材料力學(xué)簡單的靜不定系統(tǒng)

材料力學(xué)簡單的靜不定系統(tǒng)第1頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

材料力學(xué)第2頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

12.4力法與正則方程

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用

12.5能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

12.2簡單靜不定問題

第3頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念第4頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

6.6簡單的靜不定梁

1、基本概念靜不定系統(tǒng)的作用：為了提高工程結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度。

靜不定次數(shù)：未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)：未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜不定問題與靜不定結(jié)構(gòu)：未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)多余約束：保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束第5頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一一、靜不定結(jié)構(gòu)的類型外力靜不定系統(tǒng)

內(nèi)力靜不定系統(tǒng)

混合靜不定系統(tǒng)

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

第6頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一FP1FP2FP1FP2X1X2X3外力靜不定系統(tǒng)

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

幾次靜不定？相當(dāng)系統(tǒng)第7頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

內(nèi)力靜不定系統(tǒng)FPFPFPFPX1X2X1X2X3X3

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

幾次靜不定？相當(dāng)系統(tǒng)第8頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

混合靜不定系統(tǒng)FP1FP2FP1FP2X1X2X3X4X4

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

幾次靜不定？相當(dāng)系統(tǒng)第9頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一幾次靜不定？X6X6FP1FP2FP1FP2X1X2X3X4X4X5X5

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

混合靜不定系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)第10頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

12.1靜不定系統(tǒng)的幾個(gè)基本概念

基本靜定系統(tǒng)：選擇合適的多余約束，將其除去，使靜不定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，在解除約束處代之以約束力所得到的靜定系統(tǒng)。靜不定系統(tǒng)：凡是根據(jù)平衡方程不能確定全部未知約束力或內(nèi)力的結(jié)構(gòu)或者結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。第11頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

12.2簡單靜不定問題第12頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一求解靜不定問題，需要以下三方面的聯(lián)立。平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程

12.2簡單靜不定問題第13頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一yxFN2FN1FP一、拉壓靜不定問題

12.2簡單靜不定問題FPABD②①第14頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一FN3

12.2簡單靜不定問題yxFN2FN1FPC③FPABD②①第15頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一變形協(xié)調(diào)方程：物理關(guān)系FPE3A3l3E1A1l1C③ABD②①E2A2l2已知：E1A1=E2A2、l1＝l2；

E3A3、l3A′FPDl3Dl1＝

Dl2

12.2簡單靜不定問題第16頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一將物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)條件得到補(bǔ)充方程為：平衡方程、補(bǔ)充方程聯(lián)立，得(拉力)(拉力)

12.2簡單靜不定問題第17頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一裝配應(yīng)力：在靜不定結(jié)構(gòu)中，由于制造、裝配不準(zhǔn)確，在結(jié)構(gòu)裝配好后不受外力作用即已存在的應(yīng)力。ABDABDh加工構(gòu)件時(shí)，尺寸上的微小誤差難以避免。對于靜定結(jié)構(gòu)，加工誤差只會(huì)造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的輕微變化，不會(huì)引起內(nèi)力。對靜不定結(jié)構(gòu)，加工誤差往往要引起內(nèi)力。

12.2簡單靜不定問題第18頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一溫度應(yīng)力：在靜不定結(jié)構(gòu)中，由于溫度變化引起的變形受到約束的限制，因此在桿內(nèi)將產(chǎn)生內(nèi)力和應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力和熱應(yīng)力。溫度變化將會(huì)引起物體的膨脹或收縮。對于靜定結(jié)構(gòu)，溫度均勻變化時(shí)，不會(huì)引起內(nèi)力。對靜不定結(jié)構(gòu)，溫度變化時(shí)往往要引起內(nèi)力。

12.2簡單靜不定問題第19頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一安裝木地板為防止裝配應(yīng)力、溫度應(yīng)力的處理辦法第20頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一二、扭轉(zhuǎn)靜不定問題

12.2簡單靜不定問題

圖中所示為兩端固定的圓軸AB，全軸扭轉(zhuǎn)剛度相同。在截面C處承受繞軸線的扭轉(zhuǎn)力偶作用，力偶矩Me

為已知。試求：兩固定端的約束力偶矩。

2l/3AABBMeMeMAMAMBMBl/3CC解：1．平衡方程AABMeMeMAMAMBMBCC第21頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

12.2簡單靜不定問題2l/3AABMeMeMAMAMBMBl/3CC2．變形協(xié)調(diào)方程3．物理方程4．解聯(lián)立方程第22頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一解：1.確定靜不定次數(shù)，并選擇基本靜定梁。多余約束的數(shù)目=1

6.6簡單的靜不定梁

(2)簡支梁(1)懸臂梁

選擇合適的多余約束，將其除去，使靜不定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，在解除約束處代之以約束力。化為靜定結(jié)構(gòu)的辦法：

一般來說，懸臂梁最為簡單，其次是簡支梁，最后為外伸梁。

BAlqBlAqBlAq

例題7三、簡單的靜不定梁第23頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一2.列出變形協(xié)調(diào)方程（幾何方程）。

根據(jù)基本靜定梁的一切情況要與原超靜定梁完全相同的要求，得到變形協(xié)調(diào)條件。

6.6簡單的靜不定梁

BAlqBlAqBlAq

例題7第24頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一(1)懸臂梁：3.根據(jù)物理方程（用積分法或疊加法求變形），列出補(bǔ)充方程，并求出多余未知力。僅有ｑ作用，B點(diǎn)撓度為：僅有

作用，B點(diǎn)撓度為：因此解得：

6.6簡單的靜不定梁

BlAq

例題7第25頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一4.根據(jù)平衡方程在基本靜定梁上求出其余的約束力。（）

6.6簡單的靜不定梁

(1)懸臂梁：BlAq

例題7第26頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一(+)(-)因此5.在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。

6.6簡單的靜不定梁

BlAq

例題7BlAq第27頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一處理具體問題時(shí)的注意點(diǎn)討論：求解簡單靜不定梁的步驟◆

確定靜不定次數(shù)，并選擇基本靜定梁。◆

列出變形協(xié)調(diào)方程。◆

根據(jù)物理方程（用積分法或疊加法求變形），列出補(bǔ)充方程，并求出多余未知力?！?/p>

根據(jù)平衡方程在基本靜定梁上求出其余的約束反力。◆

在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。力法：以力作為未知量,將位移表示為力的形式，從而求解未知力，進(jìn)而求解位移的方法。BAlq第28頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用第29頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

若結(jié)構(gòu)的幾何形狀、尺寸、構(gòu)件材料及約束條件都對稱于某一軸，則這樣的結(jié)構(gòu)稱為對稱結(jié)構(gòu)（symmetricstructure）。

在不同的荷載作用下，對稱結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生對稱變形、反對稱變形或一般變形。

正確而巧妙地應(yīng)用對稱性和反對稱性，不僅可以推知某些未知量，而且可以使分析、計(jì)算過程大為簡化。

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用第30頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載時(shí)，其約束力、內(nèi)力分量以及位移都是對稱的。一、對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用第31頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形FPFPABEFCD結(jié)構(gòu)對稱軸

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用位移對稱第32頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形ABEFCD結(jié)構(gòu)對稱軸FPFPFAxFBxFAyFByMAMB

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用約束力對稱第33頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形FPFAxFAyMAFPFBxFByMBFX1FX1FX2FX2FX3FX3

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用內(nèi)力對稱第34頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時(shí)，其上的約束力、內(nèi)力分量以及位移都具有反對稱的特征。二、對稱結(jié)構(gòu)的反對稱變形

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用第35頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一對稱結(jié)構(gòu)的反對稱變形FPFPEDABC結(jié)構(gòu)對稱軸

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用位移反對稱第36頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一對稱結(jié)構(gòu)的反對稱變形FPFPEDABC結(jié)構(gòu)對稱軸FAxFBxFAyFByMAMB

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用約束力反對稱第37頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一FX1FX1FX2FX2FX3FX3CFPDAEFPBCFAxFBxFAyFByMAMB對稱結(jié)構(gòu)的反對稱變形

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用內(nèi)力反對稱第38頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一ABDCABDCMMMM對稱還是反對稱？對稱還是反對稱？思考第39頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一FPEDABC結(jié)構(gòu)對稱軸三、對稱結(jié)構(gòu)的一般變形及其簡化

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用第40頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一EDAB對稱結(jié)構(gòu)的一般變形EDABEDABFP/2FP/2FPFP/2FP/2

12.3對稱性與反對稱性在求解靜不定問題中應(yīng)用第41頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

12.4力法與正則方程

第42頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一力法：以力作為未知量，而將位移均表示為力的形式，從而解出未知力，進(jìn)而亦可解得位移。

12.4力法與正則方程

位移法：如以位移作為未知量，而將未知力均表示為未知位移的形式，從而通過求解未知位移來求解未知力。第43頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

12.4力法與正則方程

正則方程：在力法中，反映多余約束處位移受到限制的變形條件可以寫成規(guī)則的未知力的線性方程組。

對于一個(gè)n次靜不定系統(tǒng)，則有n個(gè)多余約束力（包括外約束力與內(nèi)約束力），這些未知力分別用X1，X2，…

，Xn表示。第44頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一ABCFPABCX1FPX2

12.3力法與正則方程

第45頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一X1FPX2Δ1PΔ2PΔ1X1Δ2X1Δ1X2Δ2X2

12.3力法與正則方程

第46頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一1FP1

12.3力法與正則方程

第47頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第12章

簡單的靜不定系統(tǒng)

12.5能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用第48頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

圖乘法的應(yīng)用

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第49頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一例題1

平面剛架受力如圖所示,各桿的彎曲剛度均為EI，不考慮剪力和軸力的影響。試：畫出彎矩圖。FPABCll

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第50頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一X1X2ABC解：1、判斷結(jié)構(gòu)是靜定的還是靜不定的，確定靜不定次數(shù)FAxFAyMAFPABC

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

2、建立基本靜定系統(tǒng)X1X2ABCFP

例題1第51頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一3、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，寫出正則方程FPABCX1X2ABCFP

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

例題1第52頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一4、建立荷載系統(tǒng)與單位荷載系統(tǒng)，畫出相應(yīng)的彎矩圖FP11FPlllll

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第53頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一5、應(yīng)用圖乘法計(jì)算正則方程中的位移1lll1lFPlFP2l/3l

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第54頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一2l/35、應(yīng)用圖乘法計(jì)算正則方程中的位移1lll1l2l/3l

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

（位移互等定理）第55頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一6、將位移代入正則方程并求解聯(lián)立方程

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第56頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7、畫出彎矩圖ABCFPFP00

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第57頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用“圖乘法”求解靜不定問題的步驟◆判斷問題的性質(zhì)與靜不定次數(shù)◆建立基本靜定系統(tǒng)◆建立正則方程（根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件）。◆建立荷載系統(tǒng)與單位荷載系統(tǒng)，畫出相應(yīng)的彎矩圖◆用圖乘法計(jì)算各個(gè)荷載引起的位移◆求解全部多余約束力◆畫出內(nèi)力圖處理具體問題時(shí)的注意點(diǎn)第58頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

卡氏定理的應(yīng)用

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第59頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

將解除多余約束后所出現(xiàn)的未知力均作為已知量，從而寫出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能表達(dá)式，以只有彎矩和扭矩作用的情形為例：

根據(jù)多余約束處的約束條件，應(yīng)用卡氏定理即可建立求解這些多余約束力的變形協(xié)調(diào)方程：

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第60頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

上述方程中i＝0是對剛性約束而言的；對于彈性約束，i也可能不為零，而等于某一常量。

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第61頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用“卡氏定理”求解靜不定問題的步驟1．判斷問題的性質(zhì)與靜不定次數(shù)2．確定合適的基本靜定系統(tǒng)3．建立相當(dāng)系統(tǒng)。4．建立變形協(xié)調(diào)條件。

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

5．分段建立彎矩方程，并求出偏微分。6．用卡氏定理計(jì)算每一個(gè)荷載引起的位移。7．求解全部多余約束力。8．畫出內(nèi)力圖。第62頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一例題2

平面剛架受力如圖所示,各桿的彎曲剛度均為EI，不考慮剪力和軸力的影響，試畫出彎矩圖。（用卡氏定理求解）FPABCll

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第63頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一X1X2ABC解：1、原系統(tǒng)為二次靜不定，建立下圖相當(dāng)系統(tǒng)FP

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

FPABCll第64頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一2、比較相當(dāng)系統(tǒng)與靜不定系統(tǒng)，根據(jù)變形協(xié)調(diào)要求寫出正則方程FPABCX1X2ABCFP

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第65頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一3、建立荷載系統(tǒng)與單位荷載系統(tǒng)，畫出相應(yīng)的彎矩圖

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

X1X2ABCFPxx第66頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一4、應(yīng)用卡氏定理計(jì)算正則方程中的位移

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

X1X2ABCFP第67頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一5、畫出彎矩圖ABCFPFP00

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第68頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

半圓形平面曲桿，其圓弧半徑為R，曲桿截面直徑為d，材料的楊氏模量為Ｅ，曲桿兩端鉸接于A、B二處，受力如圖所示。

若FP、R、E、d等均為已知，并且忽略剪力和軸力的影響，求：A、B二處的水平約束力。FPRABC例題3

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第69頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

解：根據(jù)約束性質(zhì)，A、B二處均有兩個(gè)約束力；又根據(jù)對稱性，兩處的約束力對應(yīng)相等。FP/2FP/2FHFHRFPABC

根據(jù)平衡條件可以確定垂直約束力為FP／2，水平約束力FH＝FH。無法由平衡條件求得，故為一次靜不定問題。FPRABC

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

應(yīng)用卡氏定理，由A、B二處的水平位移等于零這一變形協(xié)調(diào)條件，可以確定水平約束力FH。第70頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

首先，采用角座標(biāo)，寫出曲桿任意橫截面上的彎矩方程，即將彎矩M表示成FP和FH的函數(shù)：

在曲桿中，規(guī)定：使曲桿的曲率增大的彎矩為正。FP/2FP/2FHFHRFPABC

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第71頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一1、利用對稱性，

整個(gè)曲桿的應(yīng)變能等于左、右兩部分應(yīng)變能之和。于是，卡氏定理可以寫成利用A、B二處的約束條件，即A、B二點(diǎn)的相對位移等于零，上式可以寫成FP/2FP/2FHFHRFPABC

12.6能量法在求解靜不定問題中的應(yīng)用

第72頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一利用A、B二處的約束條件，即A、