華師大版九年級下第27章圓2圓的認(rèn)識圓周角“衡水賽”一等獎

《圓周角》提高訓(xùn)練一、選擇題1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若∠ADC＝54°，則∠CAB的度數(shù)是（）A．52° B．36° C．27° D．26°2．如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半圓O上一點，D是的中點，∠DAC＝40°，則∠CAB的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°3．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交BC于點D，連接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，則⊙O的半徑為（）A．2 B． C．2﹣ D．14．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為點E，連接CO，AD，則下列說法中不一定成立的是（）A．CE＝DE B．∠BOC＝2∠BAD C．＝ D．AD＝2CE5．如圖，⊙A過原點O，分別與x軸、y軸交于點C和點D，點B在⊙A上，已知∠B＝30°，⊙A的半徑為2，則圓心A的坐標(biāo)是（）A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，）二、填空題6．四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠A：∠B＝4：5，則∠A＝度．7．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為上的一點，且∠BAC＝30°，點B為的中點，則∠ABD的度數(shù)為．8．如圖，⊙O的弦AC與半徑OB交于點D，BC∥OA，AO＝AD，則∠C的度數(shù)為°．9．如圖，四邊形OABC的頂點A、B、C均在⊙O上，圓心角∠AOC＝100°，則∠ABC°．10．已知，AB是⊙O的直徑，AB＝m，C、D是⊙O上兩點，且∠ADC＝α，則AC＝三、解答題11．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與AC，BC交于點E，D，且BD＝CD．（1）求證：∠B＝∠C．（2）過點D作DF⊥OD，過點F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C．（1）求證：四邊形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝3，求⊙O和菱形ABFC的面積．13．如圖，AB是圓O的一條弦，點O在線段AC上，AC＝AB，OC＝3，sinA＝．求：（1）圓O的半徑長；（2）BC的長．14．在⊙O中，的度數(shù)為120°，點P為弦AB上的一點，連結(jié)OP并延長交⊙O于點C，連結(jié)OB，AC．（1）若P為AB中點，且PC＝1，求圓的半徑．（2）若BP：BA＝1：3，請求出tan∠OPA．15．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC＝CD，連接AC，BD．（I）如圖①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；（Ⅱ）如圖②，若點E在對角線AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大?。?/p>

《圓周角》提高訓(xùn)練參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若∠ADC＝54°，則∠CAB的度數(shù)是（）A．52° B．36° C．27° D．26°【分析】連接BC．利用圓周角定理即可解決問題．【解答】解：連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵ABC＝∠ADC＝54°，∴∠CAB＝90°﹣54°＝36°，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半圓O上一點，D是的中點，∠DAC＝40°，則∠CAB的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】先根據(jù)D是的中點，可得AD＝CD，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠C的度數(shù)，由同弧所對的圓心角是圓心角的2倍可得∠AOD的度數(shù)，最后根據(jù)同圓的半徑相等及等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：連接OD，∵D是的中點，∴，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC＝40°，∴∠AOD＝2∠C＝80°，∵OD＝OA，∴∠DAO＝＝50°，∴∠BAC＝50°﹣40°＝10°，故選：A．【點評】本題考查了考查了圓周角定理和弧，弦，圓心角的關(guān)系，熟練掌握這些定理是關(guān)鍵．3．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交BC于點D，連接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，則⊙O的半徑為（）A．2 B． C．2﹣ D．1【分析】先由圓周角定理知∠BDA＝∠ADC＝90°，結(jié)合∠DAC＝30°，DC＝1得AC＝2DC＝2，∠C＝60°，再由AB＝ACtanC＝2可得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，則在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝2，∴⊙O的半徑為，故選：B．【點評】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角和三角函數(shù)的應(yīng)用．4．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為點E，連接CO，AD，則下列說法中不一定成立的是（）A．CE＝DE B．∠BOC＝2∠BAD C．＝ D．AD＝2CE【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，CE＝DE，再利用圓周角定理解答即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，∴CE＝DE，故A成立；∴，∴，故C成立；∴∠CAB＝∠BAD，∴∠BOC＝2∠CAB＝2∠BAD，故B成立；故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理和垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．5．如圖，⊙A過原點O，分別與x軸、y軸交于點C和點D，點B在⊙A上，已知∠B＝30°，⊙A的半徑為2，則圓心A的坐標(biāo)是（）A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，）【分析】連接CD，過A作AE⊥OC于E，根據(jù)圓周角定理得到CD是⊙O的直徑，解直角三角形得到OD＝CD＝2，OC＝CD＝2，根據(jù)垂徑定理得到結(jié)論．【解答】解：連接CD，過A作AE⊥OC于E，∵∠COD＝90°，∴CD是⊙O的直徑，∴CD＝4，∵∠DCO＝∠B＝30°，∴OD＝CD＝2，OC＝CD＝2，∵AE⊥OC，∴OE＝CE＝OC＝，AE＝AC＝1，∴A（，1），故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠A：∠B＝4：5，則∠A＝80度．【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)解答即可．【解答】解：因為四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A：∠B＝4：5，可設(shè)∠A為4x，∠B為5x，可得：4x+5x＝180°，解得：x＝20°，所以∠A＝80°，故答案為：80【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．7．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為上的一點，且∠BAC＝30°，點B為的中點，則∠ABD的度數(shù)為60°．【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是90°以及圓周角定理解答即可．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵點B為的中點，∴，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，故答案為：60°【點評】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)直徑所對的圓周角是90°以及圓周角定理解答．8．如圖，⊙O的弦AC與半徑OB交于點D，BC∥OA，AO＝AD，則∠C的度數(shù)為36°．【分析】由BC∥OA，AO＝AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理，可得出∠C與∠B的關(guān)系，然后由三角形內(nèi)角和的求得答案．【解答】解：∵BC∥OA，AO＝AD，∴∠AOD＝∠ODA，∠AOD＝∠B，∵∠BDC＝∠ODA，∴∠B＝∠BDC，∵∠AOD＝2∠C，∴∠B＝∠BDC＝2∠C，∵△BDC的內(nèi)角和是180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝36°，故答案為：36°．【點評】此題考查了圓周角定理以及平行線的性質(zhì)．注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是關(guān)鍵．9．如圖，四邊形OABC的頂點A、B、C均在⊙O上，圓心角∠AOC＝100°，則∠ABC130°．【分析】在優(yōu)弧AC上取一點D，連接CD，AD．求出∠CDA利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：在優(yōu)弧AC上取一點D，連接CD，AD．∵∠CDA＝∠AOC，∠AOC＝100°，∴∠CDA＝50°，∵∠CDA+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝130°，故答案為130．【點評】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．10．已知，AB是⊙O的直徑，AB＝m，C、D是⊙O上兩點，且∠ADC＝α，則AC＝m?sinα或m?sin（180°﹣α）【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題．【解答】解：當(dāng)點D，B在直線AC的同側(cè)時，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠ADC＝α，∴AC＝AB?sinα＝m?sinα．當(dāng)點D，B在直線AC的兩側(cè)時，∠B＝180°﹣α，∴AC＝AB?sin（180°﹣α）＝m?sin（180°﹣α），綜上所，AC＝m?sinα或m?sin（180°﹣α）．【點評】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題11．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與AC，BC交于點E，D，且BD＝CD．（1）求證：∠B＝∠C．（2）過點D作DF⊥OD，過點F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先利用勾股定理計算AD的長，證明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作輔助線，證明四邊形OGFD是矩形，根據(jù)同角的三角函數(shù)可得FH的長，最后利用勾股定理可得結(jié)論．【解答】證明：（1）連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，∴AD＝＝＝2，∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△DFC，∴，∴，∴CF＝1，DF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，過O作OG⊥AC于G，∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，∴四邊形OGFD是矩形，∴OG＝DF＝2，∴sin∠FAH＝，∴，F(xiàn)H＝，Rt△AFH中，AH＝＝．【點評】本題考查了圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計算能力，有一定的難度．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C．（1）求證：四邊形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝3，求⊙O和菱形ABFC的面積．【分析】（1）根據(jù)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，證明是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）設(shè)CD＝x，連接BD．利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∵AC＝AB，∴四邊形ABFC是菱形．（2）設(shè)CD＝x．連接BD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝62﹣x2，解得x＝2或﹣9（舍棄）∴AB＝9，BD＝，∴S菱形ABFC＝36．∴S⊙O＝π?（）2＝π．【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、線段的垂直平分線的性質(zhì)勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．13．如圖，AB是圓O的一條弦，點O在線段AC上，AC＝AB，OC＝3，sinA＝．求：（1）圓O的半徑長；（2）BC的長．【分析】（1）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，設(shè)OH＝3k，AO＝5k，則AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AB，垂足為點G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sinA＝＝，設(shè)OH＝3k，AO＝5k，則AH＝，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半徑長為5；（2）過點C作CG⊥AB，垂足為點G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sinA＝＝，∵AC＝8，∴CG＝，AG＝＝，BG＝，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC＝＝＝．【點評】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．在⊙O中，的度數(shù)為120°，點P為弦AB上的一點，連結(jié)OP并延長交⊙O于點C，連結(jié)OB，AC．（1）若P為AB中點，且PC＝1，求圓的半徑．（2）若BP：BA＝1：3，請求出tan∠OPA．【分析】（1）由P是AB的中點，的度數(shù)為120°知OC⊥AB，∠OBP＝30°，據(jù)此得sinB＝＝，由PC＝1知OP＝1，據(jù)此可得答案；（2）作OD⊥AB，由（1）知∠B＝30°，AD＝BD，據(jù)此得OD：BD＝：3，設(shè)OD＝x，知BD＝3x，結(jié)合BP：BA