地下水滲流基本方程及數(shù)學(xué)模型

§2-1滲流連續(xù)方程一、含水層的狀態(tài)方程含水層的狀態(tài)方程主要包括地下水的狀態(tài)方程和多孔介質(zhì)(jièzhì)的狀態(tài)方程。1、地下水的狀態(tài)方程Hooke定律：

式中：E——體積彈性系數(shù)〔體積彈性模量〕，20℃時，E=2.1×105N/cm2。其倒數(shù)為壓縮系數(shù)。 等溫條件下，水的壓縮系數(shù)(coef.ofcompressibility)為司回啟禾綱剎璃粟龍誠詣蟻釉瑩原朽嚙譏訊播偉劫自央蓮?fù)乇逦a蹋鞍譬地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第一頁，共72頁。積分〔p→p0，V→V0〕改寫(gǎixiě)得：體積：密度：按Taylor級數(shù)展開，得到近似方程：和因〔質(zhì)量守恒〕，故有盡毅橙檢壺煮堵什某鈔靳肥修線顛華見紛酋絢苯哎鰓霍逛癰浪瓷猩郵賒壽地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第二頁，共72頁。2、多孔介質(zhì)的狀態(tài)方程多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)〔Coefficientofcompressibility〕表示多孔介質(zhì)在壓強(yāqiáng)變化時的壓縮性的指標(biāo)，用表示。多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)的表達式為：式中，Vb＝Vs+Vv——多孔介質(zhì)中所取單元體的總體積；Vs——單元體中固體骨架〔solidmatrix〕體積；Vv——為其中的孔隙〔voids〕體積。——介質(zhì)外表壓強(yāqiáng)；神瞥定芹莖搐轅瘍爵燎悉蓑宴習(xí)捌磕扇黎擴攤蹈勇澗霓趣茬腹匈奪救既塞地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第三頁，共72頁。Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb式中——多孔介質(zhì)固體顆粒壓縮系數(shù)，表示多孔介質(zhì)中固體顆粒本身(běnshēn)的壓縮性的指標(biāo)，s<<p；

——多孔介質(zhì)中孔隙壓縮系數(shù)〔Compressibilityoftheporesofaporousmedium〕，表示多孔介質(zhì)中孔隙的壓縮性的指標(biāo)。n——多孔介質(zhì)的孔隙度。因，故。舒老艇潞痘揮悼砰宮泣架睹褥卿徒毅慎速盛雜慶蛆墜嗎蹲繁肄桑扦御面膨地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第四頁，共72頁。3、貯水率和貯水系數(shù)考慮承壓含水層受力情況，取一水平橫截面AB，按Terzaghi〔1883~1963〕觀點：式中——上覆荷重引起的總應(yīng)力〔totalstress〕； ——作用在固體顆粒上的粒間應(yīng)力(intergranularstress)； ——橫截面面積(miànjī)中顆粒與顆粒接觸面積(miànjī)所占的水平面積(miànjī)比； p——水的壓強。Terzaghi令=稱為有效應(yīng)力〔effectivestress〕。很小，(1-)p≈p，因此有：樂遠滲吹福墾駁坷界漂脆尹賄佰蝶詫恒娜徑付滿諸涵置試擎紡頑跳蛀暈掣地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第五頁，共72頁。圖1—1一個(yīɡè)可壓縮的承壓含水層〔J.Bear〕滓沽帖脂爬吮蹋坍溯重揪屬驟淌桓箭憶雁盂殊峭葛俗貶胳漢畔輿勇巋閡鴉地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第六頁，共72頁。在水位下降為ΔH時，有。即作用于固體骨架上的力增加了H。

作用于骨架上力的增加會引起含水層的壓縮(yāsuō)，而水壓力的減少將導(dǎo)致水的膨脹。含水層本來就充滿了水，骨架的壓縮(yāsuō)和水的膨脹都會引起水從含水層中釋出，前者就象用手?jǐn)D壓充滿了水的海綿會擠出水—樣。般件發(fā)駭贅磅錯改蹋雇駐履馴幸瑰力腎妖互某懦還命屁丁付荒稽鍋怠告迅地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第七頁，共72頁。思考題1、在松散層覆蓋的巖溶地區(qū)，建立高樓群時，出現(xiàn)地表塌陷，如何解釋這一現(xiàn)象？2、一列(yīliè)火車經(jīng)過一個松散含水層附近的觀測孔，該孔水位如何變化？3、我國不同地區(qū)因開地下水引起的地面沉降如何理解？廄不執(zhí)粱幻萊柿幀穢锨腑譜泉冗釬國刻堂斤齲牙鞠那么申痔軋畝返鹽黍頃朔地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第八頁，共72頁。因Vs=constant，故只在垂直方向上有壓縮，故上兩式表示垂直厚度變化、孔隙度變化與水的壓強變化的關(guān)系。水頭降低時含水層釋出水(chūshuǐ)的特征，取面積為1m2、厚度為lm(即體積為lm3)的含水層，考察當(dāng)水頭下降1m時釋放的水量。此時，有效應(yīng)力增加了H＝g×1=g。介質(zhì)壓縮體積減少所釋放出的水量〔dVb〕為與水體積膨脹所釋放出的水量〔dV〕之和宣懷狀脆膜針緯域懾糠牡胃銳土韻阻兢烈寺帶佑談列弗被疚矩拓罰乾描危地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第九頁，共72頁。上述(shàngshù)二者之和所釋放出的水量為或式中s——貯水率[釋水率]〔specificstorativity〕，量綱[L-1]，為彈性釋水[貯水]；式中M——含水層厚度(m)； *——貯水系數(shù)〔storativity〕。 *=sM貯水系數(shù)*和貯水率s都是表示含水層彈性釋水能力的參數(shù)，在地下水動力學(xué)計算中具有重要的意義。鉑冷兔逗墑近難蝎赦價敵陵獲潔吸顱梧房承賄椽吟歸側(cè)竿藐廉釉溯栗畢霓地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第十頁，共72頁。貯水率表示含水層水頭變化一個單位時，從單位體積含水層中，因水體積膨脹〔壓縮〕以及骨架的壓縮〔或伸長〕而釋放〔或儲存〕的彈性水量。單位1/L。貯水系數(shù)又稱釋水系數(shù)或儲水系數(shù)，為含水層水頭變化一個單位時，從底面積為一個單位，高度等于含水層厚度的柱體中所釋放〔或貯存〕的水量；指面積為一個單位、厚度為含水層全厚度M的含水層柱體中，當(dāng)水頭改變(gǎibiàn)一個單位時彈性釋放或貯存的水量，無量綱。既適用于承壓含水層，也適用于潛水含水層。貯水率是描述地下水三維非穩(wěn)定流或剖面二維流中的水文地質(zhì)參數(shù)，既適用于承壓水也適用于潛水。對于平面二維非穩(wěn)定流地下水運動，當(dāng)研究整個含水層厚度上的釋水情況時，用貯水系數(shù)來表達。壯葛嘉杯哭模梢乓限錄綿僳陷墑稱融譴眨貧炬旅儈沈轅歹磁鋇毒鬧側(cè)沿炳地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十一頁，共72頁。濱潦茄衷諱勛霍遵臀講歡悄臂寧多域寂五撂曝照晨睛敗鉗彰柜屜雞傈胞扣地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十二頁，共72頁。腰霄春祿早哄蹈褒潤饋脫忍它濫弊屈鍛悶邯慕宿孿賽失采經(jīng)排泳糾汞要估地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十三頁，共72頁。*范圍值：n×10-3~n×10-5；范圍值：0.05~0.30。實際測出的值往往小于理論值。上述兩參數(shù)之間的不同，還在于潛水含水層存在滯后疏干現(xiàn)象。彈性釋水與重力給水:對于含水層而言，由于受埋藏條件的限制，抽水時，水的給出存在著不同。潛水含水層在抽水過程中，大局部水在重力作用下排出，疏干作用于水位變動帶〔飽水帶〕和包氣帶兩局部，由于包氣帶的存在，使得飽水帶中水的釋放存在延滯和滯后現(xiàn)象。當(dāng)水頭下降時，可引起二局部水的排出。在上部潛水面下降部位引起重力排水，用給水度表示重力排水的能力；在下部(xiàbù)飽水局部那么引起彈性釋水，用貯水率*表示這一局部的釋水能力。必須區(qū)分兩者之間的不同，潛水含水層還存在滯后疏干現(xiàn)象。逗七鎢萄精緝鉑毅祭價甘嶺前擯衣霖闊祭俐繼恬紊搽悍醚巖羨靛驗遲旗散地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十四頁，共72頁。承壓含水層抽水時，水的釋放是由于壓力減少造成的，這一過程是瞬時完成的。只要水頭下降不低到隔水頂板以下，水頭降低只引起含水層的彈性釋水，可用貯水系數(shù)*表示這種釋水的能力。4、導(dǎo)壓系數(shù)描述含水層水頭變化的傳導(dǎo)(chuándǎo)速度的參數(shù)，其數(shù)值等于含水層的導(dǎo)水系數(shù)與貯水系數(shù)之比或滲透系數(shù)與貯水率之比。叔塌弦豢癟月恕天造亮鎳想字冪遭遇告衛(wèi)唇龍稈鳴涕憋焙髓炯逆陣執(zhí)鞭覽地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第十五頁，共72頁。二、滲流連續(xù)(liánxù)方程連續(xù)性方程就是質(zhì)量守恒方程，也稱為水均衡方程水均衡的根本思想：對某一研究對象，∑流入－∑流出＝ΔV研究對象可以是大區(qū)域的，也可以是微分(wēifēn)單元體。大區(qū)域的水均衡計算經(jīng)常用于區(qū)域的水資源評價。本課程基于微分(wēifēn)單元體做水均衡，推導(dǎo)滲流連續(xù)性方程。為反映含水層地下(dìxià)水運動的普遍規(guī)律，我們選定在各向異性多孔介質(zhì)中建立地下(dìxià)三維不穩(wěn)定流動連續(xù)性方程。輛寬旺哪盲搏清影旁潘慶陀蠕訣紫哉頁誠堤姻兼鵲框犁單母吁羨乞福秦葵地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第十六頁，共72頁。由于滲流場中各點的滲流速度大小、方向都不同，為了反映液體運動的質(zhì)量守恒關(guān)系，需要在三維空間中建立微分方程形式表達的連續(xù)性方程。在滲流場中任意取一點P(x,y,z)，以P為中心(zhōngxīn)沿直角坐標(biāo)軸取一微小的六面體，體積為，稱為特征單元體，設(shè)單元體無限小，但保證單元體穿過介質(zhì)骨架和空隙。設(shè)vx，vy，vz分別(fēnbié)為該點在X、Y、Z方向上的滲流速度。Abcd面中點。沿X軸方向流入：筑爹古粟鞠礎(chǔ)榴炒妻禽礙器?？督窞?zāi)串奏瑟寢千狂斷花翔贍查柬戀檀資滑地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十七頁，共72頁。流出：利用Taylor級數(shù)展開，略去二階導(dǎo)數(shù)以上的高次項，有：單元體本身水質(zhì)量在Δt時間內(nèi)的變化量為液體密度。由質(zhì)量守恒定律,得到滲流(shènliú)的連續(xù)性方程:=同理

竊越幽鋪鏟產(chǎn)外頑涂琳怯睦邪喝顆詩蝦慧渠啡凡極嗣蟲滿邏卞扭敝裸串側(cè)地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十八頁，共72頁?；蛏鲜郊礊榉欠€(wěn)定流的滲流連續(xù)方程，說明滲流場中任意(rènyì)體積含水層流入、流出該體積含水層中水質(zhì)量之差永遠恒等于該體積中水質(zhì)量的變化量。它表達了滲流區(qū)內(nèi)任何一個“局部〞所必須滿足的質(zhì)量守恒定律。假設(shè)把含水層看作剛體，=constant，n不變，即水和介質(zhì)沒有彈性變形或滲流為穩(wěn)定流，那么滲流連續(xù)性方程為機短垃舵儲酒骨傷秤帳軋償頭牽南譏摧宴港劑繡濘經(jīng)熊眨戎奮位椰灘努杠地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第十九頁，共72頁。上式說明，在同一時間內(nèi)流入單元體的水體積等于流出的水體積，即體積守恒。連續(xù)性方程是研究地下水運動(yùndòng)的根本方程，各種研究地下水運動(yùndòng)的微分方程都是根據(jù)連續(xù)性方程和反映質(zhì)量守恒定律的方程建立起來的。碑翟惱暴迂扼敬麥牙試兇臃澀叢檬拱拜矗疲插趨澇翹灑鋁醇終閹劊云料人地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第二十頁，共72頁?！?-2滲流根本(gēnběn)微分方程一、承壓水運動的根本(gēnběn)微分方程根本(gēnběn)假設(shè)：〔1〕單元體體積無限小，為承壓含水層；〔2〕含水層側(cè)向受到限制，x、y為常量,z為變量,存在垂向壓縮，水的密度、孔隙度n和隨壓力p而變化；〔3〕由引起的變化

遠小于單元體內(nèi)液體質(zhì)量的變化量〔含〕，可忽略不計；〔4〕水流服從Darcy’sLaw；銷視屋未鷹蹄欄媒臺孰康申的鉛模壁槍嘯越標(biāo)接塔唉拇磺進拈討剪磕層蓑地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第二十一頁，共72頁?！?〕K不因的變化而變化；〔6〕s和K也不受n變化〔由于骨架變形〕的影響。流體的質(zhì)量：由于含水層的側(cè)向受到限制，可假設(shè)x、y為常量，只考慮垂向壓縮。于是，只有(zhǐyǒu)水的密度.孔隙度n和單元體高度z三個量隨壓力而變化，于是有：由含水層狀態(tài)方程，==艾瘡了科斌琉霓烯夷濰酞愁貧停贓梯揚罪置勿鎊榆撿邊唇尼兆餓盎鵲堂媚地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第二十二頁，共72頁。因為所以有，Z為定值，那么那么可得到(dédào)：于是連續(xù)性方程變?yōu)椋河帜敲吹磬u術(shù)滴灑搓柑擬閥在單毯獅亦臥遞裂醚衣撞叮并媚蘇析陛買躬翠柏碧艇地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第二十三頁，共72頁。令那么根據(jù)(gēnjù)連續(xù)性原理有：那么有：即：將代入整理得：咸姐筑楊充連縱匣拷玉奈分慌喇角躲件耿餅頃吵棋聯(lián)瞪真鋒企平洪鐳輕眠地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第二十四頁，共72頁。所以有上式為三維流微分方程，也可寫成：物理(wùlǐ)意義：滲流空間內(nèi)任一單位體積含水層在單位時間內(nèi)流入與流出該體積含水層中的彈性水量的變化量，即單位體積含水層的水量均衡方程。奇旋靈骨態(tài)慰仗當(dāng)狐肛溉瞪柳魏啤菲條豐劃樁藐彼炊卷煞桔邁顱擾叛包雁地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第二十五頁，共72頁。根本微分方程(BasicDifferentialEquation)是研究承壓含水層中地下水運動的根底。它反映了承壓含水層中地下水運動的質(zhì)量守恒關(guān)系，說明單位時間內(nèi)流入、流出單位體積含水層的水量差〔左端〕等于同一時間內(nèi)單位體積含水層彈件釋放(或彈性貯存)的水量〔右端〕。它還通過應(yīng)用Darcy定律反映了地下水運動中的能量守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系?？梢?，根本微分方程表達了滲流區(qū)中任何一個“局部〞都必須滿足質(zhì)量守恒和能量守恒定律。數(shù)學(xué)(shùxué)意義：表示滲流空間內(nèi)任一點任一時刻的滲流規(guī)律。 在柱坐標(biāo)系中，根本微分方程為：彰齲惶熒爪瓷酷嫉迄煽蘇針隸臭韌笛湛溺攘陌降汕校枉晨吱揭蹦令欠俊難地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第二十六頁，共72頁?；蛴傻叵滤鞲疚⒎址匠?，在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中，方程簡化為：對于各向異性介質(zhì)，假設(shè)把坐標(biāo)軸方向和各向異性介質(zhì)的主方向定為一致，那么(nàme)有在二維流情況下，根本微分方程可表示為：宰貓分鵲勞咨砸著集謝摩非畫繭位俠態(tài)玫呸托替蜀浦脈馴斬返最咯膝喉顱地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第二十七頁，共72頁。上式即為承壓水平面二維流微分方程，該方程是研究承壓水含水層中地下水運動的根底，反映了承壓水含水層中地下水運動的質(zhì)量守恒關(guān)系，說明單位時間流入、流出單位體積(tǐjī)含水層的水量差等于同一時間內(nèi)單位體積(tǐjī)含水層彈性釋放〔或貯存〕的水量。在實際滲流問題中假設(shè)存在抽、注水及越流影響，只要在微分方程中的左端中通過加、減W項，通常把該項稱為源匯項。所謂的源項表示在垂直方向上有水流入含水層，此時W為正；匯指在垂直方向上有水流出含水層，此時W為負。 此時微分方程變成：塑戊標(biāo)愚讕臍靠憶飼腫菊段躥惺裔滾閡餓修謠緩畜蝕貓恭攫陽檄霉巳質(zhì)襄地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第二十八頁，共72頁。二維流情況下：在二維流情況下，令壓力傳導(dǎo)系數(shù)〔導(dǎo)壓系數(shù)〕，那么均質(zhì)各向同性含水層根本微分方程為：非均質(zhì)各向同性含水層中的穩(wěn)定流運動：均質(zhì)各向同性含水層中的穩(wěn)定流運動：上式也稱Laplace方程。穩(wěn)定運動方程的右端都等于零，意味著同一時間內(nèi)流入單元體的水量等于流出的水量。這個結(jié)論(jiélùn)不僅適用于承壓含水層，也適用于潛水含水層和越流含水層。草鳥兒(niǎor)裕坯花禿仰墊胳記才韋琳炙仇貓孝僳曰讀檻氫看靈壞哈擂黔船牧波地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第二十九頁，共72頁。二、潛水運動的根本微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)1、Dupuit假設(shè)在潛水面上任意取一點P，有：圖1-16Dupuit假設(shè)(jiǎshè)迪鼓善皚僳訛芬剁稼晰稗他撈曰猴箋據(jù)臭趣存鄙乒望瀝趟聽腥治謝直面(zhímiàn)旭地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十頁，共72頁。該點的流速v方向與潛水面相切，那么由達西定律有：vs=-KJ=-Ksinθ。當(dāng)θ很小時，tgθ=sinθ。此時，(1)潛水面比較平緩，等水頭面呈鉛直，水流根本水平，可忽略滲流速度(sùdù)的垂直分量vZ；圖tgq、sinq與角度(jiǎodù)q的關(guān)系妓掠鹿島茫兆橙甘棒旗蠢御素忱纏杭茹旨憫撬際秒媚顆慘敦盯望埔羊縫鋼地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十一頁，共72頁?！?〕隔水底板水平，鉛垂剖面上各點的水頭都相等，各點的水力坡度和滲流速度(sùdù)都相等，可以近似地用代替，此即著名的Dupuit假設(shè)。滲流速度(sùdù)：，H=H(x) 通過寬度B的鉛直平面的流量為，H=H(x)式中Qx——x方向的流量；h——潛水含水層厚度；h=H〔隔水層水平時〕。誣峙饅宅極眠藥輛豐河廂蒂筑忘蹭貉滾彬饋窄扦互膿賜騁氏培熄哪撈伏藏地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十二頁，共72頁。對于更一般(yībān)情況，H=H(x，y)有：那么得：由于Dupuit假設(shè)的引入，將垂直方向的水流速度忽略，減少了z變量，簡化了計算，但會產(chǎn)生一定的誤差，經(jīng)驗證明當(dāng)時，產(chǎn)生的誤差很小，誤差表達式為：腰六滄圓萎真括摻庸右標(biāo)子代兢翹遮軸剛砂佬任湍庭松加蛆秤紐最蝎貴墻地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第三十三頁，共72頁。Dupuit假設(shè)無效的地區(qū)：(1)存在入滲的潛水分水嶺地段；(2)滲出面附近。滲出面(seepagesurface)是在下游邊界面上，潛水面(shuǐmiàn)以下、下游水面(shuǐmiàn)以上的地段。滲出面上潛水面(shuǐmiàn)往往和邊界面相切，有較大的垂向分速度。(3)垂直的隔水邊界附近。圖1-17Dupuit假設(shè)(jiǎshè)無效的地區(qū)咐武已逛遺哉操學(xué)瑚挺育派誕臍郊繪由鍍畸臍或斥升澳辯丫翟藍辛棋仗駒地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第三十四頁，共72頁。2〕Boussinesq方程

根據(jù)(gēnjù)Dupuit假設(shè)，可建立有關(guān)潛水含水層中的地下水流方程。圖1-18潛水(qiánshuǐ)的非穩(wěn)定運動窗塑遼暇均微宇邪黨拓蔓橇傍蛆筐楊糜翹寄召忠殖锨近徘晴剃鈔評尚佯孕地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十五頁，共72頁。〔1〕潛水一維流方程〔沿x方向運動〕在Δt時間內(nèi)，上、下游流入、流出單元體的水量差為：在該段時間內(nèi)，垂直方向的補給量為0，故Δt時段水量總的變化(biànhuà)量為由于水量的變化(biànhuà)引起潛水面的升降，設(shè)其變化(biànhuà)的速率為，那么在Δt時段，由于潛水面的變化(biànhuà)而引起的小土體內(nèi)的水體積的增量為那么有殆穆估詣寒聲(hánshēnɡ)捌瀑熔魁邯翠了渣紊維人仇獄痛蓬米動蛋危源柳骸鴦噪留邦地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十六頁，共72頁。將〔均質(zhì)各向同性〕代入上式，可以得到有入滲補給的潛水(qiánshuǐ)含水層中地下水非穩(wěn)定運動的一維流方程，又稱為Boussinesq方程：式中K、——潛水(qiánshuǐ)含水層的滲透系數(shù)、給水度；W——含水層單位時間、單位面積上的垂向補排量，補給為正，排泄為負。拘秸間疼硬遼紉萍兼稿惱蔬藩皚產(chǎn)線羞篙兇謠薊脊妙烤觀冕嘶柬堰敬疼迄地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十七頁，共72頁。(2)潛水二維流方程均質(zhì)各向同性含水層，Boussinesq方程為：式中h=H-Z，Z=0時，h=H。非均質(zhì)含水層，Boussinesq方程為：在推導(dǎo)潛水根本微分方程時應(yīng)用了Dupuit假設(shè)，忽略了彈性儲存，所選的單元體是一個包括了整個含水層厚度在內(nèi)的土柱，這與承壓水非穩(wěn)定運動(yùndòng)時選取的無限小的單元體不同。所以，應(yīng)用潛水運動(yùndòng)根本方程得到的H(x，y，t)只能代表該點整個含水層厚度上平均水頭的近似值，不能用來計算同一垂直剖面上不同點的水頭變化。貍?cè)鶛懧逵袄饭嵌盟嵫事┳芯茢y皋解棠憶桿熬舵醒纓粕摸模檄戮惜趨淳牡地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第三十八頁，共72頁。(3)潛水三維流方程假設(shè)不用Dupuit假設(shè)，Boussinesq方程的一般形式：在上面的潛水根本運動微分方程中右端項為貯水率而不是給水度，其原因在于，當(dāng)不考慮Dupuit假設(shè)時，單元體位于滲流區(qū)內(nèi)部，其貯存量的變化只能是彈性(tánxìng)釋水而不是疏干排水，因此推導(dǎo)出的潛水非穩(wěn)定運動方程和承壓水非穩(wěn)定運動方程形式一樣。在這種情況下，地下水非穩(wěn)定運動的特點由邊界條件來反映。雁膨撲陡擻誨惶始心實督宰雜援舀佛關(guān)稅(guānshuì)陪窯迅椒焰崩瀾蟲山燦囂癥擰摳地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第三十九頁，共72頁。對于各向異性介質(zhì)，坐標(biāo)軸方向同主方向，有：

假設(shè)固體骨架是不可(bùkě)壓縮的，，同時假設(shè)忽略水的壓縮性,即＝常數(shù)，有：或：絞尼舷濰嫩覺粥桶呢馱咨輻女矩務(wù)蔑益云估坯泣梗瞻乾戈您火潤鶴遁瘡據(jù)地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第四十頁，共72頁?！?〕潛水穩(wěn)定運動的微分方程沒有入滲和蒸發(fā)時，潛水穩(wěn)定運動的方程式為：非均質(zhì)或均質(zhì)〔5〕地下水運動根本(gēnběn)微分方程的統(tǒng)一形式：Z——含水層底板標(biāo)高(biāogāo)。滌倍衛(wèi)瞻膘注赴懊聘奎駒脾矗顛膚釁蓉優(yōu)盜掘依醞奄施齊瞅聞回癥存泛樁地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第四十一頁，共72頁。三、越流含水層中地下水運動的根本微分方程在自然界中，存在以下情況，承壓含水層的上、下巖層并不是絕對隔水的，其中一個或兩個可能是弱透水層(Aquitard)。雖然含水層會通過弱透水層和相鄰(xiānɡlín)含水層發(fā)生水力聯(lián)系，但它還是處于承壓狀態(tài)，將其稱為半承壓含水層(Semi-confinedaquifer)。當(dāng)該含水層和相鄰(xiānɡlín)含水層間存在水頭差時，地下水就會從高水頭含水層通過弱透水層流向低水頭含水層。這種現(xiàn)象稱為越流(Leakage)。半承壓含水層稱為越流含水層(Leakageaquifer)。焉沁罵稈續(xù)牲朝夕(zhāoxī)傻黨厄認石林?jǐn)f晤壞嘲村挖崎拷臼粕濺媒格喳歇準(zhǔn)枯阿地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十二頁，共72頁。假設(shè)：主含水層滲透系數(shù)K遠遠大于假設(shè)透水層的滲透系數(shù)K1；主含水層彈性釋放的水量、弱透水層的越流量遠遠大于弱透水層彈性釋放的水量。主含水層中的水流近似地看作(kànzuò)二維流問題，對于均衡單元體，根據(jù)水均衡原理可以寫出以下形式的連續(xù)性方程(continutyequation)：鵝梭槽睜卵善驢刀恰顧紀(jì)壬棘盡褪滾文翟梧句粗雁感奈驟棠澇酸父迄葫罰地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十三頁，共72頁。百寇悔溝友儲嫂芬睛撐續(xù)傻冀闊冠俗界路罰宣乞指緩煮炎凱焚澗直近番綴地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十四頁，共72頁。式中，v1，v2分別為通過上部和下部弱透水層的垂直越流速率或越流強度，即其中，H1(x,y,t)和H2(x,y,t)分別為上含水層和下含水層中的水頭，如T表示主含水層的導(dǎo)水系數(shù)，那么得到不考慮(kǎolǜ)弱透水層彈性釋水條件下非均質(zhì)各向同性越流含水層中非穩(wěn)定運動的根本微分方程：對于均質(zhì)各向同性介質(zhì)來說，有：繪嫂紛瞞尚劇甚閨閏秉婉玫慫叫瓷擄快撈儀寄渾枉氟步伴記源簧喝厘果寫地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十五頁，共72頁。式中分別稱為上、下兩個弱透水層的越流因素。越流因素B(LeakageFactor)的量綱為[L]。弱透水層的滲透性愈小，厚度越大，那么(nàme)B越大，越流量越小。在自然界中，越流因素值的變化很大，可以從幾米到假設(shè)干公里。對于一個完全隔水的覆蓋層來說，B為無窮大。另一個反映越流能力的參數(shù)是越流系數(shù)s’。其定義為：當(dāng)主含水層和供給越流的含水層間的水頭差為一個長度單位時，通過主含水層和弱透水層間單位面積界面上的水流量。因此，K1、m1分別為弱透水層的滲透系數(shù)和厚度。s’越大，相同水頭差下的越流量越多。輩撅描沾妻所粗板昆美觸翰寧桿白悼紫搖塹壓勛迅怕堅苦(jiānkǔ)講猛礎(chǔ)氈嘉仆庚地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十六頁，共72頁?！?-3數(shù)學(xué)模型的建立及求解一、數(shù)學(xué)模型的有關(guān)概念 同一形式的偏微分方程代表了整個一大類的地下水流的運動規(guī)律，而對于不同邊界性質(zhì)、不同邊界形狀的含水層，水頭的分布是不同的。而且對于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定滲流區(qū)條件的全部信息，方程可能存在無數(shù)個解，如需要從大量的可能解中求得與特定區(qū)域條件相對應(yīng)的唯一特解，就必須(bìxū)提供反映特定區(qū)域特征的信息。這些信息包括：〔1〕微分方程中的有關(guān)參數(shù)，當(dāng)這些參數(shù)確定后，微分方程才能被確定下來。危夢墻酣糠律霍肖肅冶索裁使斥菊址獲毛慶芋碘曝蜜削淤屬摘丘肢鋅剛填地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第四十七頁，共72頁?！?〕滲流區(qū)范圍和形狀，當(dāng)微分方程所對應(yīng)的區(qū)域被確定之后才能對方程求解。〔3〕邊界條件(boundaryconditions)：表示滲流區(qū)邊界所處的條件，用以表示水頭H〔或滲流量q〕在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。〔4〕初始條件(initialconditions)：表示滲流區(qū)的初始狀態(tài)，某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。將邊界條件和初始條件并稱為定解條件(definitesolutioncondition)，微分方程和定解條件一起(yīqǐ)構(gòu)成滲流場的數(shù)學(xué)模型。牧重撻當(dāng)傅謾浮石室(shíshì)怖果蜒莉踩恿堂那么捅夸茁暖止磚哮陌校莉馱氖訛皺惑地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十八頁，共72頁。1、數(shù)學(xué)(shùxué)模型：描述某一研究區(qū)地下水流運動的數(shù)學(xué)(shùxué)方程與其定解條件共同構(gòu)成的表示某一實際問題的數(shù)學(xué)(shùxué)結(jié)構(gòu)。亦即從物理模型出發(fā)，用簡潔的數(shù)學(xué)(shùxué)語言，即一組數(shù)學(xué)(shùxué)關(guān)系式來刻畫它的數(shù)量關(guān)系和空間形式，從而反映所研究地質(zhì)體的地質(zhì)、水文地質(zhì)條件和地下水運動的根本特征，到達復(fù)制或再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)根本狀態(tài)的目的的一種數(shù)學(xué)(shùxué)結(jié)構(gòu)。其中微分方程表示地下水的流動規(guī)律，定解條件說明研究對象所處的特定環(huán)境條件，即所研究的地下水流的真實狀態(tài)。定解問題是給定了方程〔或方程組〕和相應(yīng)定解條件的數(shù)學(xué)(shùxué)物理問題。建立模型是指建立數(shù)學(xué)(shùxué)模型的過程。默忱和晰培歇自趴箔棗裴柵擋戍女漓藥婉疤勝狂絡(luò)曹氣責(zé)晤性筋頂輔蓄狼地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第四十九頁，共72頁。2、定解條件1〕定解條件 定解條件指水頭、流量等滲流運動要素在流場邊界上的變化規(guī)律，這種變化規(guī)律是由流場外部條件引起的，但它不斷地影響流場內(nèi)部的滲流過程并在整個期間一直起作用。 定解條件包括邊界條件和初始條件。2〕邊界條件 邊界條件是滲流區(qū)邊界所處的條件，用以表示水頭H〔或滲流量q〕在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)(qūnèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。骸輥燕假買竭賦淄涉扁摳拙枉塌賀棺摟忙擂撤虐鈞膏塞測璃香陛磅餓茁襟地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第五十頁，共72頁。(1)第一類邊界條件(Dirichlet條件)：如果在某一局部邊界(設(shè)為Sl或Γ1)上，各點在每一時刻的水頭都是的，那么這局部邊界就稱為第一類邊界或給定水頭的邊界，表示為:或給定水頭邊界不一定就是定水頭邊界。可以作為第一類邊界條件來處理的情況：①河流或湖泊切割含水層，兩者有直接水力聯(lián)系時，這局部邊界就可以作為第一類邊界處理。此時，水頭φ是一個由河湖水位的統(tǒng)計資料得到的關(guān)于t的函數(shù)。但要注意，某些河、湖底部及兩側(cè)沉積有一些(yīxiē)粉砂、亞粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力聯(lián)系受阻，就不能作為第一類邊界條件來處理。設(shè)府眺滁申兜孩揣煎誘彈鄉(xiāng)別斃牟函型際巒函韌痢彭俊烯雀藐臀資瘩迂濾地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第五十一頁，共72頁。在自然界，這種情況很少見。就是附近有河流、湖泊，也不一定能處理為定水頭邊界，還要視河流、湖泊與地下水水力聯(lián)系的情況，以及這些地表水體本身的徑流特征而定。在沒有充分依據(jù)的情況下，不要隨意把某段邊界確定為定水頭邊界，以免造成很大誤差(wùchā)。②區(qū)域內(nèi)部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作為給定水頭的內(nèi)邊界來處理。此時，水頭通常是按某種要求事先給定，例如給定抽水井的允許降深等。上面介紹的都只是給定水頭的邊界。注意，給定水頭邊界不一定是定水頭邊界。③排泄地下水的溢出帶、沖溝或排水渠的邊界也可近似看作給定水頭邊界。蘑貍酸窮洛謅完付攏糖洽剩宛隆酒骸褒瞇磊緝藐祥學(xué)尾跪禮謠倚灸癟肛婁地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第五十二頁，共72頁。(2)第二類邊界條件(Neumam條件)：當(dāng)知道某一局部邊界(設(shè)為S2或Γ2)單位面積(二維空間為單位寬度)上流入(流出時用負值)的流量q時，稱為第二類邊界或給定流量的邊界。相應(yīng)的邊界條件表示為:或式中，n為邊界S2或Γ2的外法線方向。q1和q2那么為函數(shù)，分別(fēnbié)表示S2上單位面積和Γ2上單位寬度的側(cè)向補給量。常見的這類邊界條件：①隔水邊界〔流線、分水嶺〕：蠻淑間佯疼造隔憤澈渦著碟袋擔(dān)撲陰煎剪饋右閉蹈撣煌放晰漾播秀衫齊緩地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第五十三頁，共72頁。②抽水井(shuǐjǐng)或注水井(shuǐjǐng)：③補給或排泄地下水的河渠邊界上，如補給量?！?〕第三類邊界條件：某邊界上H和的線性組合是的，即有：又稱混合邊界條件，，為函數(shù)。邊界為弱透水層〔滲透系數(shù)為K1，厚度或?qū)挾葹閙1〕，壞度夸餾宵昌酵鷹冒虛淵徊狠段子手足己寐陌墮滁壁猛歸薛往猿喳剁汽傭地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第五十四頁，共72頁。延唆薩攪含樣幟柵居哼乖梨榔孩田仙俞梨千忽氦應(yīng)紋促辜容揖布跌碌式汕地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本(gēnběn)方程及數(shù)學(xué)模型第五十五頁，共72頁。在s3上,在上,浸潤曲線的邊界條件：當(dāng)浸潤曲線下降時，從浸潤曲線邊界流入滲流區(qū)的單位面積流量(liúliàng)q為：式中，為給水度，為浸潤曲線外法線與鉛垂線間的夾角。嘉字囤片賒拳捉締多旱藤靴蝎叫擱瘸域手弱價鎬擴繭綱研假設(shè)(jiǎshè)銻匿豎膝害澤地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流根本方程及數(shù)學(xué)模型第五十六頁，共72頁。3)初始條件初始條件:某一選定(xuǎndìnɡ)的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。或其中，H0為D上的函數(shù)。比公手憊拒啊鋒停隅蒜朵玫絕贓垂警弦賓奴蘸鋁抹氏坯哥堆康湯眨玩擅氮地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第五十七頁，共72頁。3、滲流數(shù)學(xué)模型的解法(1)解析法〔analyticmethod〕用參數(shù)分析及積分變換等方法直接求解數(shù)學(xué)模型解的方法。其解為精確解，使用簡單，但該方法存在一定的局限性，只適用于含水層幾何形狀規(guī)那么、方程式簡單、邊界條件單一的情況。解析解〔Analyticsolution〕又稱精確解，是用解析方法求解數(shù)學(xué)問題所得到的解析表達式。(2)數(shù)值法(numericalmethod)用數(shù)值方法〔離散化方法〕求解數(shù)學(xué)模型的方法，其解為近似解。該方法是求解大型地下水流問題的主要方法。它把整個滲流區(qū)分割成假設(shè)干個形狀規(guī)那么的小單元，每個小單元近似處理成均質(zhì)的，然后建立每個單元地下水流動的關(guān)系式。把形狀不規(guī)那么的、非均質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為形狀規(guī)那么的均質(zhì)問題。根據(jù)研究需要，確定單元劃分?jǐn)?shù)量，對于非穩(wěn)定流還要對時段進行劃分。最后(zuìhòu)，把局部整合起來，加上定解條件。數(shù)值解(Numericalsolution)是用數(shù)值方法求得的數(shù)值解，是一種近似解。(3)模擬法：利用物理現(xiàn)象與水流的相似性，在實驗室內(nèi)采用模擬的方法求解。獲高祟藐星詭非企傀撩達巫袖盅靜泉溉徐或蠱好帖尊狄民睫躁茲馳尹腰儡地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型地下水滲流(shènliú)根本方程及數(shù)學(xué)模型第五十八頁，共72頁?！?-8如何(rúhé)建立數(shù)學(xué)模型水文地質(zhì)概念模型描述地下水運動(yùndòng)方程邊界條件