挖真題價值 探解題策略 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選挖真題價值探解題策略摘要：“函數”是初中階段數與代數領域的三大主題之一，是學生理解數學符號，以及感悟用數學符號表達事物性質、關系和規(guī)律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數學語言表達現(xiàn)實世界的重要載體?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》中關于二次函數領域的課程內容要求有:會通過分析實際問題情境確定二次函數的表達式，體會二次函數的意義；會用配方法將數字系數的二次函數表達式化為頂點式形式，能由此得出二次函數圖象的頂點坐標，得出二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，解決簡單的實際問題。 關鍵詞：二次函數的應用，數學模型，配方法，最大值

引言：中考試題是命題者精心打磨的作品，具有典型性、針對性，研究并挖掘其蘊含的價值是一件重要且有意義的事。通過四天的閱卷工作，筆者完成了2022年合肥市中考數學第23題近萬份的閱卷任務，感觸頗深。本文以2022年安徽省初中學業(yè)水平考試第23題為例，以《義務教育課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》為依托，探究二次函數的綜合應用問題，形成解決此類問題的一般思路，發(fā)揮此題的最大功效，有效提升學生的綜合應用能力。一、原題呈現(xiàn)如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米。以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米。E是拋物線的頂點。（1）求此拋物線對應的函數表達式； （2）在隧道截面內（含邊界）修建“ ”型或“ ”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點1P，4P在x軸上，MN與矩形PPPP1 2 3 4的一邊平行且相等。柵欄總長為圖中粗線段PP1 2，PP2 3，PP3 4，MN長度之和．請解決以下問題：（ⅰ）修建一個“ ”型柵欄，如圖2，點2P，3P在拋物線AED上。設點1P的橫坐標為m(0<m￡6)，求柵欄總長與m之間的函數表達式和的最大值；（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“ ”型或“ ”型兩12022年安徽省中小學教育教學論文評選種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形PPPP1 2 3 4面積的最大值，及取最大值時點1P的橫坐標的取值范圍（1P在4P右側）。二、試題分析本題是2022年安徽省中考試題第23題，與往年安徽省壓軸題命制不同的是，今年的壓軸題是一道二次函數應用題，題目有較強的實際應用價值，要求考生具有利用函數模型分析問題和解決問題的能力。本題主要考查二次函數解析式的求法、通過分析實際問題的情境確定二次函數的表達式、求二次函數最大值或最小值以及函數綜合應用等。主要考查學生代數運算能力、函數綜合應用能力和數形結合等思想。本題共兩小題、三小問。第（1）題和第（2）題的（i）問難度不大，但第（2）題的(ii)問有一定難度和區(qū)分度。（1）問考查了用待定系數法求二次函數解析式，比較基礎簡單。（2）問考查了在實際情境中列二次函數關系式、用配方法或用公式求二次函數最值以及取值范圍的判斷，考查問題綜合而全面。并且（i）(ii)兩問既有聯(lián)系又有區(qū)別，難度逐層遞進，需要考生仔細審題，認真思考辨別。其中（i）問已知條件兩點PP2 3在拋物線上，自變量是點1P的橫坐標，因變量是柵欄總長度，需要用坐標去表示長度，進而求長度的最值；（ii）問給定了柵欄的總長度，并且給出了兩種符合實際的設計方案供考生選擇，比較靈活多樣。但此時已知條件中未給出兩點PP2 3在拋物線上，因變量是矩形面積，沒有給出自變量，考生可以自行選擇合適的自變量，可以設坐標表示面積也可以設長度去表示面積。在列出相應的函數關系式求出面積的最值后還要根據“柵欄要在隧道內部”這一事實求出題目要求的點1P橫坐標的取值范圍。三、解法分析1.第（1）問解法展示：22022年安徽省中小學教育教學論文評選思路1設頂點式解法1設拋物線對應的函數表達式為y=ax2+c，由題意知E(8,0),D(2,6)在拋物線上，故c,836a82,解得a1,c8.所以拋物線對應的函數表達式為y1x2866思路2設一般式E解法2設拋物線對應的函數表達式為yax2bxc，由題意知,解得(8,0),D(2,6)，A2,6在拋物線上，故c=8,36a+6b+=2,36a-6b+=2a1,b,0c8.所以拋物線對應的函數表達式為y1x28.66思路3設交點式經過平移后的形式解法3設拋物線對應的函數表達式為ya（x6）x6)2，由題意知E(8,0)在拋物線上，故-36a28，解得a1.所以拋物線對應的函數表達式為y1x28.662.第（2）問(i)解法展示：由題意知P坐標為m,1m28

，所以lPP3P1P2m31m28

，即所262326求函數表達式為l1m22m240m6，配方得l=-1(m-2)

2+260(<m￡6)，22于是當m2,取得最大值26.注：本題也可不配方，直接用公式求拋物線的對稱軸進而求出二次函數最值。3.第（2）問(ii)

方案一解法展示：圖4方案一示意圖思路1設豎直長度

32022年安徽省中小學教育教學論文評選解法1設P1P2h，則P1P4183h，于是面積Sh(183h)-3h218h,配方得S3(h3)227，所以當h3時，S取得最大值27。此時P1P2,3P1P49.在函數y1x28中令y3，解得x30.因為30309，所以30為點P橫坐標61的最大值，30為點4P橫坐標的最小值,所以點1P橫坐標的取值范圍是930x30.思路2設水平長度解法2設PPa，則 18-aPP=1 2

3，于是面積S18aa1a26a，配方得S14331

（a39）227，所以當a9時，S取得最大值27，此時P1P49，P1P2.3下同法1。思路3同時設豎直和水平長度解法3設P1P2a,P2P3b，則3ab18，3a)3a218a.下同法1。于是面積Saba(18思路4設點坐標解法4設P2(a,b)，則P1P2，P2P318-3b.27.下同法1。于是面積Sb(183b)3b218b3b3方案二解法展示：42022年安徽省中小學教育教學論文評選圖5方案二示意圖思路1設豎直長度解法1設P1P2h，則P1P41

（1822h）9h，于是面積Sh(9h)-h29h,配方得S(h9)281，所以當h1時，S取得最大值81.此時P1P2P3P49.在函數24242y1x28中令y9，解得x21.因為21212,所以21為點1P橫坐標62的最大值，21為點4P橫坐標的最小值,所以點1P橫坐標的取值范圍是921x21.2思路2設水平長度、思路3同時設豎直和水平長度、思路4設點坐標同方案一可得。四、典型錯誤分析1.在第（1）問中，在解方程36a82時，將a誤算成了-6；2.在第（1）問中，將拋物線解析式設成錯誤形式：ya(x6)(x6)；3.在第（2）問（i）中，對于“粗線段”審題不清，將P1P4也計算在內，或者漏加了粗線段MN的長度；4.在第（2）問（i）中，得到函數表達式l1m22m240m6后配方錯誤，2導致最值求錯；5.在第（2）問（ii）中，誤把點N當做線段P2P3（P1P2）的中點，用特殊情況計算，不具有一般性；沒有用不等式或者文字語言說明柵欄在隧道截面內（含邊界）,如：因為30309，所以30為點1P橫坐標的最大值，30為點4P橫坐標的最小值；6.在第（2）問（ii）中，忽略“含邊界”，導致最后橫坐標的范圍未加等號，如寫成：9-30<<30。五、教學思考1.數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應當具備的基本素養(yǎng)。數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能。根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》中確52022年安徽省中小學教育教學論文評選立的核心素養(yǎng)導向的課程目標：以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向，進一步強調學生“四基”的獲得與發(fā)展、“四能”的發(fā)展與運用，形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。數學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)，主要包括以下三個方面：會用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）。同時這也是數學教育的終極目標。2.積極促進信息技術與數學課程的融合。合理利用現(xiàn)代信息技術，提供豐富的學習資源，設計生動的教學活動，改進教學方式，促進學生學習方式轉變。如在二次函數的課堂教學中，可通過《幾何畫板》軟件來研究函數圖象，形象直觀，同時《幾何畫板》的數學功能可以直接顯示參數a,h,k值變化時函數圖象的變化情況，從而清楚地發(fā)現(xiàn)二次函數的性質，這樣會大大激發(fā)學生的求知欲和學習熱情，并感受到用計算機解決實際問題的優(yōu)勢。3.“函數”是初中階段數與代數領域的三大主題之一，是學生理解數學符號，以及感悟用數學符號表達事物性質、關系和規(guī)律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數學語言表達現(xiàn)實世界的重要載體。在函數的教學中，要通過對現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義；會用函數表達現(xiàn)實世界事物的簡單規(guī)律，經歷用數學語言表達現(xiàn)實世界的過程，提升學習數學的興趣，進一步發(fā)展應用意識。按教材的編排方式，函數的學習是從問題中來到問題中去的過程。這也體現(xiàn)了數學理論來源于實際又反過來服務實際。教學中要引導學生審清題意，仔細分析問題，經歷探索解決實際問題的過程，體會二次函數是解決最優(yōu)化問題的數學模型之一，進一步獲得利用數學方法解決實際問題的經驗，感受數學模型的思想和數學的應用價值。4.重視學生運算能力的培養(yǎng)，從七年級開始就要狠抓計算，尤其是七下，要通過設置科學有效的計算練習等鞏固運算。形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度。本次閱卷中遇到書寫工整規(guī)范的試卷寥寥無幾。教師在平時的作業(yè)、練習中就要強調學