2021年數學歸納法教案

教材背景：

歸納是一種由特殊事例導出普通規(guī)律思維辦法.歸納推理分完全歸納推理與

不完全歸納推理兩種.不完全歸納推理只依照一類事物中某些對象具備共同性

質，推斷該類事物全體都具備性質，這種推理辦法，在數學推理論證中是不容

許.完全歸納推理是在考察了一類事物所有對象后歸納得出結論來.數學歸納法

是用來證明某些與正整數n關于數學命題一種推理辦法，在數學問題解決中有著

廣泛應用.

教學課題：數學歸納法

教材分析：

“數學歸納法”既是高中代數中一種重點和難點內容，也是一種重要數學辦

法。它貫通了高中代數幾大知識點：不等式，數列，三角函數……在教學過程中，

教師應著力解決內容是：使學生理解數學歸納法實質，掌握數學歸納法證題環(huán)節(jié)

（特別要注意遞推環(huán)節(jié)中歸納假設運用和恒等變換運用）。只有真正理解了數學

歸納法實質，掌握了證題環(huán)節(jié)，學生才干信之不疑，才干用它靈活證明有關問題。本

節(jié)課是數學歸納法第一節(jié)課，有兩大難點：使學生理解數學歸納法證題有效性；遞

推環(huán)節(jié)中歸納假設運用。不突破以上難點，學生往往會懷疑數學歸納法可靠性，或

者只是形式上模仿而不知其因此然。這會對后來學習導致極大阻礙。依照本節(jié)課

教學內容和學生實際水平，本節(jié)課采用“引導發(fā)現法”和“講練結合法”。通過課

件動畫模仿展示，引起和啟動學生探究熱情，通過“師生”和“生生”交流合伙，

掌握概念深層實質。

教學目的

1、知識和技能目的

(1)理解數學推理慣用辦法(歸納法)

(2)理解數學歸納法原理及使用范疇。

(3)初步掌握數學歸納法證題兩個環(huán)節(jié)和一種結論。

(4)會用數學歸納法證明某些簡樸等式問題。

2、過程與辦法目的

通過對歸納法復習，闡明不完全歸納法弊端，通過多米諾骨牌實驗引

出數學歸納法原理，使學生理解理論與實際辨證關系。在學習中培養(yǎng)學生

摸索發(fā)現問題、提出問題意識，解決問題和數學交流能力，學會用總結、歸

納、演繹類比探求新知識。

3.情感態(tài)度價值觀目的

通過對問題探究活動，親歷知識構建過程，領悟其中所蘊涵數學思想；

體驗摸索中挫折艱辛和成功高興，感悟“數學美”，激發(fā)學習熱情，培養(yǎng)她

們手腦并用，多思勤練好習慣和敢于摸索治學精神。初步形成對的數學觀，

創(chuàng)新意識和科學精神。

教學重點和難點

教學重點：(1)使學生理解數學歸納法實質。

(2)掌握數學歸納法證題環(huán)節(jié),特別是遞推環(huán)節(jié)中歸納假設和恒

等變換運用。

教學難點:

(1)數學歸納法原理;

教學辦法：講授法、引導發(fā)現法、類比探究法、講練結合法

教學過程：

(-)復習引入

問題(1)袋中有5個小球，如何證明它們都是紅色？(完全歸納法)

問題(2)某人站在學校門口，看到持續(xù)有20個男生進入學校，于是深有感

觸說這個學校學生都是男生。(不完全歸納法)

(-)新課解說

1、多米諾骨牌實驗

要使所有多米諾骨牌一一倒下？需要幾種環(huán)節(jié)才干做到？

(1)第一張牌被推倒(奠基作用)

(2)任意一張牌倒下必要保證它下一張牌倒下(遞推作用)

于是可以獲得結論：多米諾骨牌會所有倒下。

例1、證明：2+4+6+2〃=〃("+1)(n&N)

+

證明：(1)當〃=1時，左邊=2,右邊=2,等式成立。

(2)假設〃=尊式成立,即2+4+6+2k=k(k+A)

那么，當“=4+1時，

2+4+6+2攵+2%+1)

=k(k+1)+2(k+1)

=伏+1)僅+2)

=伙+1)[依+1)+1]

因此，〃=%+1時等式也成立。

由(1)和(2)可知，等式對于任何正整數〃都成立。

2、歸納總結

數學歸納法證明環(huán)節(jié)：

①驗證當”取第一種值〃(如〃=1或2時)命題對的。

00

(2)假設當〃=左時)命題對的，證明〃=&+1時命題也對的。

0

3.基本反饋

1+a〃+2(、

①用數學歸納法證明：1+〃+。2++。葉］=------a手l、neN在驗證

1-a

n二l成立時，左邊計算所得成果是(C)

A.］B1+〃C.1+。+〃2口.1+。+。2+。3

②用數學歸納法證明命題時，假設S=1+1++%wN)

kI+TT+22k+

那么s=s

"1K2攵+12k+2攵+1…

③判斷下面證明過程與否對的，如果不對的錯在哪？

n(n+1)(2〃+1)

證明：12+22+32++〃2=--------------(〃eN)

6+

證明：(1)當〃=1時，左邊=1,右邊=(1+1)(2+D=］等式成立

6

(2)假設當〃=%時等式成及時

,cC,攵(k+l)(2k+l)

12+22+32++^2=———-----1

6

〃(〃+1)(2〃+1)

當〃=&+1時代入12+22+32++〃2=--------------得

6

12+22+32++女2+/+1)2

_(女+1)(2+2)(2%+?3)

6

6

因此當〃=k+l時等式成立

由(1)和(2)可知等式對一切正整數均成立。

(三)、課堂小結

(1)理解數學歸納法原理

(2)數學歸納法兩個環(huán)節(jié)缺一不可，前者是基本，后者是遞推根據，最后

給出結論。

(3)數學歸納法重要應用于解決與正整數關于數學問題。

(四)、作業(yè)：P2P1

3739

(五)、課后練習及探究：

練習：P(1)、(3)

37

探究：下面是某同窗用數學歸納法證明命題_L+_L++1="

1?22?3n+1

過程，你以為她證法對的嗎？為什么？

證明：(1)當〃=1時左邊=_L=1右邊==L=1等式成立

1?221+12

(2)假設當時命題成及時1+1+...+1_k

1-22-3h(k+1)Z+1

那么w=k+1時，左邊=(1—1)+(1—1)++(1-1)

223I+T1+2

=1—1=人=右邊

k+2(A:+1)+4

即〃=z+1時命題成立

由(1)和(2)知，對一切自然數命題均成立。

(六)、預習：用數學歸納法證明不等式

(七)、課后反思

1.數學歸納法是一種用于證明與自然數n關于命題對的性證明辦法.它操作

環(huán)節(jié)簡樸、明確，教學重點不應當是辦法應用.我以為不能把教學過程當作辦法灌

輸，技能操練.為此，我設想強化數學歸納法產生過程教學，把數學歸納法產生寓

于對歸納法分析、結識當中，為使用它打下良好基本，并且可以強化歸納思想教學,

這不但是對中學數學中以演繹思想為主教學重要補充，也是引導學生發(fā)

展創(chuàng)新能力良機.

2.在教學辦法上，這里運用了在教師指引下師生共同討論、摸索辦法.目

是加強學生對教學過程參加.為了使這種參加有一定智能度，教師應做好發(fā)動、

組織、引導和點撥.學生思維參加往往是從問題開始，本節(jié)課按照思維順序編排了

一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，把本節(jié)課研究內容置于問題之中，