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文檔簡介
七年級數(shù)學(xué)(上冊)
第一章有理數(shù)及其運算
正整數(shù)(如:1,2,3)
整數(shù)零(0)
負整數(shù)(如:1,2,3)
有理數(shù)
11
正分數(shù)(如:,,5.3,3.8)
23
分數(shù)11
負分數(shù)(如:,,2.3,4.8)
23
1.整數(shù):包含正整數(shù)和負整數(shù),分數(shù)包含正分數(shù)和負分數(shù)。正整數(shù)和正分數(shù)通稱為正數(shù),負整數(shù)和負分數(shù)通稱為負
數(shù)。正整數(shù)和負整數(shù)通稱為自然數(shù)
2.正數(shù):都比0大,負數(shù)比0小,0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。
正整數(shù)、0、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。
數(shù)軸的三要素:原點、正方向、單位長度(三者缺一不可)。
任何一個有理數(shù),都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。(反過來,不能說數(shù)軸上所有的點都表示有理數(shù))
3.相反數(shù):只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù),a和-a互為相反數(shù),0的相反數(shù)是0。
在任意的數(shù)前面添上“-”號,就表示原來的數(shù)的相反數(shù)。
在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個點,位于原點的側(cè),且到原點的距離相等。
數(shù)軸上兩點表示的數(shù),右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點的右邊,負數(shù)在原點的左邊。
4.絕對值:數(shù)軸上一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值,用“||”表示。
正數(shù)的絕對值是它本身,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0。
a(a0)越來越大
a(a0)
|a|0(a0)或|a|
a(a0)-3-2-10123
a(a0)
即:當a是正數(shù)時,aa;當a是負數(shù)時,aa;當a=0時,a0
5.絕對值的性質(zhì):除0外,絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個,它們互為相反數(shù);
互為相反數(shù)的兩數(shù)(除0外)的絕對值相等;
任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù),即|a|≥0
①對任何有理數(shù)a,都有|a|≥0
②若|a|=0,則|a|=0,反之亦然
③若|a|=b,則a=±b
④對任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a|
6.比較兩個負數(shù)的大小,絕對值大的反而小。比較兩個負數(shù)的大小的步驟如下:
①先求出兩個數(shù)負數(shù)的絕對值;
②比較兩個絕對值的大??;
③根據(jù)“兩個負數(shù),絕對值大的反而小”做出正確的判斷。
7.兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小。
8.數(shù)軸上的兩個點表示的數(shù),右邊的總比左邊的大。
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七年級數(shù)學(xué)(上冊)
第二章有理數(shù)的運算
1.有理數(shù)加法法則:·同號兩個數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加。
·異號的兩個數(shù)相加,絕對值不等時,取絕對值較大的數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小
的絕對值。互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0.
·一個數(shù)同0相加仍得這個數(shù)
2.靈活運用運算律,使用運算簡化,通常有下列規(guī)律:
①互為相反的兩個數(shù),可以先相加;
②符號相同的數(shù),可以先相加;
③分母相同的數(shù),可以先相加;
④幾個數(shù)相加能得到整數(shù),可以先相加。
3.加法交換律:abba
4.加法結(jié)合律:(ab)ca(bc)
5.有理數(shù)減法法則:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。
6.有理數(shù)乘法法則:兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘積仍得0。
7.有理數(shù)減法運算時注意兩“變”:①改變運算符號;
②改變減數(shù)的性質(zhì)符號(變?yōu)橄喾磾?shù))
8.有理數(shù)減法運算時注意一個“不變”:被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換,也就是說,減法沒有交換律。
有理數(shù)的加減法混合運算的步驟:①寫成省略加號的代數(shù)和。在一個算式中,若有減法,應(yīng)由有理數(shù)的減法法則
轉(zhuǎn)化為加法,然后再省略加號和括號;
②利用加法則,加法交換律、結(jié)合律簡化計算。
(注意:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),當有減法統(tǒng)一成加法時,減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)。)
135
9.倒數(shù):如果兩個數(shù)互為倒數(shù),則它們的乘積為1。(如:-2與、與…等)
253
10.有理數(shù)乘法法則:①兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,絕對值相乘。
②任何數(shù)與0相乘,積仍為0。
11.乘法交換律:abba
12.乘法結(jié)合律:(ab)ca(bc)
13.乘法分配律:(ab)cacbc
乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運算中同樣適用。
14.有理數(shù)乘法運算步驟:①先確定積的符號;
②求出各因數(shù)的絕對值的積。
乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。注意:
①零沒有倒數(shù)
②求分數(shù)的倒數(shù),就是把分數(shù)的分子分母顛倒位置。一個帶分數(shù)要先化成假分數(shù)。
③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。
15.有理數(shù)除法法則:·除以一個不等于0的數(shù),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
·兩個有理數(shù)相除,同號得正,異號得負,絕對值相除。0除以任何數(shù)都得0,且0不能作除
數(shù),否則無意義。
16.有理數(shù)的乘方:求n個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。
n個a
aaaaan指數(shù)
底數(shù)
冪第2頁
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在an中a叫做底數(shù),n叫做指數(shù),an讀作a的n次冪(或a的n次方)。
注意:①一個數(shù)可以看作是本身的一次方,如5=51;
②當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時,要先用括號將底數(shù)括上,再在右上角寫指數(shù)。
17.乘方的運算性質(zhì):
①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù);
②負數(shù)的奇次冪是負數(shù),負數(shù)的偶次冪是正數(shù);
③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負數(shù);
④1的任何次冪都得1,0的任何次冪都得0;
⑤-1的偶次冪得1;-1的奇次冪得-1;
⑥在運算過程中,首先要確定冪的符號,然后再計算冪的絕對值。
18.有理數(shù)混合運算法則:①先算乘方,再算乘除,最后算加減。
②如果有括號,先算括號里面的。
19.混合運算順序:·先算乘方,再乘除,后加減;
·同級運算,從左到右進行;
·如有括號,先算括號內(nèi)的運算,按小括號、中括號、大括號依次進行。
20.近似數(shù)和有效數(shù)字:
與實際相符的數(shù),叫做準確數(shù)
與實際接近的數(shù),叫近似數(shù)
21.有效數(shù)字:一般地,一個近似數(shù)四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位這時,從左邊第一個非零數(shù)
字起到精確到那一位數(shù)字止,所有的數(shù)字
第三章實數(shù)
1.一般地如果一個數(shù)的平方根等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根,也叫a的二次方根.
一個正數(shù)有正負兩個平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負數(shù)沒有平方根.
正數(shù)的平方根稱為算數(shù)平方根.
2.實數(shù)定義:有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。
3.實數(shù)的分類:無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)。
有理數(shù):整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。
無理數(shù)定義:
即非有理數(shù)之實數(shù),不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式,小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個,并且不會循環(huán)。
常見的無理數(shù)有大部分的平方根、π和e(其中后兩者同時為超越數(shù))等。
無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。如圓周率π、等。
無理數(shù)性質(zhì):
無限不循環(huán)的小數(shù)就是無理數(shù)。換句話說,就是不可以化為整數(shù)或者整數(shù)比的數(shù)
性質(zhì)1無理數(shù)加(減)無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)
性質(zhì)2無理數(shù)乘(除)無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)
性質(zhì)3無理數(shù)加(減)有理數(shù)一定是無理數(shù)
性質(zhì)4無理數(shù)乘(除)一個非0有理數(shù)一定是無理數(shù)
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無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別:
1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時,有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),
比如:4=4.0,=0.8,=0.33333……
而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù),
比如:=1.414213562…………
根據(jù)這一點,人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù);
2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比,而無理數(shù)不能。根據(jù)這一點,有人建議給無理數(shù)摘掉,把有理數(shù)改叫為
“比數(shù)”,把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。
無理數(shù)的識別:
判斷一個數(shù)是不是無理數(shù),關(guān)鍵就看它能不能寫出無限不循環(huán)小數(shù),而把無理數(shù)寫成無限不循環(huán)小數(shù),不但麻煩,
而且還是我們利用現(xiàn)有知識無法解決的難題。
初中常見的無理數(shù)有三種類型:
(1)含根號且開方開不盡的方根,但切不可認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù);
(2)化簡后含π的式子;
(3)不循環(huán)的無限小數(shù)。
掌握常見無理數(shù)的類型有助于識別無理數(shù)。
4.實數(shù)的大小比較:用數(shù)軸表示數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大:正數(shù)>0>負數(shù)
(1)差值比較法:>0>,=0,<0<
(2)商值比較法:若為兩正數(shù),則>>;<<
(3)絕對值比較法:若為兩負數(shù),則><<>
(4)兩數(shù)平方法:如實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。平面直角坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對之間一一對應(yīng)。
數(shù)a的相反數(shù)是-a
一般地如果一個數(shù)的立方根等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根,也叫a的三次方根
求一個數(shù)的立方根的運算,叫做開立方.
一個正數(shù)有一個立方根,一個負數(shù)有一個立方根;0的立方根是0.
在實數(shù)運算時,有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)同樣適用。先算乘方和開平,再算乘除,最后算加減,如果遇到
括號,則先進行括號里的運算。
規(guī)律:正數(shù)的平方根中被開方數(shù)大的較大。正數(shù)的立方根中被開方數(shù)大的較大。
被開方數(shù)相同時,開方的次數(shù)越大結(jié)果越小。
第四章代數(shù)式
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七年級數(shù)學(xué)(上冊)
1.代數(shù)式的概念:
用運算符號(加、減、乘除、乘方、開方等)把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式...。單獨
的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。
注意:①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外,還可以有括號;
②代數(shù)式中不含有“=、>、<、≠”等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式,但等號和不等號兩邊的式子一般
都是代數(shù)式;
③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個代數(shù)式有意義,是實際問題的要符合實際問題的意義。
2.代數(shù)式的書寫格式:
①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號,通常省略不寫,如vt;
②數(shù)字與字母相乘時,數(shù)字應(yīng)寫在字母前面,如4a;
17
③帶分數(shù)與字母相乘時,應(yīng)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)后與字母相乘,如2a應(yīng)寫作a;
33
④數(shù)字與數(shù)字相乘,一般仍用“×”號,即“×”號不省略;
4
⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時,一般按照分數(shù)的寫法來寫,如4÷(a-4)應(yīng)寫作;注意:
a4
分數(shù)線具有“÷”號和括號的雙重作用。
⑥在表示和(或)差的代差的代數(shù)式后有單位名稱的,則必須把代數(shù)式括起來,再將單位名稱寫
在式子的后面,如(a2b2)平方米
3.代數(shù)式的系數(shù):
代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)......。如3x,4y的系數(shù)分別為3,4。
注意:①單個字母的系數(shù)是1,如a的系數(shù)是1;
②只含字母因數(shù)的代數(shù)式的系數(shù)是1或-1,如-ab的系數(shù)是-1。a3b的系數(shù)是1
4.代數(shù)式的項:代數(shù)式6x22x7表示6x2、-2x、-7的和,6x2、-2x、-7是它的項,其中把不含字母的項叫做常數(shù)
項
注意:在交待某一項時,應(yīng)與前面的符號一起交待。
5.單項式:由數(shù)與字母的乘積組成的式子叫做單項式。
6.系數(shù):單項式前面的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。
7.單項式的次數(shù):一個單項式中,所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。
8.多項式:幾個單項式的和叫做多項式。其中,每個單項式叫做多項式的項,不含字母的
項叫做常數(shù)項。
9.多項式的次數(shù):多項式里次數(shù)最高項的次數(shù),叫做這個多項式的次數(shù)。
10.整式:單項式與多項式統(tǒng)稱整式。
11.同類項:所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。
注意:①判斷幾個代數(shù)式是否是同類項有兩個條件:a.所含字母相同;b.相同字母的指數(shù)也相同。這兩個條件
缺一不可;
②同類項與系數(shù)無關(guān),與字母的排列順序無關(guān);
③幾個常數(shù)項也是同類項。
。
12.合并同類項:把多項式中的同類項合成一項,叫做合并同類項。
合并同類項后,所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和,且字母部分不變。
①合并同類項的理論根據(jù)是逆用乘法分配律;
②合并同類項的法則是把同類項的系數(shù)相加,所得結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變。
注意:
①如果兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù),合并同類項后結(jié)果為0;
第5頁
七年級數(shù)學(xué)(上冊)
②不是同類項的不能合并,不能合并的項,在每步運算中都要寫上;
③只要不再有同類項,就是最后結(jié)果,結(jié)果還是代數(shù)式。
13.去括號時符號變化規(guī)律:
如果括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號不變;
如果括號外的因數(shù)是負數(shù),去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。
14.根據(jù)分配律去括號:
括號前面是“+”號看成+1,括號前面是“-”號看成-1,根據(jù)乘法的分配律用+1或-1去乘括號里的每一項以達
到去括號的目的。
注意:
①去括號時,要連同括號前面的符號一起去掉;
②去括號時,首先要弄清楚括號前是“+”號還是“-”號;
③改變符號時,各項都變號;不改變符號時,各項都不變號。
一般地,幾個整式相加減,如果有括號就先去括號,然后再合并同類項。
第五章一元一次方程
1.含有未知數(shù)的等式叫做方程,使方程左右兩邊的值都相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一次方程。
運用方程解決問題:(1)設(shè)未知數(shù)。(2)找出相等的數(shù)量關(guān)系,(3)根據(jù)相等關(guān)系列方
程,解決問題。
2.等式的性質(zhì):1、等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等。
如果ab,那么acbc
2、等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等。
如果ab,那么acbc
ab
如果ab(c0),那么
cc
3.移項:把等式一邊的某項變號后移到另一邊,叫做移項
4.解方程步驟:解一元一次方程一般要去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系
5.數(shù)化為1等,最后得出xa的形式。
第六章圖形的初步認識
1.線段、射線、直線
正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別:
名稱圖形表示方法端點長度
l直線AB(或BA)
直線無端點無法度量
AB直線l
射線OM射線OM1個無法度量
l線段AB(或BA)
線段2個可度量長度
AB線段l
經(jīng)過兩點有一條直線,并且只有一條直線。(兩點確定一條直線).
A
2..比較線段的長短
第6頁OBb
圖1圖2
七年級數(shù)學(xué)(上冊)
線段公理:兩點間線段最短;兩之間線段的長度叫做這兩點之間的距離.
比較線段長短的兩種方法:
①圓規(guī)截取比較法;
②刻度尺度量比較法
.1
圖β
用刻度尺可以畫出線段的中點,線段的和、差、倍、分;3圖4
用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.
兩點之間的所有連線中,線段最短。(兩點間的線段長度,叫做這兩點的距離)
兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離........。
3角的度量與表示
角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角;
這個公共端點叫做角的頂點;
這兩條射線叫做角的邊.
角的表示法:角的符號為“∠”終邊
①用三個字母表示,如圖1所示∠
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