彈性力學(xué)第四章

彈性力學(xué)第四章第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

根據(jù)彈性理論的小變形假定，上述一般表達(dá)式可以用泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上（包括二階）小量，例如第一式展開，得到

這里的等等表示函數(shù)對(duì)應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量為零時(shí)的值。

由于無初應(yīng)力，即。所以，應(yīng)力應(yīng)變最一般形式在小變形情況下可簡(jiǎn)化為第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

上述關(guān)系是胡克（Hooke）在復(fù)雜應(yīng)力條件下的推廣，因此被稱為廣義胡克定律。式中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，一共有36個(gè)。如果物體是由非均勻材料組成的，這時(shí)，各處就有不同的彈性效應(yīng)。因此，一般來說，彈性常數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)。但若物體是有均勻材料組成的，則對(duì)于物體內(nèi)各點(diǎn)來說，承受同樣的應(yīng)力，必產(chǎn)生相同的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點(diǎn)有相同的應(yīng)變，必承受相同的應(yīng)力。這一點(diǎn)反映在廣義胡克定律中，是常數(shù)。第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一§4.3各向異性彈性體（一）極端各向異性彈性體格林公式：將格林公式中代入廣義胡克定律表達(dá)式的第二式，有第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

上式對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，有（a）同樣，將格林公式中代入廣義胡克定律表達(dá)式的第五式，有上式對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，有（b）比較（a）式與（b）式，有同樣，有這樣就證明了，對(duì)于極端的各向異性體，只有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

如果物體內(nèi)的每一點(diǎn)都存在這樣一個(gè)平面，和該面對(duì)稱的兩個(gè)方向具有相同的彈性，則該平面稱為物體的彈性對(duì)稱面，而垂直于彈性對(duì)稱面的方向，稱為物體的彈性主方向。如果設(shè)平面為彈性對(duì)稱面，于是做下圖所示的坐標(biāo)變換后，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)保持不變。（二）具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體

新老坐標(biāo)間的關(guān)系第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量與老坐標(biāo)應(yīng)力分量的關(guān)系是：轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量與老坐標(biāo)應(yīng)力分量的關(guān)系是：第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量和應(yīng)力分量的變換公式代入，有則新的本構(gòu)方程為：第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一要使上式與原胡克公式一樣，必須：

則原本構(gòu)方程變?yōu)椋猴@然，彈性常數(shù)從21個(gè)減少到13個(gè)。第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一（三）正交各向異性彈性體假定、平面為彈性體的對(duì)稱面第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一代入轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系式，可得代入廣義胡克定律的表達(dá)式，有第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

要與坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)前的一致，則有那么，將彈性對(duì)稱面、得到的彈性常數(shù)合起來，就得到顯然，此時(shí)的彈性常數(shù)只有9個(gè)。這種彈性體稱為正交各性彈性體。第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一(四)橫觀各向同性彈性體

每一點(diǎn)都有一個(gè)各向同性平面，即在這個(gè)平面內(nèi)，沿各個(gè)方向都具有相同的彈性。這種彈性體稱為橫觀各向同性彈性體。假定某彈性體的在平面上各向同性。首先我們考察一個(gè)比較特色的轉(zhuǎn)軸，即讓坐標(biāo)軸饒軸轉(zhuǎn)動(dòng)900，則新老坐標(biāo)之間的關(guān)系是：第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一同樣，代入坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸后應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的公式，有則新坐標(biāo)下的胡克定律為：對(duì)比上邊兩式，則有對(duì)比以前第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一就得到此時(shí)，彈性常數(shù)為6個(gè)。第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

考察更一般的情況，對(duì)于在平面為各向同性面，則整個(gè)坐標(biāo)系饒軸不論轉(zhuǎn)動(dòng)角度為多大，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變。第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一代入轉(zhuǎn)軸后應(yīng)變分量與應(yīng)力分量的公式，有經(jīng)過上述變換后，胡克定律的第六式仍成立，第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一所以，對(duì)于橫觀各向同性彈性體來說，其彈性常數(shù)為5個(gè)。第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一§4.4

各向同性彈性體

各向同性彈性體就是沿物體的各個(gè)方向，其彈性性質(zhì)相同。在推導(dǎo)橫觀各向同性彈性體彈性常數(shù)的關(guān)系時(shí)，我們假定平面上的各點(diǎn)各向同性，物體彈性只隨值變化。進(jìn)一步，如果彈性體的性質(zhì)也不隨軸變化，那么，這個(gè)物體就滿足各向同性的條件了。所以，我們將坐標(biāo)再做如下圖變化，討論各彈性常數(shù)間的關(guān)系就可以了。第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一坐標(biāo)變換后，各應(yīng)變分量與應(yīng)力分量間的關(guān)系就變?yōu)椋簬霗M觀各向同性彈性體的胡克定律，有要是這兩個(gè)式子一樣，則有

第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一那么,各向同性胡克定律為:如果令第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共23頁，2023年，2月20日