2023屆北京八中高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學歸納法證明（，）時，第一步應驗證（）A． B． C． D．2．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．43．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－14．若，，則（）A． B． C． D．5．如圖，長方形的四個頂點為，，，，曲線經(jīng)過點.現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域外的概率是（）A． B． C． D．6．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風的概率為930，下雨的概率為1130，既吹東風又下雨的概率為A．89 B．25 C．97．若復數(shù)是純虛數(shù)，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知平面向量，的夾角為，且，，則（）A． B． C． D．9．設，，∈R，且＞，則A． B． C． D．10．在某項測量中，測量結果，且，若在內(nèi)取值的概率為,則在內(nèi)取值的概率為（）A． B． C． D．11．2018年元旦期間，某高速公路收費站的三個高速收費口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設三個收費口均能正常工作，則這個收費口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．12．命題“?n∈N*,f(n)∈NA．?n∈N*B．?n∈N*C．?n0D．?n0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式的第3項為______.14．若f(x)=13x3-f'15．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)2，2，2，2，2的方差為_______．16．已知的面積為，三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求的最大整數(shù)值．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范圍．20．（12分）已知冪函數(shù)f（x）=（m∈N*），經(jīng)過點（2，），試確定m的值，并求滿足條件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的實數(shù)a的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù).(I)求的減區(qū)間;(II)當時,求的值域.22．（10分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

直接利用數(shù)學歸納法寫出時左邊的表達式即可．【詳解】解：用數(shù)學歸納法證明，時，第一步應驗證時是否成立，即不等式為：；故選：．【點睛】在數(shù)學歸納法中，第一步是論證時結論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．2、C【解析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【詳解】所以【點睛】本題考查正余弦定理的簡單應用，屬于基礎題．3、C【解析】

根據(jù)題意得到的坐標，由可得的值.【詳解】由題，，，或，故選C【點睛】本題考查利用坐標法求向量差及根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關系求參數(shù)4、A【解析】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，然后利用復數(shù)相等的性質(zhì)列方程求解即可.詳解：因為，所以，解得，故選A.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.5、A【解析】

計算長方形面積，利用定積分計算陰影部分面積，由面積測度的幾何概型計算概率即可.【詳解】由已知易得：，由面積測度的幾何概型：質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域外的概率故選：A【點睛】本題考查了面積測度的幾何概型，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.6、A【解析】

利用條件概率的計算公式即可得出．【詳解】設事件A表示某地四月份吹東風，事件B表示四月份下雨．根據(jù)條件概率計算公式可得在吹東風的條件下下雨的概率P(B|A)=8故選：A【點睛】本題主要考查條件概率的計算，正確理解條件概率的意義及其計算公式是解題的關鍵，屬于基礎題.7、C【解析】

由純虛數(shù)的定義和三角恒等式可求得，根據(jù)二倍角公式求得；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可求得結果.【詳解】為純虛數(shù)，，即，，，，對應點的坐標為，位于第二象限.則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限故選：.【點睛】本題考查復數(shù)對應點的坐標的問題的求解，涉及到同角三角函數(shù)值的求解、二倍角公式的應用、復數(shù)的幾何意義等知識.8、C【解析】分析：根據(jù)向量的運算，化簡，由向量的數(shù)量積定義即可求得模長．詳解：平面向量數(shù)量積，所以所以選C點睛：本題考查了向量的數(shù)量積及其模長的求法，關鍵是理解向量運算的原理，是基礎題．9、D【解析】分析：帶特殊值驗證即可詳解：排除A,B．排除C．故選D點睛：帶特殊值是比較大小的常見方法之一．10、B【解析】

根據(jù)，得到正態(tài)分布圖象的對稱軸為，根據(jù)在內(nèi)取值的概率為0.3，利用在對稱軸為右側的概率為0.5，即可得出答案．【詳解】∵測量結果，∴正態(tài)分布圖象的對稱軸為，∵在內(nèi)取值的概率為0.3，∴隨機變量在上取值的概率為，故選B．【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、概率的基本性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．11、C【解析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口超過輛的概率，這三個收費口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實際應用，屬于中檔題.有關正態(tài)分布的應用題考查知識點較為清晰，只要掌握以下兩點，問題就能迎刃而解：（1）仔細閱讀，將實際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對稱性以及各個區(qū)間概率之間的關系.12、D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“?n∈N*,fn∈N故選D.考點：命題的否定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用二項式定理展開式，令可得出答案．【詳解】的展開式的第項為，故答案為．【點睛】本題考查二項式指定項，解題時充分利用二項式定理展開式，考查計算能力，屬于基礎題．14、2x-3y+1=0【解析】

先計算f'(1)=23【詳解】f(x)=1f(x)=切線方程為：y=2故答案為：2x-3y+1=0【點睛】本題考查了曲線的切線問題，確定切點是解題的關鍵.15、2【解析】

根據(jù)方差的性質(zhì)運算即可.【詳解】由題意知：本題正確結果：【點睛】本題考查方差的運算性質(zhì)，屬于基礎題.16、8【解析】分析：根據(jù)三角形的面積公式求解即可．詳解：根據(jù)三角形的面積公式，三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列故，，所以點睛：三角形的面積公式，和向量的內(nèi)積公式的角度一樣，邊長就是兩個向量的模，故整體替換相互轉(zhuǎn)化．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析.(2).【解析】分析：（1）證，.即可由線面垂的判定定理得出結論；（2）通過建系，分別求出面DSC和面SCA的法向量，進行計算，觀察圖中二面角的范圍得出余弦值的符號（1）證明：因為平面平面，平面平面，且，所以平面，所以.又因為，，所以，即.因為，且平面，所以平面.（2）解：如圖，建立空間直角坐標系，令，則，，，，.易得，，.設為平面的一個法向量，則，取，則，，所以.又因為為平面的一個法向量，所以.所以二面角的余弦值為.點晴：空間立體是高考必考的解答題之一，在做這類題目時，正面題大家需要注意書寫的步驟分，判定定理的必要點必須要有；另外在求角等問題時我們可以利用向量法進行解決問題，注意角的范圍問題．18、(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)2.【解析】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導數(shù)，，分類討論，確定和時函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時，條件下求參數(shù)問題.由（1）可知：①當時在上單調(diào)遞增，且，即成立；②時，即，分析情況同①；③時，即，，構造關于的新函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點位置，而；綜上得的最大整數(shù)值為.詳解：解：（1）函數(shù)的定義域為．，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當時在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，滿足題意.由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，即，在上單調(diào)遞增，所以當時，，滿足題意.若，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即令，，在上單調(diào)遞減，又，，在上存在唯一零點，綜上所述，的取值范圍為，故的最大整數(shù)值為.點睛：本題考查利用導數(shù)分析含參函數(shù)單調(diào)性，應用函數(shù)的單調(diào)性求恒成立問題的參數(shù)，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和構造函數(shù)法，是一道綜合題.導函數(shù)為二次函數(shù)的含參函數(shù)的單調(diào)性分類討論步驟：（1）求定義域.（2）討論導數(shù)的最高項系數(shù)，若最高項系數(shù)含有參數(shù)則需分等于零和不等于零進行討論；若最高項系數(shù)不含參數(shù)則此步略.（3），再結合二次項系數(shù)的正負，確定函數(shù)單調(diào)性;（4），即有兩個零點和，討論兩個零點的大小及其與函數(shù)定義域的關系，再結合二次項系數(shù)分解出各單調(diào)區(qū)間，明確單調(diào)性.（5）將分類討論的情況進行總結.19、（1）最大值是，最小值為1．（2）【解析】

（1）記的導函數(shù)的導數(shù)為，分析可得，結合，可得在R上是增函數(shù)，再，可得在上是增函數(shù)，即得解；（2）分，，三種情況分析的單調(diào)性，繼而分析的最小值，即得解.【詳解】（1）為表述簡單起見，記的導函數(shù)的導數(shù)為．當時，，則．，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當時，，所以在上是增函數(shù)．故在上的最大值是，最小值為．（2），．①若，即時，，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當時，，所以在上是增函數(shù)．所以當時，．可見，當，．又是偶函數(shù)，所以恒成立．所以符合題意．②若，即時，，所以在R上是減函數(shù)．所以當時，，所以在上是減函數(shù)．所以當時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．③當時，．由，得．由的圖象，知存在唯一的，使得．當時，．所以在上是減函數(shù)．所以當時，，所以在上是減函數(shù)．所以當時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．綜上，a的取值范圍是．【點睛】本題考查了函數(shù)與導數(shù)綜合，考查了二次求導，含參函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.20、.【解析】

先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可【詳解】∵冪函數(shù)f（x）經(jīng)過點（2，），∴=，即=∴m2+m=2．解得m=2或m=﹣2．又∵m∈N*，∴m=2．∴f（x）=，則函數(shù)的定義域為[0，+∞），并且在定義域上為增函數(shù)．由f（2﹣a）＞f（a﹣2）得解得2≤a＜．∴a的取值范圍為[2，）．【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式組的解法，屬于基礎題．21、(I)(II)【解析】

(I)對函數(shù)進行求導，求出導函數(shù)小于零時，的取值范圍即可。(II)利用導數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間，結合（1），判斷當時，函數(shù)的單調(diào)性，然后求出最值?！驹斀狻拷?(I)由函數(shù),求導當,解得即的減區(qū)間(II)當,解得即在上