大數(shù)定律與中心極限定理

大數(shù)定律與中心極限定理第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一§4.1

特征函數(shù)特征函數(shù)是處理概率論問題的有力工具，其作用在于：可將卷積運算化成乘法運算；可將求各階矩的積分運算化成微分運算；可將求隨機變量序列的極限分布化成一般的函數(shù)極限問題；……….第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.1.1

特征函數(shù)的定義定義4.1.1

設X是一隨機變量，稱

(t)=E(eitX)

為X的特征函數(shù).(必定存在)注意：是虛數(shù)單位.第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一注意點(1)(1)當X為離散隨機變量時，(2)當X為連續(xù)隨機變量時，這是p(x)的傅里葉變換第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一特征函數(shù)的計算中用到復變函數(shù)，為此注意：注意點(2)(1)

歐拉公式：(2)

復數(shù)的共軛：(3)復數(shù)的模：第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一

性質4.1.1

4.1.2

特征函數(shù)的性質|(t)|(0)=1

性質4.1.2

性質4.1.3

性質4.1.4

若X與Y獨立，則

性質4.1.5

第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一

定理4.1.1

特征函數(shù)的定理一致連續(xù)性.

定理4.1.2

定理4.1.3

定理4.1.4

唯一性.

定理4.1.5

非負定性.逆轉公式.連續(xù)場合，第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一§4.2

大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義；給出幾種大數(shù)定律：伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.2.1

伯努利大數(shù)定律定理4.2.1（伯努利大數(shù)定律）設n

是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中P(A)=p,則對任意的

>0，有第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.2.2

常用的幾個大數(shù)定律

大數(shù)定律一般形式：

若隨機變量序列{Xn}滿足：則稱{Xn}服從大數(shù)定律.第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一切比雪夫大數(shù)定律

定理4.2.2{Xn}兩兩不相關，且Xn方差存在，有共同的上界，則{Xn}服從大數(shù)定律.證明用到切比雪夫不等式.第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3若隨機變量序列{Xn}滿足：則{Xn}服從大數(shù)定律.(馬爾可夫條件)第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一辛欽大數(shù)定律

定理4.2.4若隨機變量序列{Xn}獨立同分布，且Xn的數(shù)學期望存在。則{Xn}服從大數(shù)定律.第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一(1)伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.注意點(2)切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.(3)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一§4.3

隨機變量序列的兩種收斂性兩種收斂性：

i)依概率收斂：用于大數(shù)定律；

ii)按分布收斂：用于中心極限定理.第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.3.1

依概率收斂定義4.3.1(依概率收斂)大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.若對任意的>0，有則稱隨機變量序列{Yn}依概率收斂于Y,記為第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一依概率收斂的性質定理4.3.1

若則{Xn}與{Yn}的加、減、乘、除依概率收斂到a

與b

的加、減、乘、除.第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.3.2

按分布收斂、弱收斂對分布函數(shù)列{Fn(x)}而言，點點收斂要求太高.定義4.3.2

若在F(x)的連續(xù)點上都有則稱{Fn(x)}弱收斂于

F(x)，記為相應記按分布收斂第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一依概率收斂與按分布收斂的關系定理4.3.2

定理4.3.3

第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.3.3

判斷弱收斂的方法定理4.3.4

第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一辛欽大數(shù)定律的證明思路欲證:

只須證：

第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一§4.4

中心極限定理

討論獨立隨機變量和的極限分布,

本指出極限分布為正態(tài)分布.4.4.1

獨立隨機變量和設{Xn}為獨立隨機變量序列，記其和為第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.4.2

獨立同分布下的中心極限定理定理4.4.1

林德貝格—勒維中心極限定理設{Xn}為獨立同分布隨機變量序列，數(shù)學期望為,方差為2>0，則當n

充分大時，有應用之例:正態(tài)隨機數(shù)的產(chǎn)生；

誤差分析第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一例4.4.1

每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為100克，標準差為10克.一箱內裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一例4.4.2

設X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨立同分布，且E(Xi)

=9.62，Var(Xi)

=0.82，故=0.99979第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.4.3

二項分布的正態(tài)近似定理4.4.2

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設n

為服從二項分布b(n,p)的隨機變量，則當n

充分大時，有是林德貝格—勒維中心極限定理的特例.第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一二項分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項分布的近似時，可作如下修正：注意點(1)第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一中心極限定理的應用有三大類：

注意點(2)

ii)已知n

和概率，求y

；

iii)已知y

和概率，求n.i)已知n

和y，求概率；

第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一一、給定n和y，求概率例4.4.3100個獨立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E(Y)=90，Var(Y)=9.第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一二、給定n和概率，求y例4.4.4有200臺獨立工作(工作的概率為0.7)的機床，每臺機床工作時需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?解：用設供電量為y,則從Xi=1表示第i臺機床正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X200，則E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一三、給定y

和概率，求n例4.4.5用調查對象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調查多少對象？解：用根據(jù)題意Yn表示n

個調查對象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Yn服從b(n,p)分布，k為Yn的實際取值。又由可解得n=271第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一例4.4.6

設每顆炮彈命中目標的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設X

表示命中的炮彈數(shù),則X~b(500,0.01)＝0.17635(2)應用正態(tài)逼近:P(X=5)=P(4.5<X<5.5)=0.1742第32頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一4.4.4

獨立不同分布下的中心極限定理定理4.4.3

林德貝格中心極限定理設{Xn}為獨立隨機變量序列，若任對

>0，有林德貝格條件則第33頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一李雅普諾夫中心極限定理定理4.4.4

李雅普諾夫中心極限定理設{Xn}為獨立隨機變量序列，若存在

>0，