基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神

基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神齊民友武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院湖北武漢430072chiminyou@慣值喚科學(xué)活動最鞏本質(zhì)的特點章就是別創(chuàng)新郵或恥創(chuàng)造街.擁出幣教學(xué)活動必后須是烏最具有創(chuàng)造腐性智的活動.傅因此,應(yīng)該腰從教學(xué)活動蒙的內(nèi)在特點葛來理解如何叛培養(yǎng)學(xué)生的線創(chuàng)造性.創(chuàng)寫造性不是陣“刑教工”賀出來的，而剃是在整個教祖與學(xué)的全過托程中順自然形成幼，或者說，霜熏陶駝而成的閃.鹽創(chuàng)造性寧可寶說是一種心疏理素質(zhì)刮，一種為人怪處事的態(tài)度陵或者習(xí)慣搭;它是葉一種最為寶蹦貴的素質(zhì)?。号瀯?chuàng)造始于不財滿足，始于吃否定眉.握創(chuàng)造始于自程信.不創(chuàng)造始于腳透下的每一步些.切創(chuàng)造成于從救心所欲不逾備矩.廊以檢小平邦彥的第書為例：與墨小平邦彥是再誰？191飲5-199朽7，是日本常20世紀(jì)最紐偉大的數(shù)學(xué)祥家之一開.欠是少有的同冠時獲得Fi更elds獎僅（1954撤）和Wol語f校獎（198者4-198獅5）的數(shù)學(xué)河家之一下.寄此書是他寫續(xù)的教材甲.刃日文本初版漢于1991恩年廳(巖波書店羨出版)美，當(dāng)時他已鵲經(jīng)76歲高千齡冤，于197比5年在東京念大學(xué)退休后飲，在學(xué)習(xí)院栗大學(xué)任教.式此書應(yīng)是他保的晚年著作濕.他在晚年仰還主編了一負(fù)套日本高中浪教材，被美初國數(shù)學(xué)會譯捏為英文，獲礙得廣泛好評鼓.成這罪一位蘿如此高齡以蛋及滾地位錄如此崇高身的大數(shù)學(xué)家勢所寫的書充張滿了創(chuàng)新精授神!命對于我們?nèi)鐫姾蝿?chuàng)造性地扇做好基礎(chǔ)課走教學(xué)是很好滑的范例.畜下面衰從這本書里脊舉幾個例子握，暴來說明我們對關(guān)于教學(xué)中扁的創(chuàng)新的觀邊點.幕旁盡早地比較旨系統(tǒng)地引入洪復(fù)數(shù)肉營復(fù)數(shù)與實數(shù)度的控“桶微積分楊”勉真正地表現(xiàn)蒙出本質(zhì)的區(qū)缸別，應(yīng)該從慎哥西派—牲黎曼方程以絮及哥西定理悼開始.本書券從變量與函膏數(shù)的概念開遲始就打破了惕二者的界限岔,這樣做有梢許多優(yōu)點:鉤更深刻地表閱現(xiàn)了數(shù)學(xué)的襯統(tǒng)一性.場更符合歷史濱發(fā)展的實際結(jié)情況.猾及早介紹歐晌拉公式展十分方便教攀學(xué),特別是脆后續(xù)課程和涌其他學(xué)科的勿課程的教學(xué)孕.舉一個例蹈子帝對于微積分加的重要問題咬給出了比一熊般教材更加秀精細(xì)更加充谷分的處理話現(xiàn)在以一致縱收斂的函數(shù)罷項級數(shù)的逐姿項積分為例蜻.先看繩一個習(xí)題堵(出自原碼書I,快臣247頁第沉42題)誘“購舉例說明，撒存在滿足字并且在區(qū)間摘上一致收斂溝于0的連續(xù)鋸函數(shù)序列腹.航”買答案其實不挎難，例如取硬即可另（木或連均可）錯.要點何在？貓某個區(qū)間上蒜的連續(xù)函數(shù)哈的一致收斂員序列容許在辭積分號下求圾極限，應(yīng)該復(fù)限制于此區(qū)冊間為緊僵（通常教材普上總說旱“夫有界閉區(qū)間沫）菊.濃緊性的作用做.現(xiàn)在通用朝的教材的一牧個通病讓在于沒有看語到緊性的極班端重要性.朵.斜當(dāng)攏非緊時不一響定是巴拿赫嘴空間在.衡它的對偶空奇間更是一個慢麻煩問題佩.睡這個問題與咸構(gòu)造廣義函恢?jǐn)?shù)耕（如閉函數(shù)）的關(guān)飼系本.攪自變量悄變?yōu)槊耍ɑ蚬S）與函數(shù)值牌變?yōu)槟懀ɑ虼u）在幾何形賽象尤上偽互為股“掌逆變宰”菜.物還有沒有曠其他的聯(lián)系睛？眼如學(xué)果說以上只弱是我們對于漢這個題目的皺“行教學(xué)建議通”付，下面則是劉原書作者延鎖關(guān)于積分號廣下取極限的鞏問題糞進(jìn)一步展開肆.數(shù)原書I,1號97頁尤給出了以下遷定理:剝“港定理5.1割0(Ar默zel往à勉定理)沿設(shè)在閉區(qū)策間因上，函數(shù)陰蕉悅連續(xù)，并且鐵一致有界，易即存在不依現(xiàn)賴于覽的常量錘使得在蠢上恒有壟成立版.取如果函數(shù)序霞列遞港收斂版，并且其極維限霧在易上連續(xù)，那憑么圾蛋獻(xiàn)這個結(jié)果(賽以及上面的辯習(xí)題)運都不是特別同偏僻的,例沫如可以參看堪菲赫金哥爾餃茨《微積分斧學(xué)教程》（之第二卷）.史但是此書不排是把這些進(jìn)植一步的展開毛作為可有可何無的附加,舟而是作為完固整的論述的藏有機(jī)組成部博分來看待.壁要點何在？初本定理是蠻勒貝格控制途收斂定理期的特例微.比您的學(xué)生學(xué)夏勒貝格積分陶理論愉感到抽象嗎側(cè)？他們扇敢不敢應(yīng)用癥這個理論的胞具體結(jié)果于兩自己的工作貴中？進(jìn)而，弓對于數(shù)學(xué)中題更深刻的結(jié)責(zé)果，他們鄙是否愿意學(xué)逝？學(xué)了以后桶有沒有具體彩的好處？隔本書把這個約定理用于含越參數(shù)的積分史在積分號下熊求導(dǎo)數(shù)（見證原書椒Ⅱ沈，267頁斤定理6.1幕9觸）劈.織關(guān)于交換極植限次序的問悅題撫,就我所見慰,本書是最福清楚明確拔而且不繁瑣查的一本稿.焦本書非常鑄注意戴前瞻性泥.姻如上所述,糾已經(jīng)鹿盡可能早地艱引入復(fù)數(shù),識應(yīng)用線性代西數(shù)的概念(叨如向量,矩鳳陣等等)解撤決微積分的倘問題哄,現(xiàn)在還與班所謂狐“緩精密分析渠”敘連接起來.箱冬不但瞻前,洞而且顧后率.袍我國的情況險是:秧進(jìn)了大學(xué)就絞忘了中學(xué)緒;辭大學(xué)數(shù)學(xué)系所畢業(yè)以后去溫教中學(xué)時,什又商覺得大學(xué)學(xué)炎的東西完全蝕沒有用戰(zhàn)(甜實際上是不藥會用某);健大學(xué)數(shù)學(xué)系幕很少想到擔(dān)菜任中學(xué)教師撒是很大一部旋分學(xué)生的出鍋路貧,培養(yǎng)合格最的中學(xué)教師餅是大學(xué)不應(yīng)裁推辭的義務(wù)祥.卡例如可以問故一個問題:占“參定義飾”脹對不對？倡答葛案應(yīng)該是：扒不對荷.因為這個煎式子的左方叨把冪的指數(shù)炕寫成了分?jǐn)?shù)冷,就是糕隱含地承認(rèn)娛了狂:京右方根號的討兩個指數(shù)的扶關(guān)系恰好是稀分子與分母失的關(guān)系揪.這恰好就跨是需要證明北的.徒本書的定義芳方法(我作燒了一些改動皺)是:疾“備定義座”五這種有理數(shù)計指數(shù)冪為求方程慈的唯一正實套數(shù)治根蠢.再證明至和港恰好是分母妄和分子的關(guān)飄系.所以這丸個根可以合椅理地寫為梅.狼當(dāng)傻是一般的有卸理數(shù)時如何拜證明島？缺韻庭以上可見本準(zhǔn)書I,涉住72-88猶頁.剝利栗從這幾個蠅例子看末:良小平邦彥的廊書有哪些優(yōu)裁點和創(chuàng)新？間抓住了數(shù)學(xué)般內(nèi)容的土不斷發(fā)展的龍實質(zhì)，而不聯(lián)是妻把它看成固遣定不變的,繞不可逾越的既,也不示停留在形式閥推導(dǎo)的表面良上詳；努力建立壤數(shù)學(xué)各個部退分的襯發(fā)展撐和兵相互聯(lián)系械，而不是把越作為一個整告體的數(shù)學(xué)過舞度地劃分為垮互不相關(guān)的側(cè)“喂分支菠”壇.捏提供了許多征問題的新的蝶處理方法段，使我們女不會誤認(rèn)晚為揮“邊數(shù)學(xué)（具體掘地說：微積晉分）治”柔只能有我們飼熟悉的爪那移一種理解，披那礦一種講法宏.臂體現(xiàn)了高度扎的個性粱，正如小平穿邦彥可以制“刷反常人之道僵而行剖”筒，我們也可供以臉“榜反小平邦彥概之道而行輝”檢.長沒有多樣性墓，就沒有創(chuàng)室造性露.奉鼓勵教師和散學(xué)生走自己以的路胃.朱陽總之：一方助面要厭去粗取精，變?nèi)未嬲?，顯由此及彼，設(shè)由表及里世.荒達(dá)到對數(shù)學(xué)冤的灣規(guī)矩礎(chǔ)（即內(nèi)在的左規(guī)律）的認(rèn)斗識，做到未中規(guī)中矩餓.獸另一方面稻，可以根據(jù)朗自己（教師誦或?qū)W生）的款具體情況以副及學(xué)術(shù)上的大愛好、習(xí)慣搬、長處與短惑處等等來教碼好（或?qū)W好衡）一門課程逃，從中得到泰對于數(shù)學(xué)科叛學(xué)的侵真意的理解廢.服綜合這兩個斧方面，就是憲前面說的?！肮S從泡心所欲不逾圓矩割”檔.卻幸從這個意義煌上說，教與探學(xué)都是一種莫“葉再創(chuàng)造鞠”——夸從創(chuàng)造中學(xué)聽創(chuàng)造粥.報這當(dāng)然是一瘡個艱苦而又昨漫長的過程泥.爭附岡錄懶小平邦彥一袍書的兩點說羞明關(guān)于冪運算右冪運算具是指數(shù)函數(shù)冠和冪函數(shù)概鍋念的基礎(chǔ):租若視涂為變量,就鞋得到冪函數(shù)待;若視奉為變量,則段得到指數(shù)函石數(shù).為什么渣要求絕，我已經(jīng)在遇另文中作了綱嚴(yán)格的論證鋼,這里不再葬說明.膊冪運算有貪3條基本定糧律(我稱為庸指數(shù)定律)嚇:1.裙場插因及覆2.世3.棕當(dāng)攏為正整數(shù)時衫,冪就是連嫂乘積;這時緊,上述3條插定律是自明璃的,我們不車再證明.現(xiàn)箱在要討論的齡是棋為有理分?jǐn)?shù)儀的情況,即滅指數(shù)為算，而再均為正整數(shù)咽的情況(舒為窯也可以,但擱為簡單計,狗我們不仔細(xì)踏說明).以驗下,所謂分饑數(shù)均指襪有理分?jǐn)?shù),誕所以如像伯之類的數(shù)暫牽不討論,留惜待下面君為一般實數(shù)伍時再說.梢首先是當(dāng)愉為有理分?jǐn)?shù)谷時（特別是異時）冪運算顛的定義問題碼.小平邦彥理書上是用右的反函數(shù)來叼定義獻(xiàn)的.為此，速他需要先證訓(xùn)明嚴(yán)格單調(diào)臟連續(xù)函數(shù)必執(zhí)有反函數(shù)存礦在，并且在興講京時就已經(jīng)明針確地證明了蜂它在朋上嚴(yán)格單調(diào)些連續(xù).這些忙都比我國通好用的多數(shù)數(shù)馳學(xué)分析教材遷講得更好.涉我在另一篇播文章里則用幻了以下定義怪：解定義１．椅即方程郵的算術(shù)根（捎即正實數(shù)根窄）．香算術(shù)根的存呢在和唯一性漆沒有用代數(shù)墨的基本定理捧來證明，因喚為它只能保采證方程刺有復(fù)根存在雪，而枯無法保證有普唯一正實根粘存在.遵所以我是用烤連續(xù)函數(shù)的頑中間值定理窗來證明的．匪這與反函數(shù)借定理是完全慎等價的．進(jìn)匙一步船的情況有兩旋個方法來定鮮義：或者定飯義為袍的市次冪；或者猴定義為其的憲次方根，即貍定義２．箏著即方程撓煉診義粉泉（?。保┑乃阈g(shù)根．叔這里院只是一個暫導(dǎo)時的記號．正現(xiàn)在的中學(xué)團(tuán)教材時常就免說：催分?jǐn)?shù)冪少的定義就是曠．栽必須明確指槍出，這個說啄法是錯誤的肅，因為它隱抖含地規(guī)定了趣乘方的次數(shù)好與開方的次論數(shù)坡的關(guān)系（也房就是方程（道１）左右雙營方的兩個乘乏方次數(shù)的關(guān)狂系）是分?jǐn)?shù)陜分子與分母頌的關(guān)系，而味這一點正是挎需要著力論默證的事情．到正因為如此妻，我們在定裹義２后面特紐意提醒：覆“旺這里養(yǎng)只是一個暫哀時的記號即”持．償中學(xué)教材還蘇有一點遺漏絡(luò)：在遠(yuǎn)中是先開方合后乘方還是禾先乘方后開責(zé)方立？帖看來似乎是默先對痕乘禮次方，再對軋開次功方．定義２墊則很明白是納這樣作的．光因此自然有址一個問題：擦可否先開方爆后乘方，即掙定義仗為獄？實際上不蘋但可以，而抱且有時還更仿好．原因下沾面再說．匆在下面的討巴論中，我們惱暫時限制冪進(jìn)為正，所以惰負(fù)指數(shù)的問幅題因為比較滔明確，不會澆有什么誤解我，所以這里梯不說了.跑我們先來證蟻明先開方后猴乘方也是可貨以的．悼定理１．定屠義２中的才就是定義１尺中的灘的毛次方．總證明辰．記定義１嘗中的臥為玩，它的存在荒和唯一性上粗面已經(jīng)說了慚．它是一個委正實數(shù)，因辛此可以對它博求任意正整圣數(shù)次冪．由蹲定義１，擔(dān)雙方求難次冪有別．份但是覺是正整數(shù)，泰從而蘋就是一個連飯乘積罰，所以狀因此，忌是方程辭的算術(shù)根（歲注意昂是正實數(shù)）凡而按照定義衛(wèi)１，亦即極品鑄巡民燈（２）拖這個體證明的要害踩是：把貿(mào)的有理分?jǐn)?shù)弟冪變成窄的正整數(shù)冪淹．反正帶作為方程詞的算術(shù)根是欠正實數(shù)，它訓(xùn)的正整數(shù)冪冠就是簡單的賄連乘積，所燃以可以應(yīng)用示前面講的指墳數(shù)定律．以灑后許多證明校都是這樣來資的．這就是咐為什么前面毅說先開方后蠅乘方有時更建好．撥另一個更重死要的問題是蜓：有理分?jǐn)?shù)德可以寫成不靜同形狀的分矮數(shù)，如百等等，于是盲就有不同的蕉和畝．所以至關(guān)魚重要的是要壽證明簽定理２．如襲果霉為正整數(shù)，峽則對于堡有賊慣尤醋雞懸（３）裂有了這個定膛理以后，我雖們才看見了假中劈確實是一個淹有理分?jǐn)?shù)．剖（但是我們左下面還會給產(chǎn)出一個符合四現(xiàn)代數(shù)學(xué)要有求的形式化席的證明，雖羅然這對于大懂多數(shù)績中學(xué)哨老師仰——系更不說是全糊部中學(xué)生瘋——冠是完全不必垂要的）．證廊明的方法和辨定理１的證崗明方法是一欺樣的．南證明．宏對妖乘以燭次方．由于鍋即育所以由（２箱）式有員第一步的方板括號處我們擦應(yīng)用了（２盒）式；第二走步最外層的向方括號處蒸，我們利用渣了指為正整數(shù)，販從而可以利獎用前面關(guān)于盲冪運算的指話數(shù)定律的第桶２條；最后鬼一步則是定棍理的假設(shè)．抗同樣，我們捉也有禁這樣，永和踩是同一個方援程拿的算術(shù)根（任和動是正實數(shù)從真定義２中已壺經(jīng)明確）．提由算術(shù)根的儉唯一性即知潔二者相等．鋪證畢．掘以甜上只考察了演冪為正的情蒸況.如果冪米為負(fù)，也不妖會有大的難縱處，所以不塘再討論.昨在小平邦彥蛛的書中，以視上全部內(nèi)容塞只寫了不到純１頁的篇幅求．他說：＂弱在本節(jié)，我拉們將對在高椅中數(shù)學(xué)中學(xué)漫過的指數(shù)函胳數(shù)和對數(shù)函酸數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格后的論證梯＂由此可見嗽日本對高中奮學(xué)生和教師林是什么樣的洗要求！我比始較詳細(xì)地寫求了這么多，回?zé)o非是感到艙此書言簡意鑄駭,而自己旱教了這么多近年的書，其賀實沒有把最訊基本的東西墻講清楚，實陣在汗顏,所晚以多寫了幾朗句.蹄下面再來證梳明對于有理橡分?jǐn)?shù)冪，冪境運算的３條吹定律也成立訓(xùn)．因為證法濁完全一樣，藍(lán)下面只證明駁第一條：踏如果裁為正整數(shù)，首而楊，則有黎鏡抵階穩(wěn)潮（４）勵證明．睛將上式左方蠅乘欲次方．因為引是正整數(shù)，暑所以可以應(yīng)擱用冪運算的血第３條定律你而有富這里我們用帆了上面的丈證明釋，以及對于詠正整數(shù)冪的困指數(shù)定律的歇第一條．織由此可見（央４）式左方孤是方程數(shù)的算術(shù)根．佩因此定理證畢．抗為了更好地貫理解以及教劑好一個數(shù)學(xué)多問題,一個汁有效的方法補(bǔ)是注意沃瞻前顧后舊:我們不妨華回憶一下小勇學(xué)生學(xué)分?jǐn)?shù)詞運算的情況臺.如果有幾鞠個分?jǐn)?shù)要處中理,最好是列先求出公分頁母,最方便鼓的方法是把錯幾個分母乘還起來,如同魯上面的潛那樣,而不遲必求最小公畫分母.作了挎通分以后,砌就完全成了避分子的正整抖數(shù)運算送——勞分?jǐn)?shù)問題化番成了正整數(shù)疫.我們這里暴也是一樣:暴先乘上同次方,就把呀分?jǐn)?shù)冪的運膊算化成了正內(nèi)整數(shù)冪的運生算.可見從廊原理到方法孫都是相通的蒼.以上都是叉“郊顧后郊”稀.再說耐“齊瞻前私”狐.我們講的彈冪運算與小僅學(xué)講分?jǐn)?shù)不建同之處僅在紙于乘法變成阿了乘方,除愧法變成了開輕方敗——終這正是對數(shù)住的思想.如惰果再進(jìn)一步牲，想一下如餅果對于冪運冊算沒有如此繞清楚的理解暴，指數(shù)函數(shù)記該怎么教？惡豈非大廈立偽在完全靠不宏住的基礎(chǔ)上總？對于學(xué)生腿當(dāng)然不能這煤樣要求，但張是作為一個屋教師，養(yǎng)成朽這樣的瞻前鍋顧后的好習(xí)超慣，無疑是瞇會得到豐厚愚的報償?shù)?領(lǐng)但是前面所艇講只不過是甜“仆體會招”斧：映數(shù)學(xué)里少不末了某些只可渾意會的紛“津體會柏”鼻，但是終究鞠應(yīng)該用清晰見明確的語言淡把它表達(dá)出昌來饞.所以，似形式化蘭是不可避免教的，是一大許進(jìn)步.下面于我們試圖把劈它形式化.不什么是分?jǐn)?shù)打？一個燒餅俗３個人均分算，每人得孕個.教小學(xué)殖生這就夠了露.但是對成免熟的中學(xué)老錢師，這是不餓行的.現(xiàn)代凝對分?jǐn)?shù)的理錦解，就是畏把分?jǐn)?shù)考慮凍成為一個有葉序的整數(shù)對群，僅其中沉.所謂罪“管有序還”則其實就是說寬前項是分子箭，后項是分燙母，次序不愉得混淆；份就是分母不技得為０.但輝是溜是同一個分極數(shù)，所以在塌這類有序的蹤整數(shù)對的集炊合里需要引丹入一個句等價關(guān)系：尺若侍適合關(guān)系式干：導(dǎo)就說這兩個中有序的整數(shù)酬對等價，并首且記作抗確實是一種溜等價關(guān)系，昌因為它具有斬以下３條性菜質(zhì)：自反性：聽對稱性槍：若矮則億傳遞性剖：若竿而且蜜則爽這些性質(zhì)都勉不再證明了爛.味以后就稱這掃個等價類為轎一個分?jǐn)?shù)，磚并且把餡記作船若使則說技以上所述全親都可以在一啟本較完備的眠現(xiàn)代代數(shù)教歇本里找到，軋是每一個大僚學(xué)數(shù)學(xué)系的攪學(xué)生都應(yīng)該子學(xué)過的（或肉者可以容易擇學(xué)懂的）.圈因為手邊沒責(zé)有參考書，禮就不再指出途出處了，而貨是回到分?jǐn)?shù)驕冪問題上來滴.溫回到用于定腿義黎的方程（１不）.慧我們現(xiàn)在不躲再用辜這個暫時的敗記號教.但無論如度何，這個方龜程的解（存吼在和唯一性熟問題已經(jīng)解趴決了）總是糊的函數(shù).因惑為在整個過休程中喊一直沒有變扣動，所以這媽個函數(shù)可以棗寫作僑但是，定理你２告訴我們踢它其實是財所成的等價勿類頃的函數(shù)，所監(jiān)以應(yīng)該寫成炊當(dāng)然最自然啞的記號應(yīng)該腿是羞，因為當(dāng)蘇而右就是正整數(shù)什時，我們一羊直用的記號摩是淡可見可這不但不是位暫時的記號誘，而且是只頃能使用這個臟記號翅.條關(guān)于具有一師般實數(shù)指數(shù)壟的冪運算萬為任意實數(shù)亂如何用極限披方法加以定放義，并證明鑒前面說的冪襖運算的3條發(fā)定律，一般百書上都講過抽.雖然不一煌定好懂，卻坦不會引起誤跨解，所以這刊里也不說了迷.次２．一個栗習(xí)題偵這一部分是磨關(guān)于一個數(shù)讓學(xué)分析習(xí)題耕，與中學(xué)教壩學(xué)無關(guān)．宣小平邦彥的和這本書《瓣微積分入門劫Ⅰ頭，一元微積柱分牌》第氣224雁頁有如下的側(cè)題目：該“岸舉例說明，溫存在滿足殘并且在區(qū)間但上一致收斂虹于曠的連續(xù)函數(shù)死序列.筋”肚題目本身并難不難.辜書上也有答型案,與下面懇所說相同:深只需找一個經(jīng)在區(qū)間固上有界的連參續(xù)函數(shù)安使得睛，然后再令所即可.記慧在積分泉中作變量變兄換誕，就有羞在區(qū)間撓上一致收斂浪于０由規(guī)的有界性是序自明的.蹤例如，取炕等等均可.騙問題在于這卻個題目說明合了什么？我移們在數(shù)學(xué)分村析中都學(xué)過背：庸“磨若區(qū)間野上的連續(xù)函亮數(shù)序列燈在此區(qū)間上歲一致收斂于測０，則必可淋在積分號下文取極限而得夜”腸為什么不能營仿照上面的址例子來構(gòu)造硬一個反例來終推翻數(shù)學(xué)分崇析的這個有斧根本重要性捧的定理呢？忠至少可以這關(guān)樣來看:如侵果作前面那黨樣的變量變接換羽,積分金積分區(qū)間短甜了一大截,取當(dāng)噴時,積分區(qū)煎間趨為一點戒,當(dāng)然就不安再可能犁.盲小平邦彥為吊什么出這樣捧一個題目?怠我想是因為獻(xiàn)我們對那個偉一致收斂序獄列可以在積畜分號下取極櫻限的定理少“榆太熟悉距”便，所以樓覺得陰溝里總翻不了船,次也就不太細(xì)住心了年,以為在無偉窮區(qū)間上它最也成立.我括乍一看這個身題目,心里守一驚,才想塘到過去對此乞并未真懂.騾其實這樣的辣情況,我們晌在學(xué)或者教悼數(shù)學(xué)分析課緒程時,并不霸少見.小平賤邦彥的書里毫就有不少我扔們自以為沒補(bǔ)有問題而其扒實應(yīng)該細(xì)細(xì)必想一想的材照料.歌再分析一下菌我們的證法槽.既然在函麻數(shù)裝前面加了因扶子座就把一條曲沉線壓低到原慌來高度的歲但是，這條轎曲線下面的吸面積就只會老趨向0,而溝為什么表示品面積的積分堅始終為車呢?問題出匯在自變量也醫(yī)在變化:由輛變成了疤所以理軸上的單位鑄長度重相應(yīng)于原來證的僵軸上的長度葡也就是說,縮曲線在高度座被壓低到原臟來的高度的毅的同時,其鐵水平的長度慘卻被拉伸了縮倍,所以曲血線下方的面嘆積是不變的夾,所以自變例量前多一個懶因子禍和函數(shù)值前鞠多一個因子章從幾何上看廊作用恰好相序反.這一點騾與蔥“看協(xié)變（泡covar配iant在）旱”酬和仇“冰逆變(帶contr號avari董ant仗)它”智的相互關(guān)系膝有點類似.臭協(xié)變和逆變木是現(xiàn)代數(shù)學(xué)捏中很基本的組概念，其實恰在此已見端魄倪.我在前積面講了桶瞻前顧后古的道理，不版要以為現(xiàn)代免的東西一定潮是最最抽象庫難懂的東西蛾.上面已經(jīng)燕屬于騎瞻前桂了，其實可株以再往前面育走一步，看援一個中學(xué)教渠學(xué)中就已經(jīng)蠶有點忽悠人容的小問題：觀函數(shù)悶的圖像與貢的圖像的位斗置（不妨只畏看革的情況）關(guān)賤系，恰好是前在臟左方相距羞處，而竿的圖像是把犧的圖像向右煤移動一個駝又見協(xié)變和孟逆變的關(guān)系劍！鑒不妨想得更捏寬闊一些：枝既然已經(jīng)看定見了密的幾何意義戲，何妨再看汗一看受的幾何意義睬（但是我們銹現(xiàn)在限于漆.前一個因孩子錦表示在相軸方向上把舒高度提升武倍，自變量溪上的因子皆顯然表示在島軸方向上向籃原點收縮到態(tài)原有的齡所以，如果拜這個函數(shù)的紛圖像是一個還鐘形，則當(dāng)望時應(yīng)該能夠約得到一個頓“修函數(shù)慮”蚊.因此我們揚應(yīng)該可以證爸明:故當(dāng)著若是一個緊支停集連續(xù)函數(shù)犬時，應(yīng)有拜所有這一切傘都不難證.宇當(dāng)然可以考跳慮原來的霉就有緊支集飯的情況，或久者劣的情況等等雷.這樣做，慢目的并不在芽于想得到某均個新定理（插有時也會得網(wǎng)到很有意思蜻的結(jié)果），陵而在于加深移自己的理解山，使自己在戲一門非常古窮老的課程（羅包括中學(xué)教辟材）里更加鍬如魚得水.魚這里說的雙“槍水吃”集就是廣義函甲數(shù).這就令該人聯(lián)想到朱番熹的名詩《掀讀書有感片》曰：叼“方半畝方塘一兔鑒開，天光撞云影共徘徊萄.問渠哪賢得清如許，右為有源頭活森水來陷.嚇”宰通篇沒有一頓個涌“渡書混”誕字，可是讀馳書教書的道帽理算是講透系了.其實，之讀書和教書繩與其說是方加法問題，更竊是一個心態(tài)繪問題，是怎達(dá)樣使自己讀撈書教書很愉勁快，轉(zhuǎn)“敞不那么累堡”門，而且不斷恩得到源頭活番水，如醍醐跪灌頂，天光賄云影，既在煤書中，又在雨心中，相印嗓相通，豈不跡快哉！赤閑話打住，女回到連續(xù)函批數(shù)的一致收伍斂問題.我羨們都知道有送限閉區(qū)間咐上的連續(xù)函泉數(shù)構(gòu)成一個燃巴拿赫空間籍，其中的收弱斂性就是一倦致收斂.可蠻是就沒有注烏意到，開區(qū)泛間不行，無汽界區(qū)間不行斯.現(xiàn)代數(shù)學(xué)背很明確地只沃講穴“蜻緊集合描”幫，這使得不陰少學(xué)生糊涂化，還有不少歐人覺得數(shù)學(xué)吊家受了布爾脖巴基之害.閱他們很少去輝想，連續(xù)函露數(shù)可以達(dá)到歌最大最小值鏡、連續(xù)函數(shù)釋又是一致連戴續(xù)都要用到寸有界閉區(qū)間瀉，似乎