高中數(shù)學(xué)弦切角定理的證明方法

第頁共頁高中數(shù)學(xué)弦切角定理的證明方法高中數(shù)學(xué)弦切角定理的證明方法弦切角定理證明方法一1)連OC、OA，那么有OC⊥CD于點C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進(jìn)而有∠OAC=∠BAC。由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。(2)連接BC，且作CE⊥AB于點E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。第一題重新證明如下：首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。連接OA、OC、BC，那么有∠ACD+∠ACO=90°=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進(jìn)而AB為⊙O的直徑。弦切角定理證明方法二證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,?！?ang;TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的'弧的圓周角)證明：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,假設(shè)在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E那么，連接EC、ED、EA那么有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)弦切角定理證明方法三假設(shè)兩弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等應(yīng)用舉例例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=