中考數(shù)字、數(shù)式、圖形規(guī)律問(wèn)題(解析版)-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)方法突破

考點(diǎn)(特色)30：中考數(shù)字、數(shù)式、圖形規(guī)律問(wèn)題

重要考點(diǎn)知識(shí)解讀

一、概述

規(guī)律探索型問(wèn)題也是歸納猜想型問(wèn)題，其特點(diǎn)是：給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是

給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，或某一具體的問(wèn)題情境，要求通過(guò)觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，

進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.類型有“數(shù)列規(guī)律”“計(jì)算規(guī)律”“圖形規(guī)律”與“動(dòng)態(tài)規(guī)律”等題型.

1.數(shù)字猜想型：數(shù)字規(guī)律問(wèn)題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通

過(guò)適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問(wèn)題.

2.數(shù)式規(guī)律型：數(shù)式規(guī)律問(wèn)題主要是通過(guò)觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式

即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.

3.圖形規(guī)律型：圖形規(guī)律問(wèn)題主要是觀察圖形的組成、分拆等過(guò)程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)

的算式描述其中的規(guī)律，要注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合.

4.數(shù)形結(jié)合猜想型：數(shù)形結(jié)合猜想型問(wèn)題首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以

數(shù)或式的形式反映出來(lái)，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決

相關(guān)問(wèn)題.

二、數(shù)字推理規(guī)律方法

數(shù)字推理題難度較大，但并非無(wú)規(guī)律可循，了解和掌握一定的方法和技巧對(duì)解答數(shù)字推理問(wèn)題大有幫助。

1.快速掃描已給出的幾個(gè)數(shù)字，仔細(xì)觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系，尤其是前三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，大膽提出假

設(shè)，并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)，如果能得到驗(yàn)證，即說(shuō)明找出規(guī)律，問(wèn)題即迎刃而解；如果假設(shè)

被否定，立即改變思考角度，提出另外一種假設(shè)，直到找出規(guī)律為止。

2.推導(dǎo)規(guī)律時(shí)往往需要簡(jiǎn)單計(jì)算，為節(jié)省時(shí)間，要盡量多用心算，少用筆算或不用筆算。

3.空缺項(xiàng)在最后的，從前往后推導(dǎo)規(guī)律；空缺項(xiàng)在最前面的，則從后往前尋找規(guī)律；空缺項(xiàng)在中間的可以兩

邊同時(shí)推導(dǎo)。

4.熟記各種數(shù)字的運(yùn)算關(guān)系。

如各種數(shù)字的平方、立方以及它們的鄰居，做到看到某個(gè)數(shù)字就有感覺(jué)。這是迅速準(zhǔn)確解好數(shù)字推理題

材的前提。常見(jiàn)的需記住的數(shù)字關(guān)系如下：

(1)平方關(guān)系：記憶1、2、3、4……25的平方后數(shù)值

(2)立方關(guān)系：記憶1、2、3、4...10的立方后數(shù)值

比如：2-8,3-27,4-64,5-125,6-216,7-343,8-512,9-729,10-1000

(3)質(zhì)數(shù)關(guān)系:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.....

(4)開方關(guān)系：記憶4、9、16、25、36、49、64、81、100的開平后數(shù)值。

三、圖形規(guī)律思維方法

圖形規(guī)律問(wèn)題主要是觀察圖形的組成、分拆等過(guò)程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中

的規(guī)律，注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合.首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或

式的形式反映出來(lái)，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系.要將圖形每一次的變化與前一次變化進(jìn)行比較，

明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒(méi)有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律.解決規(guī)律探索型問(wèn)題的策略是：

通過(guò)對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并

由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.

四、解題步驟方法

規(guī)律探索問(wèn)題的解題方法一般是通過(guò)觀察、類比特殊情況（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）中

數(shù)據(jù)特點(diǎn)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行分解重組、猜想、歸納得出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這種規(guī)律，同時(shí)要用結(jié)論去

檢驗(yàn)特殊情況，以肯定結(jié)論的正確.

第一步：審題，仔細(xì)觀察圖形并找到相應(yīng)的規(guī)律；

第二步：化形為數(shù)，相當(dāng)于找出數(shù)列的前若干項(xiàng)：

第三步：考察相鄰兩項(xiàng)的差異，再根據(jù)這些項(xiàng)或項(xiàng)中某些部分（如分子、分母，整數(shù)、分?jǐn)?shù)等）構(gòu)成何種數(shù)

列；

第四步：按題中要求寫出某一項(xiàng)的結(jié)果或某些項(xiàng)的和.能找到前三項(xiàng)，就能求出任一項(xiàng)；另外，有些圖形

或數(shù)的出現(xiàn)是循環(huán)出現(xiàn)或按某種規(guī)律反復(fù)出現(xiàn)等，就需要具體問(wèn)題具體分析了；

第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟.

中考典例解析

【例題1】（2021山東濟(jì)寧）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：1,3,□,工，A,旦，…，其中口內(nèi)應(yīng)填的

25172637

數(shù)是（）

A.2B.-LC.區(qū)D.A

31192

【答案】D

【解析】分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方+1,根據(jù)規(guī)律即可得到答案.

觀察這排數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方+1,

.?.第〃個(gè)數(shù)據(jù)為：緋L.

2

n+l

當(dāng)〃=3時(shí),□的分子為5,分母=3?+1=10,

.?.這個(gè)數(shù)為_L=上

102

【例題2】（2021云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2,4/，9a、16/，25/，…，第，個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.〃2/+/B.wV1C.nnan+'D.（?+1）V

【答案】A

【解析】觀察字母a的系數(shù)、次數(shù)的規(guī)律即可寫出第n個(gè)單項(xiàng)式.

?.?第1個(gè)單項(xiàng)式”2=]2.小1,

第2個(gè)單項(xiàng)式4/=22.a2+1,

第3個(gè)單項(xiàng)式91=32?。3+1,

第4個(gè)單項(xiàng)式16“5=42?〃4+1,

...第〃(〃為正整數(shù))個(gè)單項(xiàng)式為〃2/+I.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是分別從系數(shù)、字母指數(shù)尋找其與序數(shù)間的規(guī)律.

【例題3](2022新疆模擬)探索nXn的正方形釘子板上(n是釘子板上每邊的釘子數(shù))，連接任意兩個(gè)釘

子所得到的不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)：當(dāng)n=2時(shí)，釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值只有1與所以不同長(zhǎng)

度值的線段只有二種，若用S表示不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)，則S=2；當(dāng)n=3時(shí)，釘子板上所連不同線段的

長(zhǎng)度值有1,小,2,乖，2m五種，比n=2時(shí)增加了三種，即S=2+3=5.

(1)觀察下圖，并填寫下表：

釘子數(shù)(nXn)S值

2X22

3X32+3

4X42+3+()

5X5()

(2)寫出(n—1)X(n—1)和nXn的兩個(gè)釘子板上，不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系；(用式子或語(yǔ)言表述

均可)

(3)對(duì)nXn的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】錯(cuò)解：(1)4；24-3+4+5；

(2)設(shè)(n—DX(n—1)和nXn兩個(gè)釘子板上不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)分別為S-和S?,則S-=2+3+4+…

+(n-1)；Sn=2+3+…+n；

(3)Sn=2+3+4+…+n.

剖析(1)填對(duì)了；(2)題目要求理解錯(cuò)了，命題要求寫出兩個(gè)釘子板上的兩個(gè)S值之間關(guān)系，而不是每個(gè)

釘子板上的S值與每邊上的釘子數(shù)n的關(guān)系，顯然，S“比S“T的值大n；

(3)寫對(duì)了，但應(yīng)化成不含省略號(hào)的代數(shù)式.

正解：(1)4；2+3+4+5：

⑵設(shè)(n-l)X(n-1)和nXn兩個(gè)釘子板上不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)分別為S…和S?,則"=2+3+4+…

+(n-l)；除=2+33+2..5,一5“7=11.即在6—1)*(11-1)和口*11的兩個(gè)釘子板上，不同長(zhǎng)度值的線

段種數(shù)前者比后者少n種；

z11x2?__Q

(3)S“=2+3+4+…+n=(l+2+3+4+…+n)—1=~-1=".

【例題4】(2021湖南懷化)觀察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,已知按一

定規(guī)律排列的一組數(shù)：2曲，2⑼，2皿，…，2倒，若2皿=加，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是.

【答案】m2-m.

【解析】歸納出數(shù)字的變化規(guī)律，給已知數(shù)列求和，并用含機(jī)的代數(shù)式表示出來(lái)即可.

由題意得：

2100+2101+2102+...+2199t

=(2+22+234--+2199)-(2+22+23+—+299),

=(2200-2)-(2|00-2),

_QIOO)2_2100

="-m

【例題5](2021內(nèi)蒙古鄂爾多斯)將一些相同的“O”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”

的“O”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有個(gè)“O”.

OO

OoOOooOOOo

OoOoOOO

OOOO

OOOOOO

OOOOO

OOOO

OO

【解析】分析數(shù)據(jù)可得：第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+4=5：第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+5+1=7；第3

個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+6+4=11；第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+7+9=17；…由此得出第n個(gè)圖形中小圓

的個(gè)數(shù)為1+(〃+3)+("-1)2.據(jù)此可以求得答案.

解：?.?第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+4=5；

第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+5+1=7；

第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+6+4=11；

第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+7+9=17；

，第"個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+(〃+3)+(n-1)2.

.?.第30個(gè)“龜圖”中的“O”的個(gè)數(shù)為1+(30+3)+(30-1)2=1+33+841=875.

【例題6】(2021山東泰安)如圖，點(diǎn)用在直線/：y=Z上，點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為2,過(guò)點(diǎn)Bi作B14U,

2

交x軸于點(diǎn)Ai，以A181為邊，向右作正方形A1B182C”延長(zhǎng)82cl交x軸于點(diǎn)A2；以42歷為邊，向右作

正方形A2比83C2，延長(zhǎng)83c2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A38384c3，延長(zhǎng)84c3交x軸于

點(diǎn)A4；…；照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第〃個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(結(jié)果用含正整數(shù)n的

代數(shù)式表示).

【解析】設(shè)直線與工軸夾角為a,過(guò)Bi作BiHLx軸于由點(diǎn)助的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)以在直線/：y

=Xv_h,可得。"=2,B\H=\,Jo'+B］口2=^^tana=—=-A..RtAi4iBiO+，求得

=O8「tana=YG,即第1個(gè)正方形邊長(zhǎng)是逅，在中，求得第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)是在義3,在

2222

RtA4W3。中，求得第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)是在X_i=Y5x(2)2,在R1A44B4O中，求得第4個(gè)正方形邊

_2422_

長(zhǎng)是Y5xZL=逅x(旦尸....觀察規(guī)律即可得：第〃個(gè)正方形邊長(zhǎng)是逅x(旦尸L

282222

解：設(shè)直線與x軸夾角為a,過(guò)Bi作Bi”_Lx軸于，，如圖：

2

：?0H=2,8i"=1,°a=，0于+8出2=近

RtAABi。中，A\B\=OB\?iana='^-,即第1個(gè)正方形邊長(zhǎng)是

22

OB2—OB\+6182=旄+逅=運(yùn)X3,

22

RIAA2B2O中，4282=082?311￡1=運(yùn)乂3乂工=逅*3,即第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)是逅X旦,

_222222

.?.083=082+82仍=返*3+返＞＜旦=逅乂9,

22222_

RlAA3BsO中，4m3=083?母3=返＞＜且又』=逅乂2,即第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)是逅X_i=Y￡x

22224242

084=0仍+8384=返＞＜9+迤*_1=運(yùn)義21,

222424__

RtAA4B4O中，A4B4=OB4"ana==Y￡x2工乂工=返義2工，即第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)是返x2Z_=Y￡x

24228282

審

觀察規(guī)律可知：第〃個(gè)正方形邊長(zhǎng)是逅x（旦）”一1,

_22

故答案為：YEx（旦尸i.

22

【例題7】（2022哈爾濱模擬）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22。17+22018的值，采用以下方

法：

設(shè)S=1+2+22+---+22017+22018?

貝I]2s=2+22+…+22018+22019②

②一①得2s-S=S=22°i9_1

-.s=l+2+22+---+22017+22018=22019-1

請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題：

(1)1+2+2?+…+29=.

(2)3+32+-+310=;

(3)求l+a+a?+…+an的和(a>0,n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程).

【答案】見(jiàn)解析。

【分析】(1)利用題中的方法設(shè)S=1+2+22+…+2>兩邊乘以2得到2s=2+22+…+2%然后把兩式相

減計(jì)算出S即可；

(2)利用題中的方法設(shè)S=1+3+32+33+34+…+31°,兩邊乘以3得到3s=3+32+33+34+35+…+3”,

然后把兩式相減計(jì)算出S即可；

(3)利用(2)的方法計(jì)算.

解：(1)設(shè)S=l+2+22+..?+29①

貝I]2s=2+22+…+21°②

②一①得2s_S=S=2i°-1

.-.S=l+2+22+---+29=210-1;

故答案為：210-1

(2)設(shè)S=1+3+32+33+34+…+31°①，

則3s=3+32+33+34+35+…+3”②，

②-①得2s=3口-1,

oil,

所以S=3T,

2

oH_l

即1+3+32+33+344--+310=-^_

2

故答案為：￡工；

2

(3)S=l+a+a2+a3+a4+..+an(l),

貝1]aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1@,

②-①得：(a-1)S=an+1-1,

所以S=3~-±,

a-l

n+1

即1+a+a2+a3+a4+..+an=-.......—,

a-l

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想，利用類比的方法是解決這

類問(wèn)題的方法.

考點(diǎn)問(wèn)題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2021廣西玉林）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個(gè)圖樹枝數(shù)用力表示，則為-丫4=（）

第1個(gè)圖71=1第2個(gè)圖43第3個(gè)圖巧=7第4個(gè)圖匕=15

A.I5X24B.31X24C.33X24D.63X24

【答案】B

【解析】根據(jù)已知圖中規(guī)律可得：1+2+22+23+24+25+26+27+---1,相減可得結(jié)論.

由題意得：

第I個(gè)圖：Y]=},

第2個(gè)圖：力=3=1+2,

第3個(gè)圖：為=7=1+2+22,

第4個(gè)圖：汽=15=1+2+22+23,

2345678

第9個(gè)圖：/9=1+2+2+2+2+2+2+2+2,

/.Y9-n=24+25+26+27+28=24(1+2+22+23+24)=24X(3+4+8+16)=24X31

2.(2021湖北鄂州)已知m為實(shí)數(shù)，規(guī)定運(yùn)算：42=1“3=144=1。5=1…,

ala2a3a4

即=1-二一.按上述方法計(jì)算：當(dāng)“1=3時(shí)，42021的值等于()

an-l

A.-2B.AC.-AD.2

3323

【答案】D

【解析】化簡(jiǎn)前幾個(gè)數(shù)，得到“”以三個(gè)數(shù)為一組，不斷循環(huán)，因?yàn)?021+3=673...2,所以。2021=。2,再

代數(shù)求值即可.

解：a\=a\,

al

1a1

1-1

a「la「l1一a1

1

(1-)=a\9

以三個(gè)數(shù)為一組，不斷循環(huán),

：2021+3=673…2,

3.（2022湖北荊門模擬）已知：順次連接矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，如圖①；

再順次連接菱形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的矩形，如圖②；然后順次連接新的矩形各邊的

中點(diǎn)，得到一個(gè)新的菱形，如圖③；如此反復(fù)操作下去，則第2012個(gè)圖形中直角三角形

圖③

C.2012個(gè)D.1066個(gè)

【答案】民

【解析】寫出前幾個(gè)圖形中的直角三角形的個(gè)數(shù)，并找出規(guī)律:

第1個(gè)圖形，有4個(gè)直角三角形,

第2個(gè)圖形，有,4個(gè)直角三角形,

第3個(gè)圖形，有8個(gè)直角三角形,

第4個(gè)圖形，有8個(gè)直角三角形,

依次類推，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí).，三角形的個(gè)數(shù)是2（K1）,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是2〃個(gè)，

所以，第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)是2X2012=4024。故選民

4.（2022陜西模擬）在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)（〃）和

芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當(dāng)〃=11時(shí)，芍藥的數(shù)量為（）

n=\n=2n=3n=4

單學(xué)季第畢畢畢畢畢

華華華華華學(xué)奉

華華學(xué)學(xué)舉*???***

華雉華*?畢

華?華**??*畢率???

手整平*??*軍畢*???**

挈華*單華畢華

*岑宰宰宰宰宰雉????冬

畢華華挈華畢華畢學(xué)

A.84株B.88株C.92株D.121株

【答案】B

【解析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)芍藥圍成的圖形是正方形，每條邊上的芍藥數(shù)量與牡丹的列數(shù)（"）的關(guān)系是2〃+1,

芍藥的總數(shù)量可表示為4（2〃+1）—4=8”，因此，當(dāng)“=11時(shí)，芍藥的數(shù)量為88.

5.（2020湖北十堰）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中出現(xiàn)數(shù)字396,則〃=（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】B

【解析】觀察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的規(guī)律，讓其等于396,解得“為正整

數(shù)即成立，否則舍去.

根據(jù)圖形規(guī)律可得：

上三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：2/7（1+/7）,若2〃（1+〃）=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去；

下左三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：n2-l.若"―1=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去；

下中三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：2〃一1,若2〃—1=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去；

下右三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：〃5+4）,若〃（“+4）=396,解得〃=18,或"=一22,舍去。

6.（2020湖北武漢）下列圖中所有小正方形都是全等的.圖（1）是一張由4個(gè)小正方形組成的“L”形紙

片，圖（2）是一張由6個(gè)小正方形組成的3x2方格紙片.把“L”形紙片放置在圖（2）中，使它恰好蓋

住其中的4個(gè)小正方形，共有如圖（3）中的4種不同放置方法，圖（4）是一張由36個(gè)小正方形組成的6x6

方格紙片，將“L”形紙片放置在圖（4）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有“種不同放置方法,

則〃的值是（）

(1)

(2)⑶⑷

A.160B.128C.80D.48

【答案】A

【解析】先計(jì)算出6x6方格紙片中共含有多少個(gè)3x2方格紙片，再乘以4即可得.

由圖可知，在6x6方格紙片中，3x2方格紙片個(gè)數(shù)為5x4x2=40（個(gè)）

則〃=40x4=160

二、填空題

（1）第4個(gè)圖案中有白色紙片張；

（2）第"個(gè)圖案中有白色紙片張.

【答案】（1）13（2）3〃+1

【解析】從圖中可以看出每增加1張黑色紙片，對(duì)應(yīng)增加3張白色紙片.

第1個(gè)圖案有4=1+3張白色紙片，

第2個(gè)圖案有7=1+2X3張白色紙片，

第3個(gè)圖案有10=1+3X3張白色紙片，按照這樣的規(guī)律，

第4個(gè)圖案有1+4X3=13張白色紙片，第”個(gè)圖案有1+"X3張白色紙片.

2.（2021浙江嘉興）觀察下列等式：1=?-下,3=22-12,5=32-22,…按此規(guī)律，則第八個(gè)等式為2〃

【答案】n2-（?-1）2.

【解析】根據(jù)題目中的式子可以發(fā)現(xiàn)：等號(hào)左邊是一些連續(xù)的奇數(shù)，等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)是和左邊是第幾個(gè)

奇數(shù)一樣，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)少1,然后即可寫出第〃個(gè)等式.

Vl=l2-O2,3=22-12,5=32-22,…，

第1個(gè)等式為2n-1—rr-（n-1）2.

3.（2021四川眉山）觀察下列等式：制=口」^=3=1+1^

V]2?221乂2

=里=1+.1

123X4

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算X\+X2+X3+,?,+X2020-2021=

【答案】

2021

【解析】根據(jù)已知等式，歸納總結(jié)得到拆項(xiàng)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律展開，最后合并，即可求出答案.

1

3X4

/.X1+X2+X3+—+X2020-2021=1+—^+1+―L—+1+—^+—+1+--------1-----------2021=2020+1-A+A-

1X22X33X42020X202122

A+A-A+——--L_-2021=--

334202020212021

4.(2021山東菊澤)如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=L(x>0)的圖象交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作AB,

x

OA,交x軸于點(diǎn)3；作84〃。4,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)Ai；過(guò)點(diǎn)Ai作AiBiLA出交x軸于點(diǎn)B；再作

B\Ai//BAx，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A2,依次進(jìn)行下去，…，則點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為.

［答案］V2022+V2021.

【解析】由一次函數(shù)），=x與反比例函數(shù)丫=工（x>0）的圖象交于點(diǎn)A,可得A（L1）；易得△OAB是等

X

腰直角三角形，則。4=2；分別過(guò)點(diǎn)4,4,A2，作X軸的垂線，垂足分別為C,。，E,則△A3。是等腰

直角三角形,設(shè)BD=m,則4。=如則4（加+2,加），點(diǎn)4在反比例函數(shù)y=A上,可得相的值，求出

點(diǎn)4的坐標(biāo)，同理可得上的坐標(biāo)，以此類推，可得結(jié)論.

如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,4,A2,作x軸的垂線，垂足分別為C,D,E,

?1

???一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=2>(x>0)的圖象交于點(diǎn)A,

x

y=x

???聯(lián)立11,解得A(1,1),

y=-

X

：.AC=OC=\,NAOC=45°,

9：ABA.0A,

：./\OAB是等腰直角三角形，

:.OB=2OC=2,

9

：A[B//OAf

：.ZA\BD=45°,

設(shè)8￡>=優(yōu)，則4。=團(tuán)，

?\A\(zn+2,m),

?.?點(diǎn)Ai在反比例函數(shù)y=」上，

X

???"？("7+2)=1,解得m=-1+?,(m=-1-賤,負(fù)值舍去)，

???4(&+1，&-1)，

VAiBi±AiB,

：.BB\=2BD=2y/2-2f

/.O8i=2?.

,.?3也〃34,

AZA2BI￡=45°,

設(shè)BiE=t,ROA2E=t,

.'.A2（t+2yf2't）,

?點(diǎn)Ai在反比例函數(shù)y=>1?上，

x

f（r+2j^）=1,解得/=-（t=-A/2-VS,負(fù)值舍去），

.??A2（V3W2-V3-V2）>

同理可求得A3（2+遮，2-遍），

以此類推，可得點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為42022+4202L

故答案為：“2022+42021?

5.（2021湖北荊門）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2021是表中第一行

第一列.

23

456

78910

1112131415

【答案】64,5.

【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾行的數(shù)字個(gè)數(shù)，然后即可寫出前〃行的數(shù)字個(gè)數(shù)，從而可以得

到2021在圖中的位置.

由圖可知，

第一行I個(gè)數(shù)字，

第二行2個(gè)數(shù)字，

第三行3個(gè)數(shù)字，

則第〃行〃個(gè)數(shù)字，

前n行一共有n（n+l）個(gè)數(shù)字,

2

63X

...63X64<2021<64乂65.2021-=2021-2016=5,

222

...2021是表中第64行第5個(gè)列.

6.（2021貴州銅仁）觀察下列各項(xiàng)：1工，21,3工，4工，…，則第〃項(xiàng)是.

24816

【答案】

【解析】根據(jù)題目中數(shù)字的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的整數(shù)部分是連續(xù)的整數(shù)，從1開始，而分?jǐn)?shù)部分的分母

是2的〃次方，〃從1開始，分子都是1,然后即可寫出第〃項(xiàng)對(duì)應(yīng)的數(shù)字.

?.?一列數(shù)為|工，zl,3.1,4-L,",、

24816

...這列數(shù)可以寫成：4」」，…，

二第"項(xiàng)是"3.

2n

7.（2021黑龍江鶴崗）如圖，菱形ABC。中，ZABC=120°,AB=\,延長(zhǎng)C￡>至4,使D4i=C￡>,以

4c為一邊，在BC的延長(zhǎng)線上作菱形ACGA,連接,得到△4D4；再延長(zhǎng)至42,使￡>IA2=C,D,,

以42cl為一邊，在CCi的延長(zhǎng)線上作菱形A2C1C2D2,連接A1A2,得到△AQN2…按此規(guī)律，得到△

A2020O2020A2021,記△AD41的面積為5i,△AQ1A2的面積為S2…,△A2020O2020A2021的面積為S2021,則S2021

【答案】22019、6.

【解析】由題意得△AD4為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1、為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2、△40243為等邊

三角形且邊長(zhǎng)為4、AA303At為等邊三角形且邊長(zhǎng)為8,…，△上必。2MA2022為等邊三角形且邊長(zhǎng)為22。21,

所以$=返乂12,52=返*22,53=瓜*23,…，S2O21=返X22O2I,計(jì)算出結(jié)果即可.

4444

解：?菱形A8c。中，ZABC=120°,4B=1,

AZADC=120°,AD=CD=\,

：.ZADAI=60°,

?；DAi=CD,

：.AD=DAif

???△AO4為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1,

同理：為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2,

△464為等邊三角形且邊長(zhǎng)為4,

△454為等邊三角形且邊長(zhǎng)為8,

△42020202^2022為等邊三角形且邊長(zhǎng)為22021,

2

；,s}=^-x\,

4

S=—X22,

24

$3=返入23,

4

S202尸返X22。21

4

=22。唾.

8.（2021黑牡雞）如圖，正方形AoBoCoAl的邊長(zhǎng)為1,正方形A1BC1A2的邊長(zhǎng)為2,正方形A282cM3的

邊長(zhǎng)為4,正方形A383c3A4的邊長(zhǎng)為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形A〃&GA〃+i，且點(diǎn)Ao，A\fA2,A3,…，

A〃+i在同一條直線上，連接Ao。交，AIi于點(diǎn)連接4C2,交A2歷于點(diǎn)功，連接A2c3,交于點(diǎn)

。3,…記四邊形AoBoCoOi的面積為51，四邊形A18C1O2的面積為S2，四邊形A282c2。3的面積為S3,…，

ADIAA

【解析】由正方形的性質(zhì)得出A\D\//A2C1,則＞一=-LJ_,得出A,D,=n2，同理可得

A2clA0A2“I3

412n1nU191?

A2D2=ylX-^-=44，S2=4-yX4，S3=4--7X'…'

乙乙S'Noo44°o

Sn=4kl_Lx4n_LZx4士1，即可得出結(jié)果.

n33

解：:四邊形AoBoCMi與四邊形48cM2都是正方形,

：.A\D\//AzC\,

.A|DtAQA2

A2clA0A2

.A1D11

?------=----，

21+2

o

，A]Di節(jié)，

同理可得：A2D2管

2x2

S1=1-^XlX-1=4°-^-X4°-S?=4-yX4，Sq=4-v4，…）

1Z0043°o

s=4n-1--J-X4n-1=-^-x4n-1-

n33

?02V.2020

,,S2021=7X4，

故答案為：—x42020■

3

9.（2021齊齊哈爾）如圖，拋物線的解析式為y=/，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）,連接。4：過(guò)4作44，，

分別交y軸、拋物線于點(diǎn)4、B,：過(guò)用作分別交），軸、拋物線于點(diǎn)鳥、4；過(guò)人作

45,15,4,分別交y軸、拋物線于點(diǎn)居、B?…:按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)尸“（〃為正整數(shù)）的坐

【答案】（0爐+〃）

【解析】根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線。4、4片、BR、……的解析式，即可求得打、P2、心

的坐標(biāo)，得出規(guī)律，從而求得點(diǎn)2的坐標(biāo).

?.?點(diǎn)A|的坐標(biāo)為（1,1）,

.??直線的解析式為y=x,

4用±0At,

0P1-2,

/.70,2）,

設(shè)Af的解析式為y=fcx+4，

k+b,=1[k=-\

二，;，解得/0，

I瓦=2屹=2

所以直線A出的解析式為y=-x+2,

解/2,求得耳（一2,4）,

y=x

VB\PJ/0%,

設(shè)百鳥的解析式為y=x+H，

工—2+%=4,

**.b）—6,

???￡（0,6）,

y=x+6--

解《2求得4⑶9）,

y=x-

設(shè)人鳥的解析式為y=-x+4，

，—3+4=9,

/.4=12,

，《(0,12),

2(0,IT+ri),

故答案為：（0,〃2+〃）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像卜.點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根

據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

10.（2021黑龍江綏化）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5

個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律,則第〃個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是.

AAA

△△△A△A

A△△△▲▲▲▲第”個(gè)圖形

△△AAA▲▲▲▲

△△△

△△△AAAA

①②③④

【答案】H2+n-1

【解析】此題只需分成上下兩部分即可找到其中規(guī)律,上方的規(guī)律為5-1）,下方規(guī)律為n2,結(jié)合兩部分即

可得出答案.

將題意中圖形分為上下兩部分,

則上半部規(guī)律為：0、1、2、3、4……n-1,

下半部規(guī)律為：在、22、32、42……n2,

.??上下兩部分統(tǒng)?規(guī)律為：n2+?-l.

故答案為：n2+n-1-

【點(diǎn)睛】本題主要考查的圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是將圖形分為上下兩部分分別研究.

11.（2021湖北恩施州）古希臘數(shù)學(xué)家定義了五邊形數(shù)，如下表所示，將點(diǎn)按照表中方式排列成五邊形點(diǎn)

陣，圖形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即五邊形數(shù)；

圖形

五邊形數(shù)1

將五邊形數(shù)I,5,12,22,35,51,…，排成如下數(shù)表;

1第一行

512第二行

223551第三行

觀察這個(gè)數(shù)表，則這個(gè)數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)為.

【答案】1335.

【解析】觀察表中圖形及數(shù)字的變化規(guī)律可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)五邊形數(shù)可表示為：1+2+3+...+(n-1)+M,觀察

數(shù)表找到規(guī)律，計(jì)算出這個(gè)數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)是第幾個(gè)五邊形數(shù)即n的值，代入上面的代

數(shù)式即可求得答案.

解：觀察表中圖形及數(shù)字的變化規(guī)律可得第"個(gè)五邊形數(shù)可表示為：1+2+3+...+(〃-1)+/,

由數(shù)表可知前七行數(shù)的個(gè)數(shù)和為：1+2+3+...+7=28,

數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)是第30個(gè)五邊形數(shù)即〃=30,

.?.把〃=30代入得：1+2+3+...+29+3。2,=1335,故答案為：1335.

12.(2021山東東營(yíng))如圖，正方形A8CB1中，AB=?,AB與直線/所夾銳角為60°,延長(zhǎng)CBi交直線

/于點(diǎn)4，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1&交直線/于點(diǎn)42,作正方形A282c2B3，延長(zhǎng)C283交直線/于點(diǎn)

A3，作正方形A3B3c3B4…，依此規(guī)律，則線段4202(兇2()21=.

3

【解析】根據(jù)題意可知圖中斜邊在直線/上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得出三

邊的長(zhǎng)度，以此類推可找到規(guī)律：A“B”=(返)”1An-iAn=2AnBn=2X(返)”

33

解：根據(jù)題意可知48|=48=b，/3IAAI=90°-60°=30°,

?w尸譚哼，

：.A\B\=AB\X返=?乂返=1,

AA]=248i=2,

33

4,82=4歷義返=48|X返=返，4A2=2A，82=2X退,

3333

2

A、Ba=A,BaX?=A,B，乂巨=叵乂近=（返）2AM3=24383=2X（返）

333333

A-42021^2021=^202052021XXA=2020,A202M2021=24202162021=2X()2020

333

13.(2022福建模擬)如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第

3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，…，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由個(gè)圓組成.

。強(qiáng)凝戲

【答案】217

【解析】(1)根據(jù)每一個(gè)圖形都是一個(gè)正方形和右邊的一個(gè)矩形構(gòu)成，得到左邊的正方形中小正方形的個(gè)數(shù)

和右邊的矩形中的小正方形的個(gè)數(shù)的和即可.

仔細(xì)觀察圖形知道：每一個(gè)陰影部分由左邊的正方形和右邊的矩形構(gòu)成，分別為：

第1個(gè)圖有：1+3個(gè)；

第2個(gè)圖有：4+4個(gè)；

第3個(gè)圖有：9+5個(gè)；

故第n個(gè)圖有：W+(n+2)］個(gè).

(2)觀察不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)等于圖形序號(hào)乘以比序號(hào)大1的數(shù)，根據(jù)此規(guī)律解答即可.

第①個(gè)圖有2個(gè)相同的小正方形：2=1X2；

第②個(gè)圖有6個(gè)相同的小正方形：6=2X3；

第③個(gè)圖有12個(gè)相同的小正方形：12=3X4；

第④個(gè)圖有20個(gè)相同的小正方形：20=4X5；……

按此規(guī)律，第@個(gè)圖有n(n+l)個(gè)相同的小正方形.

(3)首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案.

觀察分析可得：第1個(gè)圖有1個(gè)圓；

第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，7=1+6；

第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，19=1+6+2X6；……

故第9個(gè)圖由1+6+2*6+3乂6+?“+8*6=1+（1+2+3+“-+8）義6=217（個(gè)）圓組成.

14.（2019?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（1,0）,以為直角邊作RtZ\O4A2,

并使NAIOA2=60。，再以。①為直角邊作并使/42。43=60。，再以。43為直角邊作Rt^OA3A4,

并使/43。44=60?！创艘?guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A20I9的坐標(biāo)為.

【答案】（-22叫22370）

【解析】由題意得，4的坐標(biāo)為（1,0）,A2的坐標(biāo)為（1,G）,小的坐標(biāo)為（-2,26），

4的坐標(biāo)為（-8,0）,4的坐標(biāo)為（-8,-86）,A6的坐標(biāo)為（16,766）,A?的坐標(biāo)為（64,0）,…

由上可知，4點(diǎn)的方位是每6個(gè)循環(huán),

與第一點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x正半軸上,其橫坐標(biāo)為2nl,其縱坐標(biāo)為0,

與第二點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第一象限內(nèi),其橫坐標(biāo)為2"2,縱坐標(biāo)為2"2G,

其橫坐標(biāo)為〃縱坐標(biāo)為一百

與第三點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第二象限內(nèi),-22,2"2;

與第四點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x負(fù)半軸匕其橫坐標(biāo)為-2"」，縱坐標(biāo)為0,

與第五點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第三象限內(nèi),其橫坐標(biāo)為-2"2,縱坐標(biāo)為-2"2

與第六點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2"2,縱坐標(biāo)為-2"26

：2019+6=336........3,

??.點(diǎn)4019的方位與點(diǎn)43的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2〃2=-22。巴縱坐標(biāo)為2237百，

故答案為：（"Ou,22017>/3）.

15.（2022江蘇連云港模擬）如圖，點(diǎn)功在直線/：y=L上，點(diǎn)Bl的橫坐標(biāo)為2,過(guò)Bi作交

2

x軸于點(diǎn)Ai,以481為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長(zhǎng)82cl交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方

形A28283c2,延長(zhǎng)83c2交X軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A38384c3延長(zhǎng)84c3交X軸于點(diǎn)4;…;

按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)Cn的橫坐標(biāo)為（結(jié)果用含正整數(shù)"的代數(shù)式表示）

【解析】過(guò)點(diǎn)以、。、C2、C3、C4分別作軸,Ci￡)i_Lx軸，C2￡)2_Lx軸，C3D3A.XCADILX

軸，……垂足分別為。、Di，。2、。3、。4……

?.?點(diǎn)Bi在直線/：y=L上，點(diǎn)fii的橫坐標(biāo)為2,

2

點(diǎn)Bi的縱坐