大綱版數(shù)學高考名師一輪復習教案83拋物線方程及性質(zhì)microsoftword文檔doc高中數(shù)學

19/198．3拋物線方程及性質(zhì)一、明確復習目標掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì),了解圓錐曲線的初步應用．二．建構知識網(wǎng)絡1．拋物線的定義：到一個定點F的距離與到一條定直線L的距離相等的點的軌跡．2．標準方程：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0)圖形略：3．幾何性質(zhì)：對于拋物線y2=2px要掌握如下性質(zhì)：對稱軸,頂點坐標,焦點坐標,準線方程．離心率,焦準距＝,焦半經(jīng)rmin＝4．焦點弦：對于y2=2px,過焦點的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有，通徑：過焦點垂直于軸的弦長為。5．焦半徑為直徑的圓與y軸相切,焦點弦為直徑的圓與準線相切．三、雙基題目練練手1．(2022江蘇)拋物線上的一點M到焦點的距離為1，那么點M的縱坐標是（）A． B． C． D．02．(2022上海)過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，那么這樣的直線 （）A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在3．焦點在直線x－2y－4=0上的拋物線的標準方程是()A．y2=16xB．y2=16xC．x2=－8yD．以上說法都不對．4．過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，假設PF與FQ的長分別為p、q,那么等于()ABCD5．以以下圖所示的直角坐標系中，一運動物體經(jīng)過點A（0，9），其軌跡方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）為x軸上的給定區(qū)間．為使物體落在D內(nèi)，a的取值范圍是___________；AAxOy676．已知拋物線y2=8x上兩個動點A、B及一個定點M（x0,y0），F(xiàn)是拋物線的焦點，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，線段AB的垂直平分線與x軸交于一點N那么點N的坐標是_____________（用x0表示）；簡答：1-4．BBDC；4．考慮特殊位置,令焦點弦PQ平行于軸,5．把點A的坐標（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即運動物體的軌跡方程為y=ax2+9．令y=0，得ax2+9=0，即x2=－．假設物體落在D內(nèi)，應有6＜＜7，解得－＜a＜－．6.N(x0+4,0)四、經(jīng)典例題做一做【例1】給定拋物線y2=2x，設A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d，試求d的最小值．解：設P（x0，y0）（x0≥0），那么y02=2x0，∴d=｜PA｜===．∵a＞0，x0≥0，∴（1）當0＜a＜1時，1－a＞0，此時有x0=0時，dmin==a．（2）當a≥1時，1－a≤0，此時有x0=a－1時，dmin=．【例2】過拋物線y2=2px（p＞0）焦點F的弦AB，點A、B在拋物線準線上的射影為A1、B1，求∠A1FB1．解法1：由拋物線定義及平行線性質(zhì)知∠A1FB1=180°－（∠AFA1+∠BFB1）=180°－（180°－∠A1AF）－（180°－∠B1BF）=（∠A1AF+∠B1BF）=90°．法2：設弦AB的方程是：得,設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理得y1y2=-p2又,∴從而知∠A1FB1=90°．提煉方法：1．平面幾何法與定義法結合,簡捷高效;2．弦AB的方程是：(此題不存在AB垂直于y軸的情況),避開了斜率存在性的討論,解題中應注意靈活運用．【例3】如以以下圖所示，直線l1和l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等．假設△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段C的方程．解：以直線l1為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由條件可知，曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段．其中A、B分別為曲線段C的端點．設曲線段C的方程為y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB為A、B的橫坐標，p=|MN|，所以M（－，0）、N（，0）．由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17， ①（xA－）2+2pxA=9． ②①②聯(lián)立解得xA=，代入①式，并由p>0，或解得p=4，p=2，或解得xA=1xA=2．因為△AMN為銳角三角形，所以>xA．所以故舍去P=2，P=4，所以故舍去xA=2．xA=1．由點B在曲線段C上，得xB=|BN|－=4．綜上，曲線段C的方程為y2=8x（1≤x≤4，y>0）．提煉方法：1．熟練運用定義確定曲線C是拋物線段;2．合理選擇坐標系,確定標準方程;3．運用距離公式求出標準方程中的待定系數(shù);4．特別注意范圍的限定．【例4】(2022全國卷Ⅲ)設兩點在拋物線上，l是AB的垂直平分線．（Ⅰ）當且僅當取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結論； (Ⅱ)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍． 解：（Ⅰ）兩點到拋物線的準線的距離相等．∵拋物線的準線是x軸的平行線，不同時為0，∴上述條件等價于∵，∴上述條件等價于即當且僅當時，l經(jīng)過拋物線的焦點F．另解：（Ⅰ）∵拋物線，即，∴焦點為（1）直線的斜率不存在時，顯然有（2）直線的斜率存在時，設為k， 截距為b即直線：y=kx+b由已知得：即的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點所以當且僅當=0時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F（II）(理)設l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為；過點A、B的直線方程可寫為，所以滿足方程得；A，B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式即設AB的中點N的坐標為，那么由即得l在y軸上截距的取值范圍為（）．法二:y1=2x12,y2=2x22,相減得,中點在拋物線內(nèi)必【研討．欣賞】(2022山東文)已知動圓過定點，且與直線相切，其中．（I）求動圓圓心的軌跡的方程；（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標．解：（I）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為（II）如圖，設，由題意得。又直線的傾斜角滿足，故?！嘀本€的斜率存在，否那么，的傾斜角。從而設直線的方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達定理知①由，得。將①式代入上式整理化簡，得：此時直線的方程可表示為：，即。∴直線恒過定點五．提煉總結以為師1．求拋物線方程的方法：待定系數(shù)法,定義法,直接法;2．涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時,要注意運用“設而不求”的策略,防止求交點坐標的復雜運算．3．解決焦點弦問題時，應注意拋物線的定義和焦點弦的幾何性質(zhì)應用，注意拋物線上的點,焦點,,準線三者之間的聯(lián)系．同步練習8．3拋物線方程及性質(zhì)【選擇題】1．(2022全國)拋物線上一點A的縱坐標為4，那么點A與拋物線焦點的距離為（）A．2B．3C．4D．52已知點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點,當最小時,M點坐標是()ABCD3．一個酒杯的軸截面為拋物線的一局部,它的方程為,在杯內(nèi)放一個玻璃球,要使球觸及到杯的底部,那么玻璃球的半徑的范圍為()ABCD4．設拋物線的軸和它的準線交于E點,經(jīng)過焦點F的直線交拋物線于P、Q兩點(直線PQ與拋物線的軸不垂直),那么與的大小關系為()ABCD不確定【填空題】5．拋物線的動弦AB長為,那么AB中點M到軸的最短距離是________6．對于頂點在原點的拋物線，給出以下條件：①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；④拋物線的通徑的長為5；⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）．能使這拋物線方程為y2=10x的條件是____________．（要求填寫適宜條件的序號）簡答提示：1－4：DCCC；2．把轉化為M到準線的距離,然后求的最小值3．設圓心A(0,t),拋物線上的點為P(x,y),列出轉化為二次函數(shù)問題。4．向量解法：由A、F、B共線得(重要結論),進而得出5．可證弦AB通過焦點F時,所求距離最短，答案6．由拋物線方程y2=10x可知②⑤滿足條件．答案：②⑤【解答題】7．(2022春北京文)如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于M（x1,y1）,N(x2,y2)兩點．（1）求x1x2與y1y2的值；（2）求證：OM⊥ON．（Ⅰ）解：直線l的方程為①代入y2=2x消去y可得②點M，N的橫坐標x1與x2是②的兩個根，由韋達定理得（Ⅱ）證明：設OM，ON的斜率分別為k1,k2,8．（本小題總分值14分）(2022年高考·廣東卷17)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO（如圖4所示）．（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？假設存在，請求出最小值；假設不存在，請說明理由．解：（I）設△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),那么…（1）∵OA⊥OB，即，……(2)又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得∴，所以重心為G的軌跡方程為．（II）由（I）得當且僅當即時，．所以△AOB的面積存在最小值，且最小值為1．9．（本小題總分值14分）(2022年春考·北京卷·理18)如圖，O為坐標原點，直線在軸和軸上的截距分別是和，且交拋物線于、兩點．（1）寫出直線的截距式方程；（2）證明：；（3）當時，求的大小．（Ⅰ）解：直線l的截距式方程為①（Ⅱ）證明：由①及y2=2px消去x可得②點M，N的縱坐標y1,y2為②的兩個根，故（Ⅲ）解：設OM，ON的斜率分別為k1,k2,10．（2000春全國）已知拋物線y2＝4px（p＞0），O為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程．分析：點M隨著A、B兩點的變化而變化，點M是OM與AB的交點，而A、B為拋物線上的動點，點M與A、B的直接關系不明顯，因此需引入?yún)?shù)．解法一：設M（x0，y0），那么kOM=，kAB=－，直線AB方程是y=－（x－x0）+y0．由y2=4px可得x=，代入上式整理得x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0． ①此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點的縱坐標，∴A（，y1）、B（，y2）．∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=－1．∴·=－1．∴y1y2=－16p2．根據(jù)根與系數(shù)的關系，由①可得y1·y2=，∴=16p2．化簡，得x02+y02－4px0=0，即x2+y2－4px=0（除去原點）為所求．∴點M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點．解法二：設M（x，y），直線AB方程為y=kx+b，由OM⊥AB得k=－．由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb－4p）+b2=0．所以x1x2=．消去x，得ky2－4py+4pb=0．所以y1y2=．由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2，所以=－，b=－4kp．故y=kx+b=k（x－4p）．用k=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）．解法三：設點M的坐標為（x，y），直線OA的方程為y=kx，解得A點的坐標為（，），顯然k≠0，那么直線OB的方程為y解得A點的坐標為（，），由y=kx，由y2=4px，類似地可得B點的坐標為（4pk2，－4pk），從而知當k≠±1時，kAB==．故得直線AB的方程為y+4pk=（x－4pk2），即（－k）y+4p=x，①直線OM的方程為y=－（－k）x．②可知M點的坐標同時滿足①②，由①及②消去k便得4px=x2+y2，即（x－2p）2+y2=4p2，但x≠0，當k=±1時，容易驗證M點的坐標仍適合上述方程．故點M的軌跡方程為（x－2p）2+y2=4p2（x≠0），它表示以點（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓．【探索題】（2022遼寧）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足．設圓的方程為（=1\*ROMANI）證明線段是圓的直徑;（=2\*ROMANII）當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為時，求P的值。（I）證法一：∵，∴，即，整理得．∴ eq\o\ac(○,1) 設點是以線段為直徑得圓上得任意一點，那么即展開上式并將eq\o\ac(○,1)帶入得故線段是圓的直徑．證法二：同法