擴散問題的偏微分模型

擴散問題的偏微分模型第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一物質(zhì)的擴散問題，在石油開采、環(huán)境污染、疾病流行、化學(xué)反應(yīng)、新聞傳播、煤礦瓦斯爆炸、農(nóng)田墑情、水利工程、生態(tài)問題、房屋基建、神經(jīng)傳導(dǎo)、藥物在人體內(nèi)分布以及超導(dǎo)、液晶、燃燒等諸多自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域，十分普遍地存在著。凡與反映擴散有關(guān)的現(xiàn)象，大都能由線性或非線性拋物型偏微分方程作為數(shù)學(xué)模型來定量或定性地加以解決。第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一

有衰減的擴散問題：設(shè)有一擴散源，某物質(zhì)從此擴散源向四周擴散，沿x，y，z三個方向的擴散系數(shù)分別為常數(shù)，衰減（例如吸收、代謝等）使質(zhì)量的減少與濃度成正比，擴散前周圍空間此物質(zhì)的濃度為零，估計物質(zhì)的分布。第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)u(x,y,z,t)是t時刻點(x,y,z)處某物質(zhì)的濃度。任取一個閉曲面S，它所圍的區(qū)域是，由于擴散，從t到t+t時刻這段時間內(nèi)，通過S流入

的質(zhì)量為其中a2，b2，c2

分別是沿x，y，z方向的擴散系數(shù)。第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一由高斯公式

由于衰減，內(nèi)的質(zhì)量減少為

其中k2

為衰減系數(shù)。由物質(zhì)不滅定律，在t到t+t時刻間內(nèi)由于擴散與衰減的合作用，積存于內(nèi)的質(zhì)量為M1

M2。第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一換一個角度看，在t到t+t時刻間內(nèi)由于濃度的變化引起的質(zhì)量增加為第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一顯然，M3

=M1M2，即由t，t，的任意性得：

上述方程是常系數(shù)線性拋物型方程，它就是有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型。第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)擴散源在點(x0,y0,z0)處，則此擴散問題滿足Cauchy問題：其中M為擴散源的質(zhì)量。用傅立葉變換可求得Cauchy問題的解析解為第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一但值得注意的是，在實際應(yīng)用中，參數(shù)a，b，c，k往往是很難獲得的，通常都是利用觀測取樣值進行估計，從而得出u(x,y,z,t)的近似表達式。

參數(shù)估計：目的是對上式中出現(xiàn)的參數(shù)a，b，c，k進行估計。已知條件：①點源（擴散源）的質(zhì)量M；②點源（擴散源）的位置：(x0,y0,z0)；③t0

時刻的觀測取樣值(xi,yi,zi,mi)，mi

為t0

時刻(xi,yi,zi)處物質(zhì)的濃度，i=1,…,n。第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一首先考慮取樣時刻。事實上，取樣時刻是未知的，但若設(shè)取樣時刻為t0，作變量替換t=t0，則有

=t/t0，從而即第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一上式仍然是常系數(shù)線性拋物型方程，與有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型形狀完全一致，故可令觀測取樣值的取樣時刻為t0=1。于是，(xi,yi,zi,mi)滿足第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一其次考慮參數(shù)估計。對上式兩端取對數(shù)，有

第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一令第13頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一則有關(guān)系式：W=lnu(x,y,z,1)=X+Y+Z+由于我們獲得的觀測取樣值(xi,yi,zi,mi)可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的觀測取樣值(Xi,Yi,Zi,Wi)，于是利用多元回歸分析可以求出、、、的估計值，從而得到參數(shù)a，b，c，k的估計值