類比、拓展探究題（解答題重難點(diǎn)題型）-2018年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型講練（解析版）

專題11解答題重難點(diǎn)題型........類比、拓展探究題

中考指導(dǎo)：類比、探究題型是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，多數(shù)是考查學(xué)生對(duì)全等三角形、相似三角形、特殊圖形的判定和

性質(zhì)以及三角形的角平分線、中線、垂直平分線、中位線等知識(shí)的綜合應(yīng)用，既能檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況,

又能培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、推理能力和綜合應(yīng)用能力。此類題綜合性較強(qiáng)，難度較大，得分率不高。學(xué)生對(duì)類比、

探究的題型有著一定的解題經(jīng)驗(yàn)，但是仍有很多不足，具體表現(xiàn)為：第一問(wèn)中簡(jiǎn)單的幾何證明都沒(méi)什么問(wèn)題，但是

他們不會(huì)將第一問(wèn)中圖形的特征放在第二問(wèn)中用相同的或類似的方法解決，形不成特有的解題思路。第三問(wèn)的圖形

要稍復(fù)雜一些，多數(shù)還要添加輔助線，構(gòu)造類似于前兩間的基本圖形，由于前邊問(wèn)題解決的過(guò)程中思路混亂，第三

問(wèn)中多數(shù)學(xué)生根本就無(wú)從下手。所以，怎樣引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比、轉(zhuǎn)化將前邊問(wèn)題的解決方法照搬到第三問(wèn)中，將復(fù)

雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是本專題學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

典型例題解析

【例1】（安徽省合肥市濱湖區(qū)壽春中學(xué)2017年中考數(shù)學(xué)一模）如圖AABC和ADEC都是等腰三角形，點(diǎn)C為它們

的公共直角頂點(diǎn)，連AD、BE,F為線段AD的中點(diǎn)，連CF.

（2）如圖2,把ADEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變，問(wèn)（1）中的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3,把a(bǔ)DEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)鈍角，其他條件不變，問(wèn)（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如成立請(qǐng)證

明，如果不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明.

【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的關(guān)系是仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）（1）中的關(guān)系是仍然成立，理由見(jiàn)

解析.

【解析】試題分析：（D根據(jù)“SAS”證明△〃窿△&若，可得AD=B￡,又因?yàn)锳D=2CF,從而BE=2CF：

（2）由點(diǎn)產(chǎn)是3中點(diǎn)，可得心2DF,從而心2出皿又由△的和是等腰直角三角形，可知砥2法

所以BB=2（即由,CF=DB-CD,從而BB=2CF）

（3）延長(zhǎng)C77至G使依*即：CGWCF,可證厘△劭凡再證明AS，愣△〃1已從而6氏於2）成立.

解：（1）;.△ABC是等腰直角三角形，

；.AC=BC,

?.?△CDE是等腰直角三角形,

.,.CD=CE,

fAC=BC

<ZACD=ZBCE=90°

在AACD和ABCE中，lCD=CE,

.".△ACD^ABCE,

；.AD=BE,在RtZXACD中，點(diǎn)F是AD中點(diǎn)，

；.AD=2CF,

.,.BE=2CF,

故答案為BE=2CF；

(2)(1)中的關(guān)系是仍然成立，

理由：.點(diǎn)F是AD中點(diǎn)，

.\AD=2DF,

.,.AC=AD4€D=2DF4€D,

,/△ABC和ACDE是等腰直角三角形，

..AC—BCfCD-CE,

.\BC=2DF-K：E,

/.BE=BC-KE=2DF-K!E+CE=2(DF-KE),

,.,CF^DF+CD=DF4€D,

/.BE=2CF;

(3)(1)中的關(guān)系是仍然成立，理由：如圖3,

延長(zhǎng)CF至G使FG二CF,即：CG=2CF,

???點(diǎn)F是AD中點(diǎn),

AAF=DF,

'DF二AF

<NCFD=NGFA

在ACDF和4GAF中，tcF=GF,

???ACDF^AGAF,

???AG=CD二CE,ZCI)F=ZGAF,

AZCAG=ZCAD+ZGAF=ZCAD+ZADC=180°-ZACD,

VZACB=ZDCE=90°,

JZBCE=360°-ZACB-ZDCE-ZACD=180°-ZACD,

AZCAG-ZBCE,

連接BE,

&二AC

<ZBCE=ZCAG

在ABCE和△ACG中，［CE=AG

AABCE^AACG,

；.BE=CG=2CF,

即：BE=2CF.

點(diǎn)睛：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，考查/學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)

的能力，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.學(xué)#科網(wǎng)

【例2】理數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tanl50的值，經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，得到以下思路：

思路一如圖1,在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使BD=BA,連接AD.設(shè)AC=1,則BD=BA=2,

12_

BC=*^3.tanD=tan15°-----尸----------------~2—y/3.

2+6（2+V3）（2-V3）

tana±tanB

思路二利用科普書上的和(差)角正切公式：tan(d±B)=]+tanaWlA.假設(shè)。=60。，8=45。代入差角

…、tan60°-tan45°

正切公式：tanl5°=tan（60°-45）=---------------

14-tan60°tan450

思路三在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四…

請(qǐng)解決下列問(wèn)題（上述思路僅供參考）.

（1）類比：求出tan75°的值;

（2）應(yīng)用：如圖2,某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得A,C兩點(diǎn)間距離為

60米，從A測(cè)得電視塔的視角（NCAD）為45°,求這座電視塔CD的高度；

14

（3）拓展：如圖3,直線y=-x-l與雙曲線丫=一交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,將直線AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°

2x

后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）2+百；（2）60百+60：（3）能相交，P（-l,-4）或3）.

3

【解析】試題分析：（1）如圖1,只需借鑒思路一或思路二的方法，就可解決問(wèn)題；

（2）如圖2,在RtZ\ABC中，由勾股定理求出AB,由三角函數(shù)得出NBAC=30°.從而得到NDAB=75°.在Rt^ABD

中，由三角函數(shù)就可求出DB,從而求出DC長(zhǎng)；

（3）分類種情況討論：①若直線AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針誨專45。后，與雙曲線相交于點(diǎn)P,如圖3.過(guò)點(diǎn)C作CD〃x軸，

過(guò)點(diǎn)P作PE1CD于E,過(guò)點(diǎn)A作AF1CD于F,可先求出點(diǎn)、A、B、C的坐標(biāo)，從而求出tanZACF的值，進(jìn)而利用和

（差）角正切公式求出tanNPCE=tan（45。+/ACF）的值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,b），根據(jù)點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖

象上及tan/PCE的值，可得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，解這個(gè)方程組就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若直線AB繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，與x軸相交于點(diǎn)G,如圖4,由①可知NACP=45°,P（g,3），則有CP±CG.過(guò)點(diǎn)P作PH±y

軸于H,易證△GOCs/kCHP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出GO,從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線

CG的解析式，然后將直線CG與反比例函數(shù)的解析式組成方程組，消去y,得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用根的判別式判

定，得到方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此時(shí)點(diǎn)P不存在.

試題解析：（1）方法一：如圖1,在Rtz^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使BD=BA,連接AD.設(shè)

AC=1,則BD=BA=2,BC=>/3.tanZDAC=tan75022^+BC2+聲2+^3：

ACAC1

,,V3

tan450+tan30°

方法二:tan750=tan(45°+30°)T2+6

l-tan45°tan30°v33—>/3

1-------

3

(2)如圖2,在RtAABC中，AB=\lAC2-BC2=7602-302=3O>/3,sinZBAC=—=—=-,即NBAC=30°.；

AC602

ZDAC=45°，：.ZDAB=450+30°=75°.在RtZkABD中，tanZDAB=—,；.DB=AB?tanNDAB=306?(2+G)

AB

606+90.DC=I)B-BC-60>/3+90-3060+60.

答：這座電視塔CD的高度為（606+60）米;

（3）①若宜線AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，與雙曲線相交于點(diǎn)P,如圖3.過(guò)點(diǎn)C作CD〃x軸，過(guò)點(diǎn)P作PE_LCD

y=—1x-11

x=4x=-2

于E,過(guò)點(diǎn)A作AF_LCD于F.解方程組:2，得：｛或｛???點(diǎn)A(4,1),點(diǎn)B(?2,

4y=ly=-2

>=一

x

1Ap21

-2).對(duì)于y=—x—1,當(dāng)x=0時(shí)，y=-1,則C(0,-1),OC=1,ACF=4?AF=1-(-1)=2,tanZACF=---=—=—,

2CF42

tan450+tanZACF1+-pp

AtanZPCE=tan(ZACP+ZACF)=tan(45°+ZACF)=2=3,即——=3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)

1-tan45ctanZACF

1--CE

2

ab=4

為(a,b),則有：｛〃+i

----=3

a

a=—la=-4

解得：｛或｛3，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,-4）或（一，3）；

b=—43

b=3

4

②若直線AB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，與x軸相交于點(diǎn)G,如圖4.由①可知NACP=45°,P(—，3),則CP_L

3

OC

CG.過(guò)點(diǎn)P作PH_Ly軸于H,則NG0C=/CHP=90°,ZGC0=900-ZHCP=ZCPH,AAGOC^ACHP,A——=——.:

CHHF

CH=3-(-1)=4,PH=-,OC=1,...華=：=;,；.G0=3,C(-3,0).設(shè)直線CG的解析式為y=履+b,則

3

-3k+b=ok=-Liy=~3x~l

有：｛］，解得：｛3，，直線CG的解析式為y=——x-1.聯(lián)立：｛J,消去y,

'b=-ly=-

X

得：-=--x-l,整理得：/+3》+12=0,?.?△『32—4x1x12=—39<0,.?.方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，.?.點(diǎn)P不存

x3

在.

綜上所述：直線AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°后,能與雙曲線相交，交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,-4）或3).

【例3】（湖南省衡陽(yáng)市船山實(shí)驗(yàn)中學(xué)2017-2018學(xué)年八年級(jí)上期末模擬）正方形ABCD中，點(diǎn)0是對(duì)角線DB的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PELBC于E,PFLDC于F.

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合時(shí)（如圖①），猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上（不與點(diǎn)D、0、B重合）時(shí)（如圖②），探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證

明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將圖③補(bǔ)充完整，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論;

若不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論.

0⑵的③

【答案】（1）AP=EF,AP1EF,理由見(jiàn)解析；（2）仍成立，理由見(jiàn)解析；（3）仍成立，理由見(jiàn)解析；

【解析】試題分析：（1）正方形中容易證明/例戶/久層45°,/4盼/痂90°,利用AAS證明婷（2）

（3）按照（1）中的證明方法證明△/.修△Q%（SAS）,結(jié)論依然成立.

試題解析：

（1）AP=EF,AP]_EF,理由如下：

連接AC,則必必過(guò)點(diǎn)0,延長(zhǎng)FO交延于M;

'：OFLCD,OELBC,且四邊形即^是正方形，

四邊形。反1戶是正方形，

：.Oif=OF=OE=AM,

：.AAXC^AFO￡（AAS）,

：.AO=EF,且語(yǔ)/加=/血=45°,即OCLSF,

檢AP=EF,且"1好.

（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，理由如下：

延長(zhǎng)"交房于M延長(zhǎng)印交于帆

,:PMLAB,PEVBC,/奶后90°,且乙監(jiān)片/叱=45°,

...四邊形，曲明是正方形，

：.MP=PE,NAmNFPE=9Q°；

又'：AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,

：.AM=PF,

：.l\AMP^[\FPE(SAS),

：.AP=EF,ZAPM=AFPN-ZPEF,

范人/仔層90°,NFPl^NPEF,

，/FPN^/PFS,UPAPLEF,

故AP=EF,且"_LM

(3)題(1)(2)的結(jié)論仍然成立；

如右圖，延長(zhǎng)四交"于〃，證法與(2)完全相同.

點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：1.證明三角形全等的方法：

(1)三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱SSS).

(2)有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS).

(3)有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA).

(4)有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS).

(5)直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).

注:S是邊的英文縮寫,A是角的英文縮寫，其中證明直角三角形所有5種方法都可以用；一般三角形SSA不能證

明三角形的全等.

2.利用正方形，等腰三角形，菱形等含等邊的特殊圖形，不管其他條件如何變化，等邊作為證明等邊三角形的隱含

條件，證明三角形的全等，是證明此類問(wèn)題的關(guān)鍵.學(xué)#科網(wǎng)

【例4】(2017-2018學(xué)年上學(xué)期蘇州市張家港梁豐初中初三數(shù)學(xué)期末)如圖，四邊形。BCD中的三個(gè)頂點(diǎn)在。。上，

4是優(yōu)弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、。重合).

⑴當(dāng)圓心。在NBAD內(nèi)部，N4B0+4200=60。時(shí)，Z.BOD=.

(2)當(dāng)圓心。在NB4)內(nèi)部，四邊形OBCD為平行四邊形時(shí)，求N4的度數(shù)；

(3)當(dāng)圓心。在/BAD外部，四邊形OBCD為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出N4B。與N4。。的數(shù)量關(guān)系.

【答案】120

【解析】試題分析：(1)連接物，如圖1,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得//廬Z0AAZAD0,則//加/

N4的N/麻60°,然后根據(jù)圓周角定理易得/6632N物以120°；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得除/及力，再根據(jù)圓周角定理得N8除2/4則//決2/4然后根據(jù)圓內(nèi)接四

邊形的性質(zhì)由/犯訃/六180。，易計(jì)算出/A的度數(shù)；

(3)討論：當(dāng)比N6!ft4小時(shí)，如圖2,與(I)一樣NQ4B=NABO,N(MANADO,則NOAD-NOAB=N4D0~NABe

ABAD,由(2)得/物分60°,

所以/4狀/4吐60°：當(dāng)比NM4大時(shí)，用樣方法得到/4盼/力&7=60°.

解：⑴連接總，如圖1,

圖1

?：OA=OB,OA=OD,

,：AOAB-AABO,NOA廬/ADO,

；.204班N的止麻60°,即/陰氏60°,

:.NBOD=2NBAD='20°；

故答案為120°；

⑵.??四邊形以窈為平行四邊形，

：.ABOD=ABCD,

'：Z.BOD=2AA,

：.Z.BCD=2Z_A,

辦N#180°,即3/爐180°,

.,.Z^=60°;

⑶當(dāng)/的8比/倒小時(shí)，如圖2,

VOA=OB,OA=OD,

,：AOAB-AABO,AOAD-AADO,

：.ZOAD-ZOAB=ZADO-ZABOZBAD,

由⑵得/胡介60°,

：.ZADO-ZABO=GO°；

當(dāng)NO16比/颯大時(shí)，

同理可得/466L//W360°,

綜上所述，1“8。一"。。|=60

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.（2017河南中原名校五模）己知，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)D在線段BC上，且4PDE

是等邊三角形.

（1）初步嘗試：若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1）,BD+BE=.

（2）類比探究：將點(diǎn)P沿AB方向移動(dòng)，使AP=1,其余條件不變（如圖2）,試計(jì)算BD+BE的值是多少？

（3）拓展遷移：如圖3,在AABC中，AB=AC,NBAC=70°,點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線

上，在4PDE中，PD=PE,ZDPE=70°,設(shè)BP=a,請(qǐng)直接寫出線段BD、BE之.間的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）

解：(1)VAABC和4PDE是等邊三角形,

???PE=PD,AB=AC,ZDPE=ZCAB=60°,

:.ZBPE=ZCAD,

.,.△PBE^AACD,

ABE=CD,

ABD+BE=BD+CD=BC=5,

故答案為5；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PF〃AC交BC于F,

???△FPB是等邊三角形，

??.BF=PF=PB=AB-AP=4,ZBPF=60°,

VAPDE是等邊三角形，

APD=PE,ZDPE=60°,

???ZBPE=ZFPD,

,△PBE之△PFD,

ABE=DF,

ABD+BE=BD+DF=BF=4；

(3)如圖3,

過(guò)點(diǎn)P作PF〃AC交BC于F,

AZBPF=ZBAC=70°,ZPFB=ZC,

VAB=AC,ZBAC=70°,

AZABC=ZC=55°,

AZPFB=ZC=ZPBF=55°,

APF=PB=a,

VZBPF=ZDPE=70°,

:.ZDPF=ZEPB,

VPD=PE,

.,.△PBE^APFD,

ABE=DF,

過(guò)點(diǎn)P作PGJ_BC于G,

???BF=2BG,

在RtaBPG中，ZPBD=55°，

:.BG=BP?cosZPBD=a?cos550,

.,.BF=2BG=2a?cos550,

ABD-BE=BD-DF=BJ?=2a?cos55°.

2.(2017商丘市柘城縣四模)如圖1,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,AB=13,BD=24,在菱形ABCD

的外部以AB為邊作等邊三角形ABE.點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合)，將線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接FM.

(1)求A0的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段B0上，且點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求證：AC=FftM：

(3)連接EM,若aAEM的面積為40,請(qǐng)直接寫出aAFM的周長(zhǎng).

溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答

【解答】（D解：???四邊形ABCD是菱形,

/.AC1BD,OB=OD=A,BD,

2

'.'BD=24,

.\OB=12,

在RtAOAB中，

,/AB=13,

,?OA=VAB2-OB2=7132-122=5,

(2)證明：如圖2,

?.?四邊形ABCD是菱形，

ABD垂直平分AC,

.?.FA=FC,ZFAC=ZFCA,

由已知AF=AM,ZMAF=60°,

.,.△AFM為等邊三角形，

AZM=ZAFM=60°,

?.?點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條宜線上，

ZFAC+ZFCA=ZAFM=60°,

.,.ZFAC=ZFCA=30°,

AZMAC=ZMAF+ZFAC=600+30°=90°,

在RtZXACM中，ZACM=180°-90°-60°=30°.

；.AC=V^AM.

(3)解：如圖3,連接EM,

?.?△ABE是等邊三角形，

；.AE=AB,ZEAB=60°,

由(1)知AAFM為等邊三角形，

；.AM=AF,NMAF=60°,

Z.ZEAM=ZBAF,

在AAEM和AABF中，

'AE=AB

'ZEAM=ZBAF.

AM二AF

/.△AEM^AABF(SAS),

?..△AEM的面積為40,Z\ABF的高為AO

.\1BE?A0=40,BE=16,

2

.?.F0=BF-B0=16-12=4,

AF=VAO2+FO2=^I,

...△AFM的周長(zhǎng)為

3.（2017許昌市禹州市二模）問(wèn)題情境:

在RtZ\ABC中，AB=BC,ZB=90°,將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)0放在斜邊AC上，將三角板繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn).

(1)操作發(fā)現(xiàn):

當(dāng)點(diǎn)0為AC中點(diǎn)時(shí):

①如圖1,三角板的兩直角邊分別交AB,BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF,猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關(guān)

系：(無(wú)需證明)；

②如圖2,三角板的兩直角邊分別交AB,BC延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，連接EF,判斷①中的結(jié)論是否戒立.若成立，請(qǐng)

證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)類比延伸:

榴卷請(qǐng)直接寫出黑一

當(dāng)點(diǎn)。不是AC中點(diǎn)時(shí)，如圖3,三角板的兩直角邊分別交AB,BC于E、F兩點(diǎn),

解：(1)①猜想：AE2+CF2=EF2,

連接OB,如圖1,

VAB=BC,ZABC=90°,0點(diǎn)為AC的中點(diǎn),

；.0B=AC=OC,ZB0C=90°,ZAB0=ZBC0=45".

VZE0F=90",

ZE0B+ZB0F=ZF0C+ZB0F.

.,.ZE0B=ZF0C,

TZEOB^ZFOC

在ZkOEB和△OFC中，＜OB=OC

l/EBO=NOCF

.,.△OEB^AOFC(ASA).

；.BE=CF,

又：BA=BC,

；.AE=BF.

在RtZsEBF中,VZEBF=90",

.,.BF2+BE2=EF2,

/.AE^CF^EF2；

故答案為:AE2+CF2=EF2；

②成立.

證明：連結(jié)0B.如圖2,

VAB=BC,ZABC=90°,0點(diǎn)為AC的中點(diǎn),

.?.硝AC=OC,ZB0C=90°,ZAB0=ZBC0=45°.

VZE0F=90",

.*.ZEOB=ZFOC.

在aOEB和△OFC中,

'NEOB=NFOC

OB=OC

ZEBO=ZOCF

/.△OEB^AOFC(ASA).

；.BE=CF,

又：BA=BC,

.\AE=BF.

在RtaEBF中，VZEBF=90",

/.BF^BE^EF2,

222

.-.AE+CF=EF;

(2)祟，，如圖3,過(guò)點(diǎn)0作OM1AB于M,ON1BC于N.

?；NB=90°,

.".ZM0N=90°,

?/ZEOF=900,

/.ZEOM=ZFON.

,.,ZEMO=ZFNO=901),

/.△OMEooAONF,

,OMOE

"ONOF"

VAAOM和AOCN為等腰直角三角形,

.,.△AOM^AOCN,

.學(xué)#科網(wǎng)

4.（2017?濮陽(yáng)二模）（1）操作發(fā)現(xiàn)：

在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D在線段BC上（不與點(diǎn)B重合），連接AD,將線段AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到AE,連接EC,如圖①所示，請(qǐng)直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

（2）猜想論證:

在（1）的條件下，當(dāng)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖②中畫出圖形并判斷（1）中的結(jié)論是否成立，并證明

你的判斷.

（3）拓展延伸：

如圖③，若ABWAC,/BACW90。，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，試探究：當(dāng)銳角NACB等于度時(shí)，線段CE和BD

之間的位置關(guān)系仍成立（點(diǎn)C、E重合除外）？此時(shí)若作DF_LAD交線段CE于點(diǎn)F,且當(dāng)AC=3近時(shí)，請(qǐng)直接寫出線

段CF的長(zhǎng)的最大值是,

解：（1）CE=BD,CE1BD；

理由：如圖①中，

VAB=AC,ZBAC=90°,

???線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至ljAE,

AAD-AE,ZBAD-ZCAE,

AABAD^ACAE,

ACE=BD,ZACE=ZB,

AZBCE-ZBCA+ZACE=90°,

，線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD,CE1BD；

(2)結(jié)論：(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：

如圖②中，

V線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,

；.AE=AD,ZDAE=90°,

VAB=AC,ZBAC=90°

.".ZCAE=ZBAD,

/.△ACE^AABD,

；.CE=BD,NACE=NB,

AZBCE=90°,

所以線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD,CE±BD；

(3)①結(jié)論：當(dāng)銳角NACB=45°時(shí)，CE1BD.理由如下：

如圖③中，過(guò)A作AMJLBC于M,ENJ_AM于N,

?.?線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,

AZDAE=90°,AD=AE,

:.ZNAE=ZADM,

易證得RtAAMD^RtAENA,

；.NE=AM,

VZACB=45°,

...△AMC為等腰直角三角形，

/.AM=MC,

.,.MC=NE,

VAM±BC,EN-±AM,

；.NE〃MC,

四邊形MCEN為平行四邊形，

VZAMC=90°,

四邊形MCEN為矩形，

AZDCF=90°,

AECIBD.

②:RtZiAMDsRtADCF,

.MD_AM

"CF^DC，

設(shè)DC=x,

?「NACB=45°,AC=3&,

.\AM=CM=3,MD=3-x,

.3~x3

,*CF-x，

，C4-2x：+x="：+-|,

aj4s

.?.當(dāng)x=L5時(shí)，CF有最大值，最大值為看.

故答案為45,目；

4

5.（2017信陽(yáng)一模）如圖1,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上（不與點(diǎn)A,B重合），點(diǎn)F在BC邊上（不

與點(diǎn)B、C重合）.

第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；

第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)出

依此操作下去…

（1）圖2中的4EFD是經(jīng)過(guò)兩次操作后得到的，其形狀為—，求此時(shí)線段EF的長(zhǎng)；

（2）若經(jīng)過(guò)三次操作可得到四邊形EFGH.

①請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為—，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是一；

②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長(zhǎng)為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍.

解：（1）如題圖2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF=DF=DE,則4DEF為等邊三角形.

在RtAADE與RtACDF中，

[AD=CD

lDE=DF

ARtAADE^RtACDF(HL)

.,.AE=CF,

設(shè)AE=CF=x,則BE=BF=4-x

/.△BEF為等腰直角三角形.

；.EF=&BF=&（4-x）.

.,.DE=DF=EF=V2（4-x）.

在RtZXADE中，由勾股定理得:AE2+AD2=DE2,即：x'A]a（4-x）了,

解得：xi=8-4>/31x：；=8+4y（舍去）

/.EF=yf2（4-x）=4<y/5-4>/2.

DEF的形狀為等邊三角形，EF的長(zhǎng)為4%-4注.

（2）①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE=BF.理由如下：

依題意畫出圖形，如答圖1所示：連接EG、FH,作HNLBC于N,GMLAB于M.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE,

，四邊形EFGH是菱形，

由aEGM絲△FHN,可知EG=FH,

四邊形EFGH的形狀為正方形.

ZHEF=90°

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

AZ1=Z3.

VZ3+Z4=90°,N2+N3=900,

AZ2=Z4..

在AAEH與ABFE中，

21=N3

<EH=EF

Z2=Z4

AAAEH^ABFE(ASA)

???AE=BF.

②利用①中結(jié)論，易證△AEH、ABFE.ACGF>△DIIG均為全等三角形，

.\BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

y=S正方形AHCI)-4SAAHI=4X4-4X-1.x(4-x)=2x'-8x+16.

2

y=2xJ-8x+16(0<x<4)

Vy=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,

.,.當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值8；當(dāng)x=0時(shí)，y=16,

；.y的取值范圍為：8Wy<16.

6.(2017河南重點(diǎn)中學(xué)模擬)操作：如圖①，點(diǎn)0為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)0,請(qǐng)利用圖①畫出

一對(duì)以點(diǎn)0為對(duì)稱中心的全等三角形.

根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng)：

探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB〃DC,E為BC邊的中點(diǎn)，ZBAE-ZEAF,AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.試

探究線段AB與AF、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

探究二：如圖③，DE、BC相交于點(diǎn)E,BA交DE于點(diǎn)A,且BE：EC=1：2,ZBAE=ZEDF,CF/7AB.若AB=5,CF=1,

求DF的長(zhǎng)度.

解：(1)如圖

(2)結(jié)論：AB=AF+CF.

證明：分別延長(zhǎng)虹、DF交于點(diǎn)M.

?「E為BC的中點(diǎn)，

.'.BE=CE,

,/AB//CD,

?.ZBAE=ZM,

在^ABE與△MCE中)

rZBAE=ZM

?JZAEB=ZMEC,

,BE=CE

.'.△ABE^AMCE(AAS),

/.AB=MC,

又?.?NBAE=NEAF>

.0.ZM=ZEAF,

，MF=AF,

y/MC=MF-H2F,

1?AB=AF+CF;

(3)分別延長(zhǎng)DE、CF交于點(diǎn)G.

VAB//CF,

AZB=ZC,ZBAE=ZG,

???AABE^AGCE,

???AB=5,

AGC=10,

VFC=1,

，GF=9,

VAB/7CF,

AZBAE=ZG,

XVZBAE=ZEDF,

???ZG=ZEDF,

???GF=DF,

ADF=9.

7.(2017許昌二模)如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG,連接DE,BG.

(1)發(fā)現(xiàn)

①線段DE、BG之間的數(shù)量關(guān)系是一；

②直線DE、BG之間的位置關(guān)系是.

(2)探究

如圖2,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

(3)應(yīng)用

如圖3,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，記直線DE與BG的交點(diǎn)為P,若AB=4,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到CD所在

直線距離的最大值和最小值.

解：(1)發(fā)現(xiàn)

①線段DE、BG之間的數(shù)量關(guān)系是：DE=BG,

理由是：如圖1,?..四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZBDA=90°,

...NBAG=NBAD=90°,

?.?四邊形AEFG是正方形，

；.AE=AG,

AAED^AAGB,

.?.DE=BG；

②直線DE、BC之間的位置關(guān)系是：DE1BG,

理由是：如圖2,延長(zhǎng)DE交BG于Q,

由^AED絲2\AGB得：ZABG=ZADE,

VZAED+ZADE=90°，ZAED=ZBEQ,

.,.ZBEQ+ZABG=90°,

AZBQE=90°,

ADEIBG；

故答案為：①DE=BG；②DEJ_BG；

(2)探究

(1)中的結(jié)論仍然成立，理由是：

①如圖3,；四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形，

/.AE=AG,AD=AB,/EAG=/DAB=90°,

ZEAD=ZGAB=90°+ZEAB,

在△EAD和aGAB中，

fAE=AG

<NEAD二/GAB，

IAD=AB

/.△EAD^AGAB(SAS)

；.ED=GB；

②ED1GB,

理由是：’「△EAD逐△GAB,

.\ZGBA=ZEDA,

,/ZAMD+ZADM=90°,ZBMH=ZAMD,

.".ZBMH+ZGBA=90°,

/.ZDHB=180°-90°RO°,

.\EDlGBj

(3)應(yīng)用

將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，即點(diǎn)E和G在以A為圓心，以2為半徑的圓上,

過(guò)P作PHJ_CD于H,

①當(dāng)P與F重合時(shí)，此時(shí)PH最小，如圖4,

在RtZXAED中，AD=4,AE=2,

AZADE=30°,DE=J422*2內(nèi)

.*.DF=DE-EF=2近-2,

VAD1CD,PH1CD,

???AD〃PH,

AZDPH=ZADE=30°,

■。。愕得

.?.PH播(3-2)=3-四

②：DE_LBG,ZBAD=90°,

...以BD的中點(diǎn)0為圓心，以BD為直徑作圓，1\A在圓上,

當(dāng)P在窗的中點(diǎn)時(shí)，如圖5,此時(shí)PH的值最大，

；AB=AD=4,

由勾股定理得：BD7汨,

則半徑0B=0P=2的

；.PH=2+2血.

(2)如圖1,將AAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得4A'OB',當(dāng)A'恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)AAB'0的面積為S”ABAZ

0的面積為S2,Si與S2有何關(guān)系?為什么?

(3)若將AAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，Si與&的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷.

圖2

解：(1)VA(-1,0),B(0,6)，ZA0B=90",

tanZ.BAO-=——=石.

OA1

.".ZBA0=60°.

（2）S尸S2.理由如下：

依題意,有A'A=A'O,ZBA0=60°.

△A'AO是等邊三角形.

.".ZA0A,=ZBA,0=60°.

...A'B'〃x軸，...點(diǎn)A'、B'到x軸的距離相等.

?.,/AB0=/A'0B=90°-60°=30°,...A'O=A'B.

AAO=A,B.

?.?等邊4A'A。的三條高都相等，

.?.點(diǎn)0到AB的距離等于點(diǎn)B'至IJx軸的距離.

.,.s,=s2（等底等高的三角形面積相等）.

（3），與&的關(guān)系沒(méi)變，仍然有S尸&.理由如下：

過(guò)點(diǎn)B作BC1AO于C,過(guò)點(diǎn)B作B，Dlx軸于D.

.,.ZBC0=ZByD0=90°.

依題意，有/BOD=/A'OB'=90°,BZO=BO,Ay0=A0.

.,.Z1+ZA,OD=Z2+ZA/OD=9O6.

.".Z1=Z2.

「.△BOC逐△B'OD（AAS）.

.,.BC=ByD.

又?.,AO=A'O,

.?.s：=s:（等底等高的三角形面積相等）.

9.(2017?樂(lè)山)在四邊形ABC。中，ZB+ZD=180°,對(duì)角線AC平分ZBAO.

(1)如圖1,若ND48=120°,且N8=90。，試探究邊A。、A3與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）如圖2,若將（1）中的條件“N8=90?！比サ?，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）如圖3,若ND48=90°,探究邊A。、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：（1）AC=AO+A3.理由如下:

VZD+ZB=180°,NB=90°,ZD=90°.

NDAB=120°,AC平分ZDAB,：.ZDAC=ABAC=60°.

???ZB=90°,.,.在RtZ\ABC中，ZACB=30°,：.AB=-AC.

2

同理，AO=，AC.

2

.-.AB=AD=-AC,即AC=A。+AB.

2

(2)(1)中的結(jié)論成立.理由如下：

以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作NACE=60°,NACE的另一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

???Z.BAC=60",\AEC為等邊三角形.AC=AE=CE.

VZABC+ZD=180o,ZDAB=120°,Z.Z.DCB=60°.

ZDCA+ZACB=ZACB+ZBCE,即ZDCA=ZBCE.

J?.VZABC+ZD=180°,ZABC+ZCBE=180°,AZD=ZCBE.

/.\DAC=\BEC(AAS).

AD-BE.

又AC=AE=AB+BE,

AC=AD+AB.

(3)AO+A3=JL4C.理由如下：

過(guò)點(diǎn)C作CEJ.AC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則/ACE=90°.

,/ZD+ZABC-1800,ZDAB=90°，,ZDCB=90".

NACE=90°,ZDCB-ZACB=ZACE-ZACB,即ZDCA=ZBCE.

又???AC平分NOAB,AZG4B=45°.

ZE=45°.：.AC=CE.

又?.?/D+/ABO180°,;.ND=NCBE.；,ACDA三ACBE(AAS).

AD=BE..\AE=AB+BE=AD+AB.

在R/A4CE中，ZCAB=45°,.*.AE=V2AC.

AD+AB—y[2AC.

10.(2017?衢州)問(wèn)題背景

如圖1,在正方形ABCD的內(nèi)部，作/DAE=NABF=NBCG=/CDH,根據(jù)三角形全等的條件，易得4DAEg△ABFgA

BCG^ACDH,從而得到四邊形EFGH是正方形.

類比研究

如圖2,在正aABC的內(nèi)部，作/BAD=/CBE=/ACF,AD,BE,CF兩兩相交于D,E,F三點(diǎn)(D,E,F三點(diǎn)不重合).

(l)AABD,ABCE,Z\CAF是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明；

(2)4DEF是否為正三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BD=a,AD=b,AB=c,請(qǐng)?zhí)剿鱝,b,c滿足的等量關(guān)

系.

BBC

圖1圖2

解：(D21ABD建△BCESACAF.

證明：:△ABC是正三角形,

ZCAB=ZABC=ZBCA=60°,AB=BC.

/ZABD=ZABC-ZEBC,ZBCE=ZACB-ZACF,

而NEBC=/ACF,

/.ZABD=ZBCE.

又NBAD=NBCE,「.△ABD逐△BCE(ASA).

(2)ADEF是正三角形.

證明：'.'△ABD四△BCEgaCAF,

ZADB=ZBEC=ZCFA.

...NFDE=/DEF=NEFD.

.?.△DEF是正三角形.

⑶如圖，過(guò)A作AGLBD,交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

由ADEF是正三角形得到/ADG=60°.

(或者NADG=ZBAD+ZABD=ZCBE+ZABD=60°.)

][3

.?.在RtZ\ADG中，DG=j),AG=^b.

.".c=a"+ab+b!.

11.已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G.

(1)如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DELCF,求證：運(yùn)=也；

CFCD

(2)如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)NB與NEGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得些=包就立？并證明

CFCD

你的結(jié)論；

(3)如圖③，若BA=BC=2,DA=DC=V5-ZBAD=90°,DE±CF,試求器的值.

VCFXDE,，NDGF=90°.

AZADE+ZCFD=90°,ZADE+ZAED=90°.

r.ZCFD=ZAED.

VZA=ZCDF',/.△AED^ADFC,.-.DE.-AD