4.2-偏導(dǎo)數(shù)的運算

高等數(shù)學(xué)下冊講稿第四章數(shù)學(xué)分析教研室PAGE4第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：(1)理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念；(2)掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;(3)了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件。教學(xué)重點：偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點：偏導(dǎo)數(shù)存在性的討論教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)時數(shù)：2課時一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算在研究一元函數(shù)時，從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念，對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。由于多元函數(shù)不止一個自變量，研究起來要復(fù)雜得多。但是，我們可考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的變化率，例如:理想氣體的體積：因此，我們引入下面的偏導(dǎo)數(shù)概念。1、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在，而在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量：，如果存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為，，或.即。同理可定義函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，為記為，，或.即。如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是、的函數(shù)，它就稱為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)記作，，或.同理可以定義函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作，，或.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處2、計算：從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，若對某一個自變量求導(dǎo)，只需將其他自變量常數(shù)，用一元函數(shù)微分法即可。于是，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則都可以移植到多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算上來。例1：求在點處的偏導(dǎo)數(shù)．解法一：解法二：，這里我們要知道，有時，“先求偏導(dǎo)函數(shù)再代值求某點的偏導(dǎo)數(shù)”不一定簡便。如下例例2：求解:例3已知理想氣體的狀態(tài)方程（為常數(shù)），求證：.4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)是曲面上一點，則偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率；偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的兩個偏導(dǎo)數(shù)、的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。記作定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例5設(shè)，求、、、及.解：例6設(shè)，求二階偏導(dǎo)數(shù).解：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例7設(shè)，求解：當(dāng)時，按定義可知：=0=1顯然問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？定理2.1如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．例8驗證函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：=0證畢.內(nèi)容小結(jié):1.偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）2.偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.高階偏導(dǎo)數(shù)：純偏導(dǎo)，混合偏導(dǎo)及其相等的條件.思