古巴比倫古埃及數(shù)學(xué)

第二章初等數(shù)學(xué)史簡介一、序：四點說明二、萌芽時期〔古巴比倫，古埃及數(shù)學(xué)〕三、古希臘數(shù)學(xué)四、中國古代數(shù)學(xué)1一、序1.為什么學(xué)習(xí)要數(shù)學(xué)史〔開課動機〕2.數(shù)學(xué)史研究什么？3.數(shù)學(xué)史的時期劃分4.特別強調(diào)：“吾愛吾師，吾尤愛真理〞！21.為什么學(xué)習(xí)要數(shù)學(xué)史〔3點〕？——J.H.Poincaré(1854-1912)

如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。2〕數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)研究的意義1〕中國古代數(shù)學(xué)上哪些“世界第一〞是真實的？16世紀(jì)以前中華文明在很多方面無疑是領(lǐng)先世界的?！皭蹏髁x〞教育也一直告訴我們，在數(shù)學(xué)方面也經(jīng)常有人宣稱我們有多少個“世界第一〞。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，想讓同學(xué)們明白，哪些“世界第一〞是真實的。3當(dāng)代按邏輯與教育規(guī)律編寫數(shù)學(xué)書籍掩蓋了數(shù)學(xué)開展的不合邏輯性，掩蓋了直覺思維在數(shù)學(xué)研究中的作用，掩蓋了各種文明的相互影響，掩蓋了那些當(dāng)時被淘汰了的但也許有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補這方面缺乏的最好途徑就是通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)。

通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，我們一定不會再去證明三等分一個角，也一定不會再去尋找高次方程的求根公式，也一定不會再講數(shù)學(xué)是真理等幼稚的話。

數(shù)學(xué)是一門累積性，延續(xù)性特強的知識體系。研究數(shù)學(xué)史能為我們今天的研究提供研究方向，方法和教訓(xùn)。43〕數(shù)學(xué)史對文化修養(yǎng)的意義通過數(shù)學(xué)史的研究，可以了解數(shù)學(xué)的曲折開展，了解數(shù)學(xué)家們的許多優(yōu)秀的人格品質(zhì)，培養(yǎng)我們的科學(xué)精神，提高我們的美學(xué)修養(yǎng).增進(jìn)我們的人格開展。通過數(shù)學(xué)史的研究，可以了解數(shù)學(xué)的人文價值，了解中華文化的偉大，了解我們曾經(jīng)擁有〔止于15世紀(jì)〕的輝煌，了解我們從小受到的數(shù)學(xué)史教育有多少是真實的。在增強我們的民族自尊心的同時，也培養(yǎng)我們的理性精神。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學(xué)家，但它產(chǎn)生更溫雅的數(shù)學(xué)家，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們高雅的質(zhì)量?！獑讨?薩頓〔GeorgeSarton，美，1884-1956)52.數(shù)學(xué)史研究什么？數(shù)學(xué)史就是關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)生、開展的歷史。研究數(shù)學(xué)史，就是要研究數(shù)學(xué)的發(fā)生，開展規(guī)律及數(shù)學(xué)與其它人類文明之間相互關(guān)系。63.數(shù)學(xué)史的時期劃分1萌芽時期〔公元前6世紀(jì)〕2、初等數(shù)學(xué)時期〔公元前6世紀(jì)－16世紀(jì)〕3、近代數(shù)學(xué)時期〔17世紀(jì)－18世紀(jì)〕4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期〔1820年至今〕

由于課時關(guān)系，我們只簡單介紹前兩點。即初等數(shù)學(xué)簡史。74.特別強調(diào)：“吾愛吾師，吾尤愛真理〞！誰也不能防止戴“有色眼鏡〞看待事物，但是我們應(yīng)當(dāng)努力使顏色淺些！另一方面，因為假象太多！面對歷史，第一重要的是真實，我們應(yīng)當(dāng)重新審視我們的是非觀念，無論什么原因，都不能置事實是于不顧。除非理由充足，別輕信任何結(jié)論！！！注：雖然本人已經(jīng)很盡力，選擇材料上多方比較，力求合理性，大原那么真實。但依然不敢保證材料全部真實！除了自己學(xué)識有限外，還有如下理由如下：在中國，就算是?史記?這樣的正規(guī)書籍，也有很多虛假的記載，何況為了教化，利用假托法，夸大或者無中生有的編造歷史的是沒法羅列。就算是考古，近年來，披露的考古丑聞時有發(fā)生……有時我們真要問自己，我們深信不疑的“事實〞有多少真實？整個歷史記載，都有很大不確定性。國外的書也同樣有很多質(zhì)疑之處。，但他們的“專家〞不等于政府，不等于商人。就整體而言，他們更有學(xué)術(shù)良知。本人比較自信的是自己的數(shù)學(xué)史選材，因為學(xué)數(shù)學(xué)的大師們，老實的應(yīng)當(dāng)多些〔專業(yè)使然〕。8二、萌芽時期的數(shù)學(xué)(公元前6世紀(jì))主要研究時期：一、古巴比倫〔.)二、古埃及〔.:埃及統(tǒng)一，332B.C.:亞歷山大征服古埃及—A:阿拉伯人征服埃及〕萌芽時期主要指古巴比倫時期，古埃及時期。數(shù)學(xué)方面的史料來源主要是：古巴比倫泥板〔..〕，古埃及紙草文書：萊茵德紙草文書〔〕與莫斯科紙草文書〔1890B.C〕.注：利用碳14斷定,第一塊泥板為.所寫9101.古巴比倫簡介底格里斯河與幼發(fā)拉底河所灌溉的美索不達(dá)米亞〔即兩河之間〕平原，也是人類文明的發(fā)祥地之一。早在公元前六千年，蘇美爾人就在這里建立起城邦國家，至少在元前4000年創(chuàng)造了文字，元前3500年建立了歷史上最早的奴隸制。令人驚訝的是兩河流域在錯綜復(fù)雜的民族戰(zhàn)亂中卻維系著高度統(tǒng)一的文化，史稱“美索不達(dá)米亞文明〞，契形文字的使用可能是這種文化統(tǒng)一的粘合劑。

公元前6世紀(jì)中葉,波斯國家逐漸興起,并于538B.C.年滅亡了新巴比倫王國.

兩河流域的居民用尖蘆管在濕泥板上刻寫楔形文字，然后將泥板曬干或烘干。迄今已有約50萬塊泥板文書出土。對楔形文字的釋讀，對巴比倫文化的了解較晚，關(guān)鍵的一步是在19世紀(jì)中葉對貝希斯頓銘文的破譯邁出的。111835年，英國東方學(xué)家羅林生(1810-1895年)看到了這組雕塑，他發(fā)生了濃厚的興趣，他花了近一年的功夫，釋讀了貝希斯敦石崖上的碑文(為古波斯文、古巴比倫文和新埃蘭文)。將銘文制成拓本。1843年再來拓取石刻上其余銘文的摹本。貝希斯頓銘文位于今伊朗克爾曼沙赫以東32千米的貝希斯頓村附近，在通往德黑蘭的大道旁邊離地150米的大巖石上，它高4米，寬20米。公元前520年，波斯國王大流士一世為了紀(jì)念他平定內(nèi)亂和重振帝國雄風(fēng)的赫赫戰(zhàn)功，重申他繼位的合法性和君權(quán)神授思想，下令在巖石上刻上他親自寫的銘文，銘文用三種楔形文字，即古波斯文、新埃蘭文、巴比倫文。在長達(dá)16年努力之后，他不僅完成了這篇3種語言書寫的銘文的全譯文，還成功破譯出約150個楔形文字符號的讀音，500個單詞和數(shù)十個專有名詞，最終與其他學(xué)者共同將兩河流域最古老的蘇美爾人創(chuàng)立的楔形文字釋讀成功。對泥版書中數(shù)學(xué)局部的釋讀到20世紀(jì)三、四十年代才取得突破。12巴比倫〔巴別〕塔？13這座塔的規(guī)模十分宏大。公元前460年，即塔建成150年后，古希臘歷史學(xué)家希羅多德游覽巴比倫城時，對這座已經(jīng)受損的塔仍是青睞有加。根據(jù)他的記載，通天塔建在許多層巨大的高臺上，這些高臺共有8層，愈高愈小，最上面的高臺上建有馬爾杜克神廟。墻的外沿建有螺旋形的階梯，可以繞塔而上，直達(dá)塔頂；塔梯的中腰設(shè)有座位，可供歇息。塔基每邊長大約90米，塔高約90米。據(jù)19世紀(jì)末期的考古學(xué)家科爾德維實際的測量和推算，塔基邊長約96米，塔和廟的總高度也是約96米，兩者相差無幾?！鞍蛣e〞塔是當(dāng)時巴比倫國內(nèi)最高的建筑，在國內(nèi)的任何地方都能看到它，人們稱它“通天塔〞。也有人稱它是天上諸神前往凡間住所途中的踏腳處，是天路的“驛站〞或“旅店〞。波斯人薛西斯下令消滅了新巴比倫城。巴別塔隨之消滅.現(xiàn)在只留下殘痕。14巴別塔故事的深刻寓意1.人類多民族的來歷(古人的自圓其說〕。2.語言對于人類的重要性語言不僅僅是人類思想，情感交流的工具，它也是一個人類文化的積淀與傳播的載體。民族語言的衰亡，對應(yīng)著民族文化的衰忘。如中文的興衰史，也是中華文化的興衰史。巴別塔文化現(xiàn)象〔一種文化現(xiàn)象〕：文化革命中的文娛節(jié)目只有八個樣板戲，媒體只有兩報一刊，全民只搞階級斗爭，所有美好的文化都定性為封資修被去除。這樣的后果直接影響到今天的中國。幸好我們還有了雜音，終于知道了共產(chǎn)主義不是唯一。當(dāng)代隨意，雜亂的網(wǎng)絡(luò)語言，也讓我們是思想變得淺薄與隨意。3.警示人類狂妄自大最終只會落得混亂的結(jié)局“人定勝天〞的狂妄換來的是沉重的代價，今天我們終于知道人只是宇宙中的一員，人類的智慧永遠(yuǎn)是殘缺的.文明史告訴我們要有自知自明。4.“一與多〞的辯證關(guān)系。語言是文化的載體，民族語言一定不能消亡嗎？這是一個迷人的話題。15古代七大奇跡之一：空中花園

——尼布甲尼撒二世〔公元前604－前562年〕161901年法國考古隊在伊朗發(fā)現(xiàn)的?漢漠拉比法典?是目前所知的世界上現(xiàn)存最完整的第一部比較完整的成文法典〔始于〕，比較全面地反映了古巴比倫社會的情況。盧浮宮內(nèi)的漢謨拉比法典法典分為序言、正文和結(jié)語三局部。正文共有282條，內(nèi)容包括訴訟程序、保護(hù)私產(chǎn)、租佃、債務(wù)、高利貸和婚姻家庭等。它刻在一根高米，上周長米，底部周長米的黑色玄武巖柱上，共3500行，是漢謨拉比為了向神明顯示自己的功績而纂集的。為后人研究古巴比倫社會經(jīng)濟(jì)關(guān)系和西亞法律史提供了珍貴材料。注：?烏爾納姆法典?是歷史上最早的一部成文法典。是古代西亞烏爾第三王朝〔約〕創(chuàng)始者烏爾納姆公布的。這部法典只剩殘片。17普林頓322〔哥倫比亞大學(xué)普林頓收藏館〕現(xiàn)存約50萬塊泥板文書中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。它們主要分屬兩個相隔遙遠(yuǎn)的時期：有一大批是公元前兩千年頭幾個世紀(jì)〔古巴比倫王國時代〕的遺物，還有許多泥板文書那么來自公元前一千年的后半期〔新巴比倫王國和波斯塞琉古時代〕，對這些泥板文書的研究揭示了一個遠(yuǎn)比古埃及人先進(jìn)的美索不達(dá)米亞早期數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)史料來源〔文獻(xiàn)〕18對于大于59的數(shù)，那么采用六十進(jìn)制的位制記法。同一個記號(只用一個符號〕，根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對位置而賦予不同的值，這種位值原理是美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)的一項突出成就。位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留空。

古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來實現(xiàn)的。例如59記作（一個符號表達(dá)所有數(shù)字）。算術(shù)上：其中的倒數(shù)表一直計算到60的19次冪這樣大數(shù)的倒數(shù)。巴比倫人書寫數(shù)字的方法，更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制〔60進(jìn)制，簡單十進(jìn)累記法〕，希臘人、歐洲人直到16世紀(jì)亦將這系統(tǒng)運用于數(shù)學(xué)計算和天文學(xué)計算中，直至現(xiàn)在60進(jìn)制仍被應(yīng)用于角度、時間等記錄上。19

例如這一寫法中，右邊的表示兩個單位；中間的表示基數(shù)（60）的2倍；而左邊的則表示基數(shù)（60）的平方的2倍，因此這個數(shù)字是指，用十進(jìn)制寫出來就是7322。

這種位值制是不徹底的，因為其中沒有零號。人們只能根據(jù)上、下文來消除二義性。不過在公元前3世紀(jì)的泥板文書中開始出現(xiàn)一個專門的記號，用來表示沒有數(shù)字的空位。這記號是由兩個斜置的小楔形組成。有了這個空位記號，人們就很容易將數(shù)區(qū)別開來。只需要用表示即可。20

因為在現(xiàn)存的泥板文書中沒有發(fā)現(xiàn)零號置于尾端的情形。因此，這個記號仍然可以表示數(shù)

的無限多個數(shù)中的任何一個。巴比倫人從未實施過絕對的位值制。

巴比倫人巧妙地將位值原理推廣應(yīng)用到整數(shù)以外的分?jǐn)?shù)。這就是說不僅表示同時也可以表示

以及其他取相似形式的分?jǐn)?shù)。因此，美索不達(dá)米亞人對分?jǐn)?shù)能夠跟對整數(shù)一樣運算自如。21巴比倫人長于計算，已經(jīng)有了利用插入平均值逼近計算2的算術(shù)根的方法。耶魯大學(xué)收藏的一塊古巴比倫泥板〔編號7289〕，其上載有2的算術(shù)根的近似值，結(jié)果準(zhǔn)確到六十進(jìn)制三位小數(shù)，用現(xiàn)代符號寫出來是1.414213，是相當(dāng)精確的逼近。巴比倫人還經(jīng)常利用各種數(shù)表來進(jìn)行計算，使計算更加簡捷。例如，他們做除法是采用了將被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)這一途徑，倒數(shù)那么通過查表而得。在現(xiàn)有的300多塊數(shù)學(xué)泥板文書中，就有200多塊是數(shù)學(xué)用表，包括乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至還有指數(shù)〔對數(shù)〕表。巴比倫人進(jìn)行過17位60進(jìn)制數(shù)的計算。22

巴比倫人有豐富的代數(shù)知識，許多泥書板中載有一次和二次方程的問題，他們解二次方程的過程與今天的配方法、公式法一致。此外，他們還討論了某些三次方程和含多個未知量的線性方程組問題。代數(shù)上：

例

設(shè)利率為百分之二十，何時才能使本利和為本金的2倍？BM(即大不列顛博物館〕13901，公元前1700年以前23例如，耶魯大學(xué)收藏的一塊泥板文書中有這樣的問題：依幾布姆(igibum)比依古姆(igum)大7。問依幾布姆和依古姆各為多少？這里igibum和igum是古巴比倫數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中表示互為倒數(shù)的兩數(shù)的專有術(shù)語，在十進(jìn)制中那么相當(dāng)于乘積為六十之冪的兩個數(shù)。假設(shè)以x表示igibum，y表示igum，那么該題相當(dāng)于求解方程組這又相當(dāng)于先求解一個一元二次方程：題中給出的算法相當(dāng)于:24

古巴比倫人沒有留下解三次方程的紀(jì)錄，卻不乏三次方程的例子。主要是通過查立方表或立方根表來求解。

混合三次方程也是籍現(xiàn)成的表來求解?，F(xiàn)在的“韋達(dá)定理〞在古巴比倫已經(jīng)出現(xiàn)，由于“約定成俗〞的原因，未改名。25

巴比倫人的幾何也是與測量等實際問題相聯(lián)系的數(shù)值計算。

巴比倫學(xué)者以掌握三角形、梯形等平面圖形和棱柱、平截頭方錐等一些立體圖形體積的公式。他們還知道并利用圖形的相似性概念。

在美索不達(dá)米亞河谷地區(qū)，圓面積通常被取作半徑平方的三倍，也就是說取圓周率為3，其精確度自然在埃及人之下。但也有學(xué)者采用三又八分之一作為圓周率的近似值，與埃及人至少是旗鼓相當(dāng)。幾何上：至少在公元前1600年巴比倫人就已經(jīng)熟悉了“畢達(dá)哥拉斯定理〞。詳情后述。26寫成公元前1600年以前的普林頓322號顯示出右側(cè)表格：幾何上——畢達(dá)哥拉斯定理27

1945年，美籍德國學(xué)者諾依格包爾首先揭示了普林頓322的數(shù)論意義。

根據(jù)諾依格包爾等人的研究，普林頓322數(shù)表與所謂“整勾股數(shù)”有關(guān)。滿足關(guān)系式

的一組整數(shù)（a,b,c)叫整勾股數(shù)，西方文獻(xiàn)中也成“畢達(dá)哥拉斯數(shù)”。計算說明：普林頓322數(shù)表第Ⅱ、Ⅲ列的相應(yīng)數(shù)字，恰好構(gòu)成了畢達(dá)哥拉斯三角形中的斜邊c與直角邊b。如第一行c=2,49,b=1,59，在十進(jìn)制下，c=169,b=119易見c2-b2=1202只有四處例外，即第2，9，14，15行。諾依格包爾將它們解釋為某種筆誤，并將表中相應(yīng)行中帶*的數(shù)字(3,12,1)、(9,1)、(7,12,1)和53分別修正為(1,20,25)、(8,1)、(2,41)和(1,46)。28于第Ⅳ列數(shù)字〔以下記作S〕，諾依格包爾在恰當(dāng)補出空缺數(shù)字后發(fā)現(xiàn)有如下關(guān)系：s=(c/a)2.即S相當(dāng)于邊b所對應(yīng)的正割平方。進(jìn)一步計算還說明：第Ⅳ數(shù)字實際上給出了一張從31度至45度的正割三角函數(shù)表。

普林頓322是古代巴比倫最異彩奪目卻又相對孤立的一塊數(shù)學(xué)泥板文書。對它的解釋帶有推測的成分并存在爭議。

總的來說，古代美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)主要是解決各類具體問題的實用知識，處于原始算法積累時期。幾何學(xué)作為一門獨立的學(xué)問甚至還不存在。巴比倫泥板文書中聚集的各種幾何圖形面積、體積的計算法那么，本質(zhì)上屬于算術(shù)的應(yīng)用。當(dāng)然，古代實用算法積累到一定階段，對他們進(jìn)行系統(tǒng)整理與理論概括必然形成趨勢，但這一任務(wù)并不是由早期河谷文明本身來擔(dān)當(dāng)?shù)摹?9天文學(xué)上〔1〕在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就創(chuàng)造了太陽歷，開始使用年、月、日的天文歷法。他們的年歷是從春分開始，一年12個月，每月有30天，每六年加上第13個月作為閏月?！?〕一個星期有7天，這七天是以太陽、月亮、金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天。因此，所謂“星期〞即指星的生日，現(xiàn)在的“星期制〞就是古巴比倫時代所創(chuàng)立的。30

用砂石、珍珠、黃金、木材、玉石、貝殼、湖水、樹葉來形容你和別人之間的關(guān)系，針對不同的人，你會選擇什么？測試答案：

砂石：普通朋友；珍珠：風(fēng)雨同舟；黃金：可以靠的朋友；木材：生死之交；玉石：默契朋友；貝殼：夫妻；樹葉：短暫友誼；湖水：有緣的朋友古巴比倫的一個經(jīng)典心理測試：31第二局部古埃及〔—元前332年〕古代埃及的數(shù)學(xué)32獅身人面像：33吉薩大金字塔〔即胡夫金字塔〕，僅存的世界七大奇跡〔元前2600年左右〕34奧西里斯被害以后，他的妻子女神伊西斯到處尋找，終于找回了尸體。不料，這件事被塞特知道了。他半夜里又偷走了尸體，把它剖成48塊，扔在不同的地方。伊西斯又從各個不同的地方找到奧西里斯尸體的碎塊，就地埋葬了。后來，奧西里斯的遺腹子荷拉斯出生了，他從小就很勇敢。長大成人后，打敗了塞特，替父親報了仇，并繼承了人間的王位。他把父親尸體的碎塊從各地挖出來，拼湊在一起，做成了干尸“木乃伊〞。又在神的幫助下，使他的父親復(fù)活了。奧西里斯的復(fù)活不是在人世間的復(fù)活，而是在陰間的復(fù)活。在另一個世界，他做了主宰，專門負(fù)責(zé)對死人的審判，并保護(hù)人間的法老。在古埃及，流傳著這樣一個動人的神話傳說。很久很久以前，地神塞布的兒子奧西里斯很有本領(lǐng)，曾一度為埃及國王(法老)。他教會了人們從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，如種地、做面包、釀酒、開礦，給人們帶來了幸福。因此，人們很崇拜他，把他視作尼羅河神，人們的生命就是奧西里斯給予的。他有一個弟弟叫塞特，存心不善，陰謀殺害哥哥，奪取王位。有一天，塞特請哥哥共進(jìn)晚餐，還找了許多人作陪。進(jìn)餐時，塞特指著一只美麗的大箱子對大家說：“誰能躺進(jìn)這個箱子，就把它送給誰。〞奧西里斯在眾人的慫恿下，當(dāng)著大家的面試了一試。但他一躺進(jìn)去，塞特就關(guān)閉了箱子，上了鎖，把他扔到尼羅河里去了。埃及木乃伊35胡夫金字塔中的數(shù)學(xué)參考數(shù)據(jù)：在平均邊長9063英寸的底座上，金字塔四邊互相的誤差率還不到1%；現(xiàn)代建筑的一大難題“正直角技術(shù)〞被游刃有余應(yīng)用于金字塔的轉(zhuǎn)角建構(gòu)上，只有“2秒之微〞的誤差；金字塔雖不是建造在正北緯30度線上，卻也在非常接近的29度58分51秒，與準(zhǔn)確數(shù)據(jù):29度58分22秒的差距還不到半分，再次顯示出古埃及人無論在一般測量或地理測量上，技術(shù)如何地精湛。胡夫大金字塔大約由230萬塊石塊砌成，外層石塊約115000塊，平均每塊重噸，像一輛小汽車那樣大，而大的甚至超過15噸。所用的石頭都經(jīng)仔細(xì)打磨，石頭之間不用灰漿等粘接物，石塊疊壘之嚴(yán)密，刀插不進(jìn)。假設(shè)把這些石塊鑿成平均一立方英尺的小塊，把它們沿赤道排成一行，其長度相當(dāng)于赤道周長的三分之二。36金字塔自重×1015＝地球的重量；

金字塔塔高×10億＝地球到太陽的距離億公里)；

金字塔底周長×2＝赤道的時分度；

延長在底面中央的縱平分線，就是地球的子午線，這條線正好把地球的大陸和海洋平分成相等的兩半；

金字塔的塔基正位于地球各大陸引力中心；

地球兩極的軸心位置每天都有變化，但是，經(jīng)過25827年的周期，它又會回到原來的位置，而金字塔的對角線之和，正好是這個奇怪的數(shù)字。胡夫金字塔的高度〔英尺〕和周長〔英尺〕之間的比率，恰好等于一個圓圈的半徑和圓周之間的比率，即2π。而這樣的一種比率所要求的坡度是非常特殊、很難處理的52度角〔自然塌落現(xiàn)象的極限角和穩(wěn)定角〕。從而發(fā)現(xiàn)每壁三角形的面積等于其高度的平方37黃金面具38391.古埃及簡介尼羅河孕育了古埃及文明。從年〔有了文字〕到公元7世紀(jì)，埃及歷經(jīng)31個王朝和近千年的外族統(tǒng)治，留下了豐富的文明遺產(chǎn)。古埃及的居民是由北非的土著居民和來自西亞的塞姆人融合形成的，前4千年后半期，逐漸形成了國家。古埃及是四大文明古國之一。除以建筑金字塔、獅身人面像及制造木乃伊而聞名天下外，還創(chuàng)造了許多對后世影響深遠(yuǎn)的東西。創(chuàng)造的象形文字對后來腓尼基字母的影響很大，而希臘字母是在腓尼基字母的根底上創(chuàng)立的。此外，亞歷山大燈塔、阿蒙神廟等建筑表達(dá)了埃及人高超的建筑技術(shù)和數(shù)學(xué)知識，在幾何學(xué)、歷法等方面也有很大的成就。古埃及文明以物質(zhì)上的高度興旺和宗教在各文化領(lǐng)域的滲透為主要特色。一般以“法老時代〞即為研究對象。40在埃及居民中進(jìn)行了一次土地劃分?！僭O(shè)河水沖毀了一個人所得的任何一局部土地，國王就會派人去調(diào)查，并通過測量來確定損失地段確實切面積?！艺J(rèn)為，正是由于這類活動，埃及人首先懂得了幾何學(xué)，后來又把它傳給了希臘人。對古埃及文明的研究依據(jù)是古文物如古建筑物〔金字塔，神廟，古墓……〕，木乃伊，壁畫，紙草文書等。埃及幾何學(xué)是尼羅河的贈禮。古希臘歷史學(xué)家希羅多德〔ΗΡΟΔΟΤΟΣ,約484B.C-425B.C.〕在公元5世紀(jì)曾訪問考察過埃及，并在其著作?歷史?一書中寫道：對古埃及數(shù)學(xué)成就的研究主要來自Rhind紙草文書〔即阿莫紙草文書，1858年收購〕與莫斯科紙草文書〔即戈列尼雪夫紙草文書〕等。411799年7月15日，拿破倫遠(yuǎn)征軍的上尉皮耶-佛罕索瓦·札維耶·布夏賀在埃及古港口羅賽塔發(fā)現(xiàn)一塊石碑〔羅塞塔石碑〕，碑上刻有用三種文字----希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文，才使精通希臘文的學(xué)者找到了解讀埃及古文字的鑰匙。1801年，拿破侖的大軍被英軍打敗投降，結(jié)束了法軍在埃及為期三年的占領(lǐng)期。法軍在撤退時并未依約繳出羅塞塔石碑，而是將它藏在一艘小船上準(zhǔn)備偷渡回歐陸，但功敗垂成半途被英軍捕獲。事后雙方協(xié)議，法方可以保存之前的研究成果與石碑的拓印，英方那么獲得石碑的實際擁有權(quán)。此石碑制作于,1802年起保存于大英博物館中并公開展示。

1808年，法國古埃及語言學(xué)的奠基人商博良開始研究羅塞塔石碑.1822年9月29日〔埃及學(xué)誕生日〕，經(jīng)過14年的研究，法國古埃及語言學(xué)的奠基人，法國學(xué)者商博良在法蘭西學(xué)院公布了他研究羅塞塔石碑的成果.從此，羅塞塔石碑也被譽為“通往古埃及文明的鑰匙〞.經(jīng)過幾代埃及學(xué)家們的艱苦努力,古埃及文明的全貌到十九、二十世紀(jì)逐漸重見天日.42古代埃及的數(shù)學(xué)

萊茵德紙草書莫斯科紙草書43

古埃及人在一種用紙莎草壓制成的草片上書寫，這些紙草書有的幸存至今。我們關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的知識，主要就是依據(jù)了兩部紙草書----萊茵德紙草書和莫斯科紙草書。

萊茵德紙草書最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德()購得，因名。該紙草書現(xiàn)存?zhèn)惗卮笥⒉┪镳^.紙草文書簡介有時人們也稱這部紙草書為阿姆士紙草書，以紀(jì)念一位叫阿姆士的人，他在年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，而根據(jù)阿姆士所加的前言可知，他抄錄的是一部已經(jīng)流傳了兩個多世紀(jì)的更古老的著作，其中涉及的數(shù)學(xué)知識一局部可能得傳于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞爾的御醫(yī)，同時也是一位傳奇式的建筑師，曾督造過這位法老的金字塔。44莫斯科紙草書又叫戈列尼雪夫紙草書.據(jù)研究，這部紙草書是出自第十二王朝一位佚名作者的手筆〔〕，也是用僧侶文寫成。記載了25個數(shù)學(xué)問題及其解法，其中許多內(nèi)容早在公元前3000年左右就已經(jīng)為埃及人所熟知.1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館。這兩部紙草書實際上都是各種類型的數(shù)學(xué)問題集。萊茵德紙草書：主體局部由48個問題組成；斯科紙草書：包含了25個問題這兩部紙草書無疑是古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。45在兩部紙草書中，象形文字被簡化為僧侶文數(shù)字:算術(shù)上的奉獻(xiàn)

古埃及人使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制．人是用象形文字來表示數(shù)的，例如這種記數(shù)制以不同的特殊記號分別表示10的前六次冪：簡單的一道豎線表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵蓮花表示1000，彎曲的手指表示10000，一條江鱈魚表示100000，而跪著的人像（可能指永恒之神）則表示1000000.其他數(shù)目是通過這些數(shù)目的簡單累積來表示的.

100

10001000010000010000001234546隨著青銅文化的崛起，分?jǐn)?shù)概念與分?jǐn)?shù)記號應(yīng)運而生。埃及象形文字用一種特殊的記號來表示單位分?jǐn)?shù)〔即分子為一的分?jǐn)?shù)〕：在整數(shù)上方畫一個長橢圓；紙草書中采用的僧侶文，那么用一點來代替長橢圓號。在多位數(shù)的情形，那么點號置于最右邊的數(shù)碼之上。例如象形文字僧侶文字

28在象形文字中被表示為，而在僧侶文中被寫成，值得注意的是這里把代表較小數(shù)字的8（記二個4）的符號（=）置于左邊而不是右邊。47埃及人最根本的算術(shù)運算是加法。乘法運算是通過逐次加倍的程序來實現(xiàn)的。如69×19是這樣來進(jìn)行的：將69加倍到138，又將這個結(jié)果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104(此即69的16倍)。因為19=16+2+1，所以69×19的答數(shù)應(yīng)為1104+138+69=1311。在除法運算中，加倍程序被倒過來執(zhí)行，除數(shù)取代了被除數(shù)的地位而被拿來逐次加倍。單位分?jǐn)?shù)的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)一個重要而有趣的特色。埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示成一些單位分?jǐn)?shù)的和。為了使這種分解過程做起來更為容易，萊茵德紙草書在阿姆士的前言之后給出了一張形如2/k〔k為從5到101的奇數(shù)〕的分?jǐn)?shù)分解為單位分?jǐn)?shù)之和的表。利用這張表，可以把例如7/29這樣的分?jǐn)?shù)表成單位分?jǐn)?shù)之和：48

紙草書中有些問題可以被歸之為我們今天所說的代數(shù)學(xué)范疇，它們相當(dāng)于求解形如

x+ax+bx=c或

x+ax=b

的一次方程。

埃及人稱未知數(shù)為“堆〞(aha,讀作“何〞)。如萊茵德紙草書第24題：“堆〞與七分之一“堆〞相加為19，求“堆〞的值。紙草書作者所用的解法實質(zhì)是一種算術(shù)方法，即現(xiàn)在所謂的“假位法〞：先假設(shè)一個特殊的數(shù)作為“堆〞值〔多半是假值〕，將其代入等號左邊去運算，然后比較得數(shù)與應(yīng)得結(jié)果，再通過比例方法算出正確答數(shù)。代數(shù)上的奉獻(xiàn)在上例中，數(shù)7作為未知數(shù)x的試驗值，于是x+(1/7)x，而應(yīng)得結(jié)果是19，這兩個結(jié)果之比為19/8=2+1/4+1/8，將7乘以(2+1/4+1/8)即得正確的“堆〞值為16+1/2+1/8。49解釋：50比較：?九章算術(shù)?(A.D.100)第七章“盈缺乏〞中第一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，缺乏四。問人數(shù)、物價各幾何？〞?九章算術(shù)?給出了這個問題的一般解法，即平均每人應(yīng)出錢數(shù)x，人數(shù)p和物價q,那么x,p,q滿足：此即雙假設(shè)法，其中8,7為“雙假設(shè)數(shù)〞。公式用現(xiàn)代符號推理如下：51“雙設(shè)法〞〔天秤術(shù)或契丹算法，11—13世紀(jì)，阿拉伯〕52埃及人在體積計算中到達(dá)了很高的水平，代表性例子是莫斯科紙草書中的14題。這道題給出了計算平截頭方錐體積的公式，用現(xiàn)代符號表示相當(dāng)于：V=h(a2+ab+b2)/3.

萊茵德紙草書和莫斯科紙草書中確實包含有許多幾何性質(zhì)的問題，內(nèi)容大都與土地面積和谷堆體積的計算有關(guān)?，F(xiàn)存的紙草書中可以找到正方形、矩形、等腰梯形等圖形面積的正確公式，例如萊茵德紙草書中的第52題，通過將等腰梯形轉(zhuǎn)化為矩形的圖形變換，得出了等腰梯形面積的正確公式。埃及人對圓面積給出了很好的近似。萊茵德紙草書第50題假設(shè)一直徑為9的圓形土地，其面積等于邊長為8的正方形面積。如果與現(xiàn)代公式相比較，就相當(dāng)于取值π=3.1605。幾何上的奉獻(xiàn)這個公式是精確的，并且具有對稱的形式。53

有人認(rèn)為這是一個數(shù)謎：7座房子，每座房里養(yǎng)7只貓，每只貓抓7只老鼠，每只老鼠吃7顆麥穗，每顆麥穗可產(chǎn)7赫卡特糧食，問房子、貓、老鼠、麥穗和糧食各數(shù)值總和。

埃及數(shù)學(xué)是實用數(shù)學(xué),但也有個別例外，例如公元前17世紀(jì)，萊茵德紙草書第79題：7座房，49只貓，343只老鼠，2401顆麥穗，