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文檔簡介
線性代數(shù)習題解答】
張應應胡佩
2013-3-1
目錄
第一章行列式..........................................................1
第二章矩陣..........................................................22
第三章向量組的線性相關性.............................................50
第四章線性方程組....................................................69
第五章矩陣的相似對角化..............................................91
第六章二次型........................................................114
附錄:習題參考答案....................................................129
教材:段正敏,顏軍,陰文革:《線性代數(shù)》,高等教育出版社,2010。
第一章行列式
1.填空題:
(1)3421的逆序數(shù)為5:
解:該排列的逆序數(shù)為f=0+0+2+3=5.
(2)517924的逆庠數(shù)為7:
解:該排列的逆序數(shù)為f=0+l+0+0+3+3=7.
(3)設有行列式
25-130
1-1204
D=65-432=△(%?),
10078
-11132
含因子。12。31。45的項為一-1440,0
解:(-1)3154)I%%=(一廳.5?268?3=-1440
(_1),(24153)42424a3洶45%3=(-1/-5?0?6?8?1=0
所以D含因子為2a31a45的項為-1440和0.
(4)若〃階行列式?!?△(均)=。,則。=△(-%)=(-1)"a
解:;行列式。中每一行可提出一個公因子-1,
.1-。=△(一旬)=(-1)"△(%)=(一1)"a.
1111
12-2x
(5)設〃x)=則/(x)=0的根為1,2,-2
144/
18-8x3
解:f(x)是一個Vandermonde行列式,
.?./(x)=(x—l)(x—2)(x+2)(—2—1)(—2—2)(2—1)=0的根為1,2,-2.
(6)設入,%2,彳3是方程+px+g=0的三個根,則行列式
/x2x3
x3X]x2=0
£X3為
3i2
解:根據(jù)條件有x+px+q=(x-xt)(x-x2)(<x-x3)=x-(xi+x2+x3)x+ax-xtx2x3
比較系數(shù)可得:*+尤2+無3=0,X\X2X3=-Q
x;=_pX|_q
再根據(jù)條件得:石=-px2-q
xl=-px3-q
X
原行列式=x:+石+石一3X1X2X3=一p(X+x2+3)-3^-3-(-4)=0.
x23
(7)設有行列式—1x0=0,貝ijx=______1,2_______
0x1
x23
解:一1x0=x2-3x+2=(x-l)(x-2)=0
0x1
.x=1,2.
012013X
Xa
a。2224
(8)設〃x)=2},則多項式/(X)中/的系數(shù)為0
。31X。33〃34
X〃42〃43〃44
解:按第一列展開/(1)=4]A]+。2島1+。314|+幼41,
???AIIHUAI中最多只含有/項,,含有丁的項只可能是前41
4+1
XA41=x(-l)a22xa24
Xa
33〃34
—(X+q3a22。34+%2a24a33)]
=-Xx(%2a34+43a24+。22。33)
X44I不含Y項,/(x)中d的系數(shù)為o.
1234
6543
(9)如果=0,貝■=.2
002x
0033
12j34
651431
22X,
3=(5-12)(6-3x)=0
00:2X65-3
00|33
?.x-2.
000?
h000
(10)-abed
000
00d0
解:將行列式按第一行展開:
000
0
h00
=〃?(—1嚴0c0=-abed.
0c00八
00
00d0
a31a—3b—3c—3
(11)如果b01=1,則5241
c21111
a31abca—3b一3c—3
小M4-3q
解:801302524=1
r+2r
c2111123111
a\\ai2/32/12a122al2-2&13
(12)如a2\a22a23=2,則2a2i2a222a22-2a23-16
。31。32a332a3]2。322。32一2a33
0002
2〃1]。21?ci9jci?
aaa1
1\\2\3\
3。1°a”a瞋?!獈4,=-4
1乙14XXJ4
a\2a22。322
2(,]qQ?33a?③Cl23~~d33
a\3Q23。333
a\\a\2%3a\\a2\a3\
=1,?2%|=|"==1自A閭=2
解:|A|=。21。22〃23“12〃22。32
a31“32。33a\3a23。33
242a122〃]2-2〃]3
二|2eZj2%2%-2a31=23\aa%-aJ
2%2a222a22-2〃23{2
2a3]2a322C,3:
a
=8(|/a2%|+|%i_%|)=8(0-|川)=_16
2ali
〃21一。31
d2~^32=|2尸1A-3A乩—聞=2|四A-3A
2。]2。22—3〃廣2A-Al
2。13。23~~3。13%3一〃33
=2(設AA-Al+lA-3與A-Al)
=2悔A片-闖=2(戰(zhàn)A閔-設AA|)
=-2|Ar|=-4
0002
1按第一行展開
a\\a2\。312-(-l)'+4|Ar|=-4.
2
a\2a22a32
3
ai3a23a33
(13)設〃階行列式。=。。0,且。中的每列的元素之和為b,則行列式。中的第二行的
代數(shù)余子式之和為=-
b
按第二行展開
h(Aj?++??,+)=Qw0
/?w0,_QJ4,2]+A,22+,?,+w0
Ai+%+…+4“
b
實際上,由上述證明過程可知任意行代數(shù)余子式之和A”+a2+…+4“=巴,i=1,2,.
0
a\\。12a\3《4a22。23。24
00
a22a23。24a32。33。34
(14)如果=1>則
00
。32。33〃34。42。43〃44
0
。42。43。44a\\a\2。23。24
〃22〃32。42
“23。33043=;
。24〃34。44------------
a22。23。24
解:令5=a32/3。34,則
。42。43。44
a\2。13a\4
aa
022。23241+1
=a11-(-l)|B|=l=>q尸0,且忸|—^0
0a32a33a34
0a42〃43。44
0a22a23a24
0
〃32〃33〃34=斯?(-!嚴冏=-即冏=-1
0。42〃43〃44
62〃23%
a22。32
。23。33T咋忸1=1
UI1
a24“34
123
23
(15)設有行列式-1x0,則元素-1的余子式M2尸,元素2的代數(shù)余子
x1
0X1
0
式42=(T)"-1
01
1234
2341
(16)設。=△(%),A,)表示元素4的代數(shù)余子式,則
3412
4123
Kg+2A24+3A34+4A.0
解:方法一:44+244+344+4AS可看成。中第一列各元素與第四列對應元素代數(shù)余
子式乘積之和,故其值為0.
123!1I
234I21推論1
方法二:A]4+2^24+3A34+4A44=0.
341I3I
412I4I
ab
bda
(17)設。==△(%■),A。.表示元素陶的代數(shù)余子式,則
bca
ahd
匕+A24+/+人轉=0
abc1
hd1推論4
解:從總+44+A34+A44==0.
bc1
ahd1
5432X0
432-x00
32x000
(18)設f(x)則/的系數(shù)為6
2一X0000
00000
000006
解:方法一:
5432X0
5432x
432—x00
432-x0
32X0005x4
/(x)632x00=6(-l)v?(-l)2-r,56x5
2-x0000
2-X000
X00000
x0000
000006
方法二:只有一項非0
5432X0
432-x00
32X000/八"543216)
f(x)(一1)45^24^33^42^51。66
2—x0000
X00000
000006
(-1),0-(-1)2-%5
綜上所述:/的系數(shù)為6.
孫a\2…即〃
a2la22…a2m
0
a\\/2?.a\m
%am2???anuna2\。22,?a2m
(19)設。,B=a
"12b,?
\ncnC\2…1
“21"2〃
b22..C2\C22C2m?am2?,。nun
,..?
*
"b"2??%Cn2…%”
424〃
°21822
?=),則。=(-1)'""而
%或2
812,
a\\a\2*■,即",,?伉“
%,,?b2n
a2\a22?,?a2?,。21
解:方法一:令|A|==a,忸|==b
b
am\am2?'?a,?m源n2.??%
AnnA
則2=(;=kHM=H,2=;:=(—l)""'|A|?忸|=(T)"%。
證明:根據(jù)行列式性質2和5,將行列式|川變成下三角行列式,得到:
a%
?ii42,??\m
同_a2\a22,一a2m。21'。2
::?_=年2…a,“=a
,在。m2…
。,二。,“2’…4
行列式'、2的變換和行列式間的變換完全相同,得到:
分別將A、2第一次按第一行展開(電變成第一行),第二次按第二行展開(生變成第一
行),……,總共進行m次第一行展開,得到:
3=6行一。,』同=聞.網(wǎng)=必;
2=%(-1廣+1式-1產…4㈠產伸=(-1門川.忸|=(-1『9
證畢.
(A0\
方法二:設A=qI,B同)I,D
tnxtnnxnCB)
%,i=\\m.j=\\m
其中:(ly=?bp],i=加+1:優(yōu)+〃,j=m+1:加+〃,p=i—m,q=j-m(*)
機+用+〃,/=一〃
CP)'i=1:1:〃z,p=i?
那么:回=:;=E(T產“…"飛…%.「UM
CD{巧,…,PM+“}={1,…,M+”}
由(*)(1\,(Pl…Pm("MN(",+/”))-
XIFa3…小叫…勿
{Pl,…,P"J={1,/"}
{A'…}={1「."}
-E[(T)'出…35…嘖?㈠嚴”加…心
一,…,〃}={|,…M
=’Z㈠產"力…」.]£(一1嚴0..也J
—|A|-|B|=ab
a\\a\2."a\,n
a2\“22,??&2m
?
a,.aam2'??a?
5m
3,,h
b-°\n%。12
^22?b、CCC
。21u2n2\22."2ni
*
h..bCC
%un2nn%n2."),m
2中a,“依次與仇,&,…,b“對換,使得在也,卜面;
依次與仇力2,…,2對換,使得a(時1)在"下面,在%,上面;
a,依次與仇也,…也對換,使得/在以下面,在%上面;
總共進行了加〃次對換。得到:
〉(-1)叫忸山|=(-1)'".
U/i
\—aa00C
-1l-aa0C
2345
(20)D=0-1l-aaC=+。-a+〃一a.
5J
00-1l-aa
000-11-
\-aa0001ao00
-1\-aa000l-aa00
C1+C2+C3+C4+C5
解:2=0-1l-aa00-1\-aa0
00-1l-aa00-1l-aa
000-1l-a—a00-1l-a
按第?列展開「,,
5+14
£>4-a-(-l)-a=D4—a'
同理可得:£>4=4+1,。3=02-/,2=2+/
則+a?-/+a,—a,=1-a+a~一優(yōu)+a"—a
2.選擇題
X234
Xxx3
(1)設多項式/(x)=則多項式的次數(shù)為(B)
102x
X13x
(4)2(8)3(04(£))5
解:方法一:
x2341|02X102x
?rxr
xx3("今x?xx32-\0x-x3-x2
〃x)=
02xXI234r3-xr\023-2x4-x2
x13xX;13x013—2xx—
x-x3-x21i3-2x13-2xx-x1
按第一列展開2I3-2x
23-2x4-x2—02x—3-2,x+4
T一町0
3-2xx-xx!-x-x(4-2x)——2x?+3
按第一列展開2x—3x~—2x+4
=X3-10X2+22X-9
-x(4-2x)x3—2x~+3
???多項式次數(shù)為3;
方法二:
x2344-x2
x23-2x2
223-2x4-x
xXX3C2C3-X\按第三行展開
3~\xx-xb(-l)3+1
/(%)=I°—x—x3—x2
02Rq-xc|100
T13—2xx—
X3xx13-2xx-x
23-2x4-x223—2x-+2x—4
(.-3+(.r-4)Q
X一X3—xX-x-4x+3
-10x-4-100
按第三行展開3—2x—x~+2x—4
(-l)-(-l)=—10廠+22x—9
~x-4x+3
???多項式次數(shù)為3;
注意:實際上方法一與方法二思想類似:利用行列式展開定理對行列式降階,最后求出行列
式的值(多項式).
x234
xx3按第二行展開
方法三:/(%)=
XA21+XA,9++3^24
02大
x13x
這四項的最高次項分別為:x2,x3,x3,x
234
Aj=(-1)02x=O(x)
13x
34
2x=2x2+3x2+12-(8x+3x+3%2)=2x2+O(x)
3x
x24
-[0+2X2+4-(0+2X+X2)]=-f+O(x)
7^3=-10X
X1X
33
/(x)=XA22+xA2i+O(x,=2%-%+0(/)=/+O(%2)
多項式次數(shù)為3.
xyo
(2)設x,y為實數(shù)且一yxo=0,則(。)
0x1
(A)x=0,y=1(B)x=-1,y=1(C)x=l,y=-l(£>)x=(),y=0
xy0
解:-yx0=x2+y2=0=>x=y=0.
0x1
6!!1+xal2+x%3+xal4+x
a+xa+xa+xa+x
(3)設多項式/(x)2l222324則多項式的次數(shù)最多為(A)
a+Xa+X
a3i+xaJ2+x3334
a4i+xa42+xa43+xa^+x
(A)1(8)2(C)3(0)4
aaa
解:設[=:=(,y)4x4={\2?3?4)>則
/(%)=!?,+xi
a2+%+x\
性質4I
-1^1
%+H%+xla4+xl|+|xl%+xfa3+xl
=/i")+/2(x)
fx(x)=\axa2+xl%+xfa4+xT|
性質41一一|?一—?
==0a2a3+xla4+xl+kz)xla3+xl4+11
=力(%)+力(工)
性質3卜-一力性質5
==x|Taa%[=0(x)
f2(x)x1a2+xlg+xl%+xl23
=
力(%)=,a2%+xla4+xl|a2%%+同+卜|a2xl%+xlj
二八⑺+八⑺
性質一一性質
3??5?aTaaJ=O(x)
f4(x)xof,1a3+x\a4+xlx\x3
性質
人(x)=W%?3-I4.?I-I
a44-xl\a}a2%%|+%a2a3xl
性質
3aa%T|=6>(x)
\axa2%+2
性質3?一一?性質5??
z=:
f6[x)^x\a]a21a4+xlx\a]a21aA=0[x)
/(x)=力(x)+f2(x)=(力(x)+y4(x))+f2(x)=[(/5(x)+f6(x))+/4(x)]+f2(x)
=O(x)
;.f(x)的次數(shù)最多為1.
0-1
-1
(4)Dn=,當”=(C)時,O“<0.
-10
(A)3(8)4(C)5(0)7
-1
_1n(w-l)”(〃+】)
解:0,=.=(-1)^--(-l)n=(-l)~
)|3457
〃(〃+1)
-i——6101528
2
當〃=5時,。"=一1<0,選C.
(5)%為四階行列式。的第/列,(j=l,2,3,4,),且£>=-5,則下列行列式中,等
于一10的是(D).
(A)\2a],2a2,2a3,2a/
(B)\ax+a2,a2+a3,a3+a4,%+aJ
a+a+a
(C)\a},a]+a2,%+%+%,\+?23^
(。)同+&2,a2+a3,a3+a4,%-aJ
解:D=\a]a2a3a4|=-5
44
(A)D1=|2?!2a22a32?4|=2|a,a2a3a4|=2D:-80
(B)方法一:D2=\a}+a2a2+a3a3+a4%+%|
a2+a3。3+%+aJ=0
方法二:D2=|(Z]+a2a2+a3a3+aAa4+a||
性質4
%+%%+。
^=\a}%+%%+%%+%|+|。24+%1|
笛+耳
c4f
44%|=o
片不7匕%閡=(-1)”|?a2a3a^\=~D
C4-C3
D)=E{+F[=D—D=0
(C)D3=\alax+a2al+a2+a3%
==%|
==1^ax+%%+a2+a、oc^?/+%
a24a4\=D=-5
(D)D=|dZj+a
42a2+%%+%a4-ax
性質4
—
1^1%+%%+%
=4+6]
。4+。
A=^=|?I?2?3aj=o
。2-
。2f3+1
51==^==|?2?3?4一%|=(一1]他%?3。/=。
C4Y3
.?.。4=4+4=。+。=2。=一10
3.計算下列行列式
11114124
12341202
(1)(2)
1361010520
1410200-1-1-7
26113
311
10204
131
(3)(4)21350
1131
13410
113
30369
000023
0000561+Qbcd
100800a1+/?cd
(5)(6)
230000ab1+cd
045000abc1+d
006700
1111
abacae
abcd
(7)hd-cdde(8)
a,yc1d-
bfcf~ef
a4bc4d4
1J111111111111111
1!234o1!230123口一3T0123
解:⑴D=11________=1
r3-rl
1;361002:59C-2r,00130013
1r2-r\1
1:4102003;919003|100001
4!12402-4
-72-4
12021202|按第?列展開
(2)D(-l)2+,-152-20
10i5200-152-20
-1-1-7
0!-1-1-70-1-7
推論4
311
00
(3)=6x23=48
120
02
2611306-31-500-7-13
02042r21020410204
0「6弓
(4)D21350ri-2r20E5015-8
r4-r24-34
13410<5-3?20321005-1420
3036900I-36-300-36-3
-7-13-7-1510
按第一列展開C2,2Q按第三行展開/、/、3+|,
5-1420—5-415(-3)-(-l)-(-15x15+4x10)
再按第,列展開-36-3C3f-300
555
000023
0000561008
100800OA>x:232300
(5)D:2(-1)”
^4x4Cfx:
230000:2560450
0450000067
006700
230100
B按第四列展開
(2x6-3x5)x8-(-l)'+4.045+_7,(/—八1)4+4.230
006045
=-3x(-8x2x4x6+7xlx3x5)=837
1+Qbcd1+Qbd
a1+bcdr4-r3-1100
(6)方法一?:D
ab1+cdr3~r20-110
r2-r\
abc1+J001
100bed
按第一列展開/
-------(1+a)-110+(一1).(一1廣-110
0-110-11
=l+4+/?+C+〃
1+abedl+a+O+c+dbcd
al+hcdCi+q,i=2,3,4l+a+b+c+d1+bcd
方法二:ab1+cdl+a+/?+c+db1+cd
abc1+Jl+a+O+c+dbc1+J
l+a+h+c+dhcd\
%下:=2.3.401001上三知行列式
1+a+b+c+d
001°
0001
abacb
每一行提一個公因子
(7)bd-cdadfb
性質3
bfcf~efb
11111
每一列提一個公因子
adfbee1-1^=abcdef0-20
性偵3
1100-2
4abedef
1111
1111
abdx
abcd
(8)方法一:考慮新的行列式a1b2d-X2,則A45=(-1)4+5
a2b2c2d-
a3h3/X3
a4b4c4d4
a4b4J4x4
即為/的系數(shù),因為將。按最后一
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