圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)曲線

圖形學(xué)的數(shù)學(xué)(shùxué)根底－參數(shù)曲線(qūxiàn)根底知識第一頁，共28頁。1參數(shù)曲線(qūxiàn)的根本知識表示(biǎoshì)方法屬性連續(xù)性第二頁，共28頁。2曲線(qūxiàn)的表示方法顯式表示(biǎoshì)：隱式表示(biǎoshì)：參數(shù)表示：更強(qiáng)的控制能力更靈活方便的變換及表達(dá)第三頁，共28頁。3參數(shù)(cānshù)曲線的根本概念假設(shè)(jiǎshè)參數(shù)曲線表示為第四頁，共28頁。4曲線上一點(yīdiǎn)處的切矢量〔1〕用以表示曲線(qūxiàn)上位置矢量的大小、方向變化)(ttPD+rrPt()圖1切矢量表示位置矢量的變化第五頁，共28頁。5曲線(qūxiàn)上一點處的切矢量〔2〕表示(biǎoshì)t處位置矢量它的方向(fāngxiàng)指向參數(shù)增加的方向(fāngxiàng)(曲線正向)該點處的切矢量表示為：第六頁，共28頁。6曲線(qūxiàn)上一點處的切矢量〔3〕參數(shù)(cānshù)變換條件下曲線上點的切矢量：參數(shù)變換(biànhuàn)方程：參數(shù)曲線新方程：切矢量表達(dá)式：切矢量方向保持不變第七頁，共28頁。7正那么曲線與自然(zìrán)參數(shù)〔1〕正那么曲線：所有點都是正那么點的曲線。正那么曲線與參數(shù)(cānshù)選取無關(guān)參數(shù)(cānshù)表示方程與參數(shù)(cānshù)選取有關(guān)自然參數(shù)(cānshù)：弧長參數(shù)(cānshù)以弧長為參數(shù)(cānshù)的曲線光順性好常采用曲線的自然參數(shù)(cānshù)〔弧長參數(shù)(cānshù)〕來定義曲線。第八頁，共28頁。8正那么曲線(qūxiàn)與自然參數(shù)〔2〕對于(duìyú)正那么曲線由弧長函數(shù)(hánshù)的反函數(shù)(hánshù)：可得到曲線自然參數(shù)方程：第九頁，共28頁。9正那么(nàme)曲線與自然參數(shù)〔3〕定理：自然參數(shù)(cānshù)曲線的切矢量滿足：證明(zhèngmíng)：除特別申明外通常討論正那么曲線并采用弧長參數(shù)定義曲線。以弧長為參數(shù)的曲線假設(shè)非正那么，那么畸形。第十頁，共28頁。10曲線(qūxiàn)上一點處的主法向量〔1〕記號(jìhɑo)自然參數(shù)曲線：任一點處的單位(dānwèi)切矢量為沿該方向過該點的直線稱為該點處的主法線定義--衡量曲線彎曲程度？第十一頁，共28頁。11曲線上一點(yīdiǎn)處的曲率曲率可衡量曲線的彎曲程度(chéngdù)—單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率如下圖第十二頁，共28頁。12曲率(qūlǜ)半徑直線特征：曲率處處(chùchù)為0；圓的特征：曲率半徑處處(chùchù)相等第十三頁，共28頁。13曲線(qūxiàn)上一點處的主法向量〔2〕定理(dìnglǐ)：主法向量與切矢量正交。證明：第十四頁，共28頁。14曲線(qūxiàn)上一點處的從法向量沿該方向(fāngxiàng)過該點的直線稱為從法線。第十五頁，共28頁。15Frent活動(huódòng)標(biāo)架第十六頁，共28頁。16問題(wèntí)：切矢量(垂直于法平面)的變化快慢反映了曲線的彎曲(wānqū)程度問題：從法向量(垂直于密切平面)的變化反映了曲線的何種屬性?第十七頁，共28頁。17預(yù)備(yùbèi)定理定理(dìnglǐ)：證明(zhèngmíng)：第十八頁，共28頁。18曲線(qūxiàn)在一點處的撓率含義：從法向量方向?qū)￠L的變化率--反映(fǎnyìng)曲線的扭曲程度。該值大于、小于、等于0分別對應(yīng)右旋、左旋和平面曲線。第十九頁，共28頁。19曲線的幾何(jǐhé)不變量〔1〕曲率和撓率：因與曲線參數(shù)和空間直角坐標(biāo)系的選取都無關(guān)，而稱其為曲線的幾何不變量。曲線根本定理：如果兩條曲線在弧長參數(shù)相同的點處具有(jùyǒu)相同的曲率和撓率，那么這兩條曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動后一定會重合。曲線的自然方程：第二十頁，共28頁。20曲線的幾何(jǐhé)不變量〔2〕在任意參數(shù)(cānshù)條件下的曲率、撓率分別為：第二十一頁，共28頁。21曲線(qūxiàn)的連續(xù)性參數(shù)連續(xù)：函數(shù)可微幾何連續(xù)：曲線光滑二者既有區(qū)別(qūbié)又有聯(lián)系第二十二頁，共28頁。22曲線(qūxiàn)的參數(shù)連續(xù)性第二十三頁，共28頁。23第二十四頁，共28頁。24曲線(qūxiàn)的幾何連續(xù)性〔1〕第二十五頁，共28頁。25第二十六頁，共28頁。26曲線(qūxiàn)的幾何連續(xù)性〔2〕是一種可觀察的連續(xù)(l