皮爾遜相關(guān)系數(shù)

皮爾遜相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語01函數(shù)介紹數(shù)學(xué)特性分析定義解釋目錄03050204基本信息在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，皮爾遜相關(guān)系數(shù)(Pearsoncorrelationcoefficient），又稱皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)（Pearsonproduct-momentcorrelationcoefficient，簡稱PPMCC或PCCs），是用于度量兩個(gè)變量X和Y之間的相關(guān)（線性相關(guān)），其值介于-1與1之間。函數(shù)介紹函數(shù)介紹在自然科學(xué)領(lǐng)域中，皮爾遜相關(guān)系數(shù)廣泛用于度量兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度，其值介于-1與1之間。它是由卡爾·皮爾遜從弗朗西斯·高爾頓在19世紀(jì)80年代提出的一個(gè)相似卻又稍有不同的想法演變而來的。這個(gè)相關(guān)系數(shù)也稱作“皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)”。圖1.皮爾遜相關(guān)系數(shù)舉例圖1中，幾組的點(diǎn)集，以及各個(gè)點(diǎn)集中和之間的相關(guān)系數(shù)。我們可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)反映的是變量之間的線性關(guān)系和相關(guān)性的方向（第一排），而不是相關(guān)性的斜率（中間），也不是各種非線性關(guān)系（第三排）。請注意：中間的圖中斜率為0，但相關(guān)系數(shù)是沒有意義的，因?yàn)榇藭r(shí)變量是0。定義定義兩個(gè)變量之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)定義為兩個(gè)變量之間的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的商：上式定義了總體相關(guān)系數(shù)，常用希臘小寫字母作為代表符號。估算樣本的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可得到皮爾遜相關(guān)系數(shù)，常用英文小寫字母代表：亦可由樣本點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)均值估計(jì)，得到與上式等價(jià)的表達(dá)式：其中、及分別是對樣本的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)、樣本平均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。數(shù)學(xué)特性數(shù)學(xué)特性總體和樣本皮爾遜系數(shù)的絕對值小于或等于1。如果樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)精確的落在直線上（計(jì)算樣本皮爾遜系數(shù)的情況），或者雙變量分布完全在直線上（計(jì)算總體皮爾遜系數(shù)的情況），則相關(guān)系數(shù)等于1或-1。皮爾遜系數(shù)是對稱的：。皮爾遜相關(guān)系數(shù)有一個(gè)重要的數(shù)學(xué)特性是，因兩個(gè)變量的位置和尺度的變化并不會引起該系數(shù)的改變，即它該變化的不變量(由符號確定)。也就是說，我們?nèi)绻岩苿?dòng)到和把Y移動(dòng)到，其中a、b、c和d是常數(shù)，并不會改變兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)（該結(jié)論在總體和樣本皮爾遜相關(guān)系數(shù)中都成立）。我們發(fā)現(xiàn)更一般的線性變換則會改變相關(guān)系數(shù)：由于，，也類似，并且故相關(guān)系數(shù)也可以表示成對于樣本皮爾遜相關(guān)系數(shù)：以上方程給出了計(jì)算樣本皮爾遜相關(guān)系數(shù)簡單的單流程算法，但是其依賴于涉及到的數(shù)據(jù)，有時(shí)它可能是數(shù)值不穩(wěn)定的。解釋解釋皮爾遜相關(guān)系數(shù)的變化范圍為-1到1。系數(shù)的值為1意味著X和Y可以很好的由直線方程來描述，所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)都很好的落在一條直線上，且隨著的增加而增加。系數(shù)的值為?1意味著所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)都落在直線上，且隨著的增加而減少。系數(shù)的值為0意味著兩個(gè)變量之間沒有線性關(guān)系。更一般的,我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)和均落在他們各自的均值的同一側(cè)，則的值為正。也就是說，如果和同時(shí)趨向于大于，或同時(shí)趨向于小于他們各自的均值，則相關(guān)系數(shù)為正。如果和趨向于落在他們均值的相反一側(cè)，則相關(guān)系數(shù)為負(fù)。1.幾何學(xué)的解釋對于沒有中心化的數(shù)據(jù),相關(guān)系數(shù)與兩條可能的回歸線和夾角的余弦值一致。對于中心化過的數(shù)據(jù)(也就是說,數(shù)據(jù)移動(dòng)一個(gè)樣本平均值以使其均值為0)，相關(guān)系數(shù)也可以被視作由兩個(gè)隨機(jī)變量向量夾角的余弦值。一些人傾向于使用非中心化的相關(guān)系數(shù)，比較如下：例如，有5個(gè)國家的國民生產(chǎn)總值分別為10,20,30,50和80億美元。假設(shè)這5個(gè)國家(順序相同)的貧困百分比分別為11%,12%,13%,15%,and18%。令x和y分別為包含上述5個(gè)數(shù)據(jù)的向量:x=(1,2,3,5,8)和y=(0.分析分析樣本相關(guān)系數(shù)的平方,亦稱作coefficientofdetermination,利用簡單線性回歸估計(jì)由引起的的變化。一開始，圍繞它們平均值上的變化可以分解成其中是作回歸分析時(shí)的適應(yīng)值。整理后得兩個(gè)被加數(shù)是由(右邊)引起的的變化和不是由(左邊)