根據(jù)4=1，。2=2,3%”=4/一41當(dāng)〃22時，變形為“向一“"得到數(shù)列｛?！?「?！沟缺葦?shù)列，再利

用累加法求解；

1

______________________<L_L_=二L

(2)由(1)得到“23時，nn2(1+l.XYi+L._L)M〃Q—1)?-1n，再利用裂項(xiàng)相消法求

"V23n_1JL2'y-2)

解.

【詳解】

⑴因?yàn)閍,=l,a2=2,3a?+l=4an-a?_t

當(dāng)"22時，變形為J‘

一%3

所以數(shù)列｛%,-%｝是以1為首項(xiàng)，以g為公比的等比數(shù)歹

所以a“+i-a”=奈，

所以%=(%一a,i)+(%T-4-2)+…+(%-%)+(%-%)+%，

i__L

31511

=-----+1t=----?—

,1223“一2

1------

3

511c

--------r,//>2

所以223〃-2

1,/?=1

(2)由(1)知：當(dāng)〃23時,

<1+—+----+----+...+-------=2——<2.

22334n—\nn

18.數(shù)列｛%｝滿足S“=]a"（NeN*）,S“是｛/｝的前〃項(xiàng)的和，的=L

（1）求s.；

3（1丫

（2）證明：-<1+—<2.

2【2?！?]）

【答案】（1）s,,=%D：（2）證明見解析.

【分析】

（!）通過累乘法求通項(xiàng)?！?，再求前”項(xiàng)和S,即可.

（2）通過二項(xiàng)展開式直接放縮即可求解.

【詳解】

s.=M①

解：（1）當(dāng)〃22時，由1/,

S〃+]=-y-4+i②

②?①得5—1）%=叫，BP—=-^T.

ann-l

aa,a-,n-\n-22.1

a=n-----—=.............—-1=/7-1,

nan-ia?-2a2〃-2n-31

又得q=0,故s"=聲=^11.

（2）證明：（1+—^—]=fl+—=1+C；,-—+C；-f—1+--+C^-f—"I+---+C；；/—1

I2a“JI2n）2n\2n）\ln）｛2n）

因此,

2/7+12n-k

另一方面,易證WT<（左=0,1,、〃一1）

2〃一（％+1）

局W誓「懸貂…『2.

因此，有[<h+4]<2,當(dāng)”=1時，與++上，左邊等號成立.

212an+J22x1

19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛對｝的前"項(xiàng)和為S?,且a；+%=2S”,

22

(1)求證：S,<冊；

(2)求證：-^=<+■■?+y/s^<

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）運(yùn)用基本不等式放縮;

（2）放縮后構(gòu)造成等差數(shù)列求和.

【詳解】

(1)在條件中，令〃=1,得=2S1=2%,v?|>0,

又由條件展+a“=2S“，有a3+4M=2S“M，上述兩式相減,

注意到=S“M-S”得(%+%)(--%-1)=o.

a?>0,故4+1-?！?1,

n(n+1)

=l+(n-l)xl=n,S

n2

耳2+(〃+1)2

,s—<:—,即證?

4

n<〃+1

(2),/n