重點梳理北師大數(shù)學第一講圓的認識　專項復習

重點講解

1.列一元二次方程解應用題

通過對實際問題的數(shù)量關系的探索，進一步體驗方程是反映現(xiàn)實世界數(shù)量關系的一

個有效的數(shù)學模型.

在解題過程中，注意幾點：

（1）注意挖掘題目中隱含的等量關系；

（2）注意語言與代數(shù)表達式的互化；

（3）注意單位問題a

（4）注意檢墟方程的解是否符合題意及實際問題的意義.

2.一元二次方程的根的判別式.

△>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根.

△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根.

△<0=方程無實數(shù)根.

注意：

（1）根的判別式是指△=/-42，而不是△=

（2）使用根的判別式之前一定要把方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问?

3.一元二次方程根與系數(shù)的關系

__b

如果與，町是一元二次方程白/+以+c=0（a卉0）的兩根，那么勺+叼_a,

c

Xi?勺=—

a.

注意應用根與系數(shù)的關系的前提條件：

（1）注意二次項系數(shù)aWO；

（2）是在有實數(shù)根的條件下，即△之0.

典型例題

例1.某木器廠今年一月份生產(chǎn)課桌500張，因管理不善，2月份的產(chǎn)量減少了10%,

從3月份起加強了管理，產(chǎn)量逐月上升，4月份的產(chǎn)量達到了648張，求工廠3月份和4

月份的平均噌長率.

解：設工廠3月份和4月份的平均噌長率為x.

500(l-10%)(l+x)2=648

(1+x)2=1,44

1+x=1.2或1+x=-1.2

々=0,2,$=-2.2(不合題意，舍去)

0.2=20%

答：工廠3月份和4月份的平均噌長率為20%.

例2.如圖所示，在寬為20m,長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，(互

相垂直)，把耕地分成大小不等的六塊試驗田，要使試驗田的面積為570m2,道路應為多

解：設道路寬為xm

(20-x)(32-2x)=570

解此方程，得勺=1弓=35(不合題意，舍去)

答：道路寬為1米.

例3.小明將勤工儉學掙得的100元錢，按一年定期存入“少兒銀行”，到期后取出50

元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利

率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率.

解：設這種存款年利率為x,根據(jù)題意，可得

[100(1+x)-50](l+x)=66

化簡，得50,+75x-8=0

18

解得々y一或

O1

x[=一一勺=—=10%

5不符合題意，舍去.所以，原題的解是10.

答：這種存款的年利率為10%.

例4.若方程/+2工_澳+1=0沒有實數(shù)根，求證方程/+活x+12羽=1一定有兩

個不相等的實數(shù)根.

解：...方程/+2芯-加+1=0無實數(shù)根，

...%=22-4X1X(12冽-1)<0

解得加<0

而方程/+wx+12加=1的判別式

2

A2=W-4X1X(12W-1)

=m2-48活+4

=掰(加一48)+4

'.'w<0,/.w-48<0,/.w(w-48)+4>0>gpA2>

...方程/+.+12切=1一定有兩個不相等的實數(shù)根.

x2-3(w-1)x4--w2-4冽+3=0

例5.小紅說，關于x的一元二次方程2,沒有實

數(shù)根，她說得對嗎？為什么？

解：/一Aac

=[-3（m-I）]2-4（|W2-4W+3）

=-m2-2m-3

=-[（??+1）2+2]

由于（活+1尸+2>0,/.△=一[（活+1V+2]<0

，此方程沒有實數(shù)根，，小紅說得對.

例6.若關于x的方程冽V-4“+4=0有實數(shù)根，求河的取值范圍.

<

解：當方程加，_4x+4=0是一元二次方程時，1n應滿足[（一,/—I刖之0

.冽工1,且加盧0

??a

當方程加犬-4x+4=0是一元二次方程，即當m=O時，方程Tx+4=0也有實數(shù)

根.

綜合兩種情況可知，當活=1時，方程有實數(shù)根.

例7.已知，關于x的方程,-3+1）*+上+2=°的兩個實數(shù)根的平方和等于6,

求k的值.

解：設方程的兩個根為勺，叼，則

勺+彳2=上+1，工1與=小+2

?X]+=6,??（X]+x?）2尤]芯2=6

：.（小+1戶一2（上+2）=6

解得用=3,k2=-3

又...A="+1尸-4R+2）

當化=3時，A<0,所以，化=3不符合題意，舍去.

當上=-3時，A>0,所以，上=-3即為所求.

例8.已知一元二次方程/+3工-1=0,求作一個一元二次方程，使它的兩根分別

是原方程各根的倒數(shù)的平方，則所求的新方程是().

解法1：設原方程的兩根為公，叼，則

Xj+X1=-3,X=-1

設新方程的兩根為當，y2,則

%=(一尸，尸2=(一尸>

勺x2

?.?乃+乃=d)、d)2=每坐區(qū)+力-戶叼=(3一”)="

勺X)々勺(X⑹(-1)

y必=(―)2(—)2=--~~2=~~2=]

公孫(々町)2(-

所以，所求方程為力-12+1=°.

解法2：設原方程的根為x,新方程的根為y.

因為新方程的兩根分別是原方程各根的倒數(shù)的平方，且由原方程可知xWO,所以,

y=(―>,y>0

X

x=±}-±-^=-1=0

解出x,得㈠,代入原方程，得丁Jy

為去掉根號，整理得±36=yT

兩邊平方，去根號，整理得丁2-1?+1=°

例9.甲、乙兩人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后二

人繼續(xù)前進，乙的速度不變，甲每小時比原來多走1千米，結果甲到達B地后，乙還需

30分鐘，才能到達A地，求乙每小時走多少千米?

分析：如果設乙每小時走x千米，那么相遇前、后甲每小時分別走x千米、(x+1)

千米，由于甲、乙走過的路程相同，而時間相差30分鐘.另外，相遇前甲、乙的速度相

同，且同時出發(fā)，所以相遇前甲、乙各走了路程的一半，而在各自剩下的一半路程中時

間相差30分鐘.

解：設乙每小時走x千米，則相遇前后甲每小時走x千米，(x+1)千米.

由題意得：

Xx+12

解方程得：々=4,x2=-5

經(jīng)檢驗：勺=4,町=-5都是原方程的根，但為=-5不符合題意，舍去。

x=4

答：乙每小時走4千米。

fx+y=7<1>

解方程組：

例10.㈤=12<2>

解法一：

由<1>得：x=7-y<3>

把<3>代入<2>得：/-7y+12=0

%=3,1y2=4

把Xi=3,1y2=4代入<3>得?X]=4,町=3

才

..原方程組的解為：0=14,,Jr2=2

61=3必=4

分析：此二元二次方程組是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成，因此可

以采用代入消元法求解，仔細觀察這個方程組的特征，可以發(fā)現(xiàn)，方程<1>恰是兩數(shù)之和

等于7,方程<2>恰是兩數(shù)之積等于12.這樣，解這類方程組就轉化為已知兩數(shù)和與積求

兩數(shù)的問題了.因此，可以將x、y看作某一個一元二次方程的兩個根，構造一個一元二

次方程，從而得到原方程組的解.

解法二：

方程組中的X、漠一元二次方程？-7z+12=0的兩個根

解方程，得：Z]=3或%=4

，x=4fY~3

..原方程組的解為：?一八2一，

必=3=4

例

11.己知方程―-20-7)x+3冽2-11=0有兩個不相等的正根片、町，若以

這兩根作為直角三角形的兩條直角邊的長，則斜邊為7嶺，求冽的值。

分析:

本題中只考慮到勺+與=2(川-7>占五2=3湘'T1和△>0是不夠的，還應考

慮勺>0,x2>0,BPxj+x2>0,勺町>0。

X]+盯=2(w-7)>0<1>

xxx2=3雨”-11>0<2>

由題思,得：xA=4(W-7)2-4(3W2-11)>0<3>

W+x”(7閭<4>

MT?

由<4>得：冽*+28冽-60=0

..%=2,冽2=—30

分別代入<1><2><3>,冽=一30（舍）。

:.m=2

例12.有一種質量為30克的金屬塊，現(xiàn)將它切成大小兩塊，將較大的一塊放在一架不

等臂的天平的左盤中，稱得質量為27克；又將較小的一塊放在天平的右盤中，稱得質量

為8克.若只考慮天平的臂長不等，其它因素忽略不計，請你依據(jù)物理學中的杠桿平衡

原理，求出兩塊金屬的質量。

分析：根據(jù)物理學中的杠桿的平衡原理列出方程組進行求解.

解：設較大金屬塊的質量為X克，則較小的質量為(30-X)克

若天平左、右臂長分別為acm和bcm,由杠桿平衡原理，得：

Pax=278<1>

8(2=6(30-x)<2>

由比例的性質，有:x(30-x)=8x27

整理，得：x2-30x4-216=0

解得：萬=18,盯=12

經(jīng)檢驗：石=18,孫=12都是原方程的解。

由題意得x=12,不合題意，舍去。

當x=18時，30-x=30-18=12

答：較大金屬塊的質量為18克，較小的質量為12克.

本題是一道跨學科的學科間綜合題，涉及了物理中的杠桿平衡原理，并且它是解本

題的關腱(依此列出方程).隨著教育改革的不斷深化，此類題目已成為中考命題的熱點

題型.

中考數(shù)學第一講圓的認識專項復習

教學目的：

理解圓及弦、弧、優(yōu)弧、劣弧、圓心角、圓周角的概念，了解弧、弦、圓心角、圓周角

的關系。

探索并了解留周角與圓心角的關系、直徑所對同周角的特征.

【知識重點與學習難點】

1、圓的概念與日常中“扇”的概念的區(qū)別，幾何中的扇是一條封閉的曲線，而日常生活

中的“圓”是一個圓盤.圓概是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

2、理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣孤、同心扇、等圓、等弧、弓形、圓周角等與圓有關的

概念。半圓或直徑所對的扇周角都相等，都等于900（直角）.900的圓周角所對■的弦是

圓的直徑.在同一圓內(nèi)，同孤或等弧所對的圓周角相等，都等于該孤所對的圓心角的一

半；相等的扇周角所對的弧相等等與扇有關的性質.

3、重點要放在圖形的識別上，如從圖形中能正確地識別出哪些圖形是圓的弦、哪些圖形

是圓的弧。

4、難點：圓周角與同心角的關系、直徑所對圓周角的特征.

【方法指導與教材延伸】

1、確定一個圓需要有兩點，一是圓心確定位置，二是半徑確定大小，若只固定圓心,

半徑不確定，那么將會得到一系列的同心圓；若只固定半徑大小，圓心不確定，那么將

會得到一系列的等扇，因而只有將圓心的位置和半徑的大小部確定之后，ID才能被確定

下來.

2、等弧是指兩條能夠完全重合的弧，而不是指長度相等的兩條弧，所以，等弧必須出現(xiàn)

在同圓或等同中，如果兩個圓既不是同一個圓也不是半徑相等的等圓，那么分別屬于這

兩個圓的兩條孤就一定不可能是等孤.

【例題選講】

例1、埴空題：如圖，@0中，AB、CD是兩條直徑，弦CE〃AB,后。的度數(shù)是40°,

則ZB0D=s

分析：由CE〃AB可得港=比，又懿的度數(shù)是40°計售得公的度數(shù)是1100,

即NBOD=NA0C=1100。

A

例2、選擇題：E

Af

1.在。。與G>0'中，若NA0B=NA'O'B',貝陽（）

（A）=（B）AB>A^B'.

（0AB<A^',（D）冠與卬?的大小無法比較；

分析：由于不知是同圓或是同心圓，所以無法比較，即選D.

2.下列命題中，假命題是（）

（A）長度相等的弧是等??；（B）等弧必須是同圓或等圓中的弧，否則不能互相

重合；

（C）度數(shù)相等的弧不一定是等??；（D）等弧的度數(shù)相等；

分析：（A）答案中由于不知是同扇或是同心圓，所以是假命題.即選A.

3.在同圓或等圓中，如果圓心角NB0A=2NC0D

則下列式子中能成立的是（）

,、，'、?-H.，

（A）AB=2CD；（B）AB<2CD（C）AB<2CD.⑻AB>?CD；

分析：這題很容易選A答案，這是誤解，應正確畫出示意圖，由三角形二邊之和大于第

三邊的性質來判斷，應選正確的答案B.

例3、已知：?0中，弧BC所對的同周角是NBAC,扇心角是NBOC,

1

求證：ZBAC=2ZBOC.

分析：本題有三種情況：

圓心。在NBAC的一邊上

同心。在NBAC的內(nèi)部

扇心。在NBAC的外部

?如果圓心0在ZBAC的邊AB上,只要利用三角形內(nèi)角和的性質和等腰三角形的性質即

可證明.

?如果圓心0在ZBAC的內(nèi)部或外部,那么只要作出直徑AD,將這個角轉化為上述情況的

兩個角的和或差即可.

證明:

圓心。在NBAC的一條邊上

OA=OC==>ZC=ZBAC

=4>ZBAC=2ZBOC.

ZBOC=ZBAC+ZC

⑵⑶略

小結：我們知道有一些命題的證明是要分情況來逐一進行討論的，大家應該明確，要不

要分情況證明，主要看各種情況的證明方法是否相同，如果相同，則不需要分情況證明,

如果不同，則必須分情況證明，即不能重復，也不能遺漏

例4：OA、OB、0C都是?。的半徑，NAOB=2NBOC,

求證：ZACB=2ZBAC.

分析：NAOB和NACB都對著弧AB,NBOC和NBAC都對著抽BC,

因此,根據(jù)圓周角的性質可得出它們之間的關系

J

證明：ZACB=2ZAOB\

ZBAC=2ZBOC=I=>ZACB=2ZBAC

ZAOB=2ZBOC

例5、如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,以AB為直徑的半扇交BC于D,交AC于E,

已知麗為40°,求NA與港的度數(shù)；

分析：等腰三角形的三