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第2節(jié)古典概型考綱展示.理解古典概型及其概率計算公式..會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率... 必備知識1 ../知識梳理.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的.⑵任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和..古典概型(1)定義我們將具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱為古典概型.①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有直限個;②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.⑵計算公式p⑷包含的基本事件的個數(shù)(7基本事件總數(shù)./基礎自測.判斷下列結論的正誤.(正確的打“J”,錯誤的打“X”)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其樣本點是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()⑵擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個事件是等可能事件.()所以函數(shù)f(x)=ax?-2bx在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)的概率是5故選A.JL乙[對點訓練4]已知函數(shù)f(x)二cos竽),a為拋擲一顆骰子所得的點數(shù),則函數(shù)f(x)在[0,4]上零點的個數(shù)不小于4的概率為()解析:依題意,函數(shù)f(x)在[0,4]上零點的個數(shù)不小于4等價于函數(shù)f(x)的周期的:倍不大于4,即"第W4,解得。蕓,故a=4,5,6.而所有a的值共6個,所以函4 4 — 24數(shù)f(X)在[0,4]上零點的個數(shù)不小于4的概率為玄故選B.考點四古典概型與統(tǒng)計的綜合[例5]某中學為了解大數(shù)據(jù)提供的個性化作業(yè)質量情況,隨機訪問50名學生,根據(jù)這50名學生對個性化作業(yè)的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60), [80,90),[90,100].⑴求頻率分布直方圖中a的值;⑵估計該中學學生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率;(3)從評分在[40,60)的受訪學生中,隨機抽取2人,求此2人評分都在[50,60)的概率.解:⑴(0.004+a+0.018+0.022X2+0.028)X10=1,解得a=0.006.⑵由頻率分布直方圖易知,50名受訪學生評分不低于70的頻率為(0.028+0.022+0.018)X10=0.68,故該中學學生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率的估計值為0.68.⑶受訪學生評分在[50,60)的有50X0.006X10=3(人),依次為AbA2,A3,受訪學生評分在[40,50)的有50X0.004X10=2(人),依次為BbB2,從這5名受訪學生中隨機抽取2人,所有可能的結果共有10種,依次為{Ai,A?},{Ai,A3},{Ai,Bi},{Ai,B2},{A2,A3},{A2,Bj,{A2,B』,{A3,Bj,{A3,B2},{Bi,B2},因為所抽取2人的評分都在[50,60)的結果有3種,依次為{Ai,A』,{Ai,A3},{A2,A3},所以此2人評分都在[50,60)的概率為P二。.10昌反思g納概率與統(tǒng)計結合題,無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息,只需要能夠從題中提煉出需要的信息,則此類問題即可解決.[對點訓練5](2021?黑龍江哈爾濱高三月考)在學習強國活動中,為了解學習情況,在某一天的學習完成后,從甲、乙兩個單位各隨機抽取了20人,成績(單位:分)繪制成如圖所示莖葉圖.甲乙2778934⑴通過莖葉圖分析哪個單位學習情況更好(不要求計算,直接得出結論);⑵根據(jù)每人成績,將其分成三個等級.成績/分[20,30)[30,40)[40,50)等級合格良好優(yōu)秀現(xiàn)從甲、乙兩個單位合格的人中,用分層抽樣取出5人參加座談,再從這5人中任取2人,求這2人來自不同單位的概率.解:(1)乙單位的學習情況比甲單位好.⑵因為甲單位有6人合格,乙單位有4人合格,用分層抽樣取出5人,所以甲單位抽取3人,乙單位抽取2人,甲單位的人用a,b,c表示,乙單位的人用d,e表示,任取2人有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10種取法,兩人來自不同單位的取法有ad,ae,bd,be,cd,ce,共6種取法,故這2人來自不同單位的概率105?二備選例題1??[例1]一家大型購物商場委托某機構調查該商場的顧客使用移動支付的情況,調查人員從年齡在[20,60]內的顧客中,隨機抽取了180人,調查結果如表:年齡/歲類型[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]使用45人30人15人15人未使用。人10人20人45人⑴為推廣移動支付,商場準備對使用移動支付的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該商場預計有12000人購物,試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計,該商場當天應準備多少個環(huán)保購物袋?⑵某機構從被調查的使用移動支付的顧客中,按分層抽樣的方式抽取7人作跟蹤調查,并給其中2人贈送額外禮品,求獲得額外禮品的2人年齡都在[20,30)內的概率.解:(1)由題表可知,該商場使用移動支付的顧客的比例為啜二18012若當天該商場有12000人購物.則估計該商場要準備環(huán)保購物袋12所臺7000(個).⑵按年齡分層抽樣時,抽樣比例為抽樣比例為抽樣比例為7 145+30+15+1515抽樣比例為所以應從[20,30)內抽取3人,從[30,40)內抽取2人,從[40,50)內抽取1人,從[50,60)內抽取1人,記選出年齡在[20,30)的3人為A,B,C,其他4人為a,b,c,d,7個人中選取2人贈送額外禮品,有以下情況:AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,Ba,Bb,Be,Bd,Ca,Cb,Cc,Cd,ab,ac,ad,be,bd,cd,共有21種不同的情況,其中獲得額外禮品的2人都在[20,30)的情況有3種,所以獲得額外禮品的2人年齡都在[20,30)內的概率為/q.乙工/[例2](2021?云南昆明高三月考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為120,80,40.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取6名同學去某敬老院參加獻愛心活動.⑴應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?⑵設抽出的6名同學分別用A,B,C,D,E,F表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;②設M為事件”抽取的2名同學不在同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.解:(1)甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3:2:1,由于采用分層抽樣的方法從中抽取6名同學,因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人,2人,1人.⑵①從抽出的6名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},出,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.②由①,不妨設抽出的6名同學中,來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是F,則從抽出的6名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},共4種.所以事件M發(fā)生的概率為p(M)口-尚土.1515⑶某袋中裝有大小均勻的3個紅球、2個黑球、1個白球,那么每種顏色的球被摸到的可能性相同.()(4)從-3,-2,T,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.()答案:(l)X(2)X(3)X(4)V2.拋擲兩枚質地均勻的骰子,向上的點數(shù)之差的絕對值為3的概率是(B)AaB-C.-D.-9 6 18 12解析:拋擲兩枚質地均勻的骰子,向上的點數(shù)之差的絕對值為3的情況有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),共6個樣本點,而拋擲兩枚質地均勻的骰子包含的樣本點有36個,所以所求概率P二盤與故選B.366.一枚硬幣連擲2次,只有一次出現(xiàn)正面的概率為(D)2 111A.-B.iC.iD.i3 4 3 2解析:一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正,正),(反,反),(正,反),(反,正)四種情況,只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種,故概率故選D-42.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球,其中紅色球3個,黃色球2個.若從中隨機取出2個球,則所取出的2個球顏色不同的概率為.?解析:設3個紅色球為A1,A2,A3,2個黃色球為Bi,B2,從5個球中,隨機取出2個球的樣本點有A,A2,A.A3,AB,A&A2A力AB,A2B2,A3B1,A3B2,B,B2,共10個.其中2個球的顏色不同的樣本點有AB,AB,A2BbA2B2,A3B],AB,共6個,所以所求概率為6_3105,答案:|.在裝有相等數(shù)量的白球和黑球的口袋中放進一個白球,此時由這個口袋中取出一個白球的概率比原來由此口袋中取出一個白球的概率大則口袋中原有小球的個數(shù)為.?解析:設原來口袋中白球、黑球的個數(shù)均為n,依題意"TJ,解得"5.2n+l2n22所以原來口袋中小球的個數(shù)為2n=10.答案:10.設叫n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),則在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+mx+n=0有實根的概率為.?解析:先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的情況有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種,其中使方程x2+mx+n=0有實根的情況有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種.故所求事件的概率P二11答案3…'關鍵能力,…考點一事件的構成[例1]一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.試寫出:⑴試驗的基本事件;⑵事件”抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”所含的基本事件;⑶事件“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”所含的基本事件.解:(1)由題意,試驗的基本事件即(a,b,c)的所有可能為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27個.⑵設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A,則事件A包括的基本事件有(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3個.(3)設“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件B包含的基本事件有(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),共24個.g反思?回納(1)寫一個試驗包含的所有基本事件時,需要將該試驗的所有可能情況一一列出,不重不漏.⑵采用列表法或樹狀圖法找基本事件總數(shù).[對點訓練1]有兩顆正四面體的玩具,其四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗:用(x,y)表示結果,其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的數(shù)字,y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的數(shù)字.試寫出:⑴試驗的基本事件;⑵事件“出現(xiàn)數(shù)字之和大于3”所含的基本事件;⑶事件”出現(xiàn)數(shù)字相等”所含的基本事件.解:(1)這個試驗的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.⑵事件“出現(xiàn)數(shù)字之和大于3”包含以下13個基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(3)事件”出現(xiàn)數(shù)字相等”包含以下4個基本事件:(1,1),以,2),(3,3),(4,4).考點二古典概型的計算[例2](1)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標,若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為()23 21A.-B.-C.-D.i3555⑵從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()TOC\o"1-5"\h\zA.-B.-C.-D.-10 5 10 5⑶設0為正方形ABCD的中心,在0,A,B,C,D中任取3點,則取到的3點共線的概率為()12 14A.-B.-C.-D.-5 5 2 5解析:(1)設其中做過測試的3只兔子為a,b,c,剩余的2只為A,B,則從這5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B},共10種.其中恰有2只做過測試的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B},共6種,所以恰有2只做過測試的概率為故選B.105⑵法一依題意,記兩次取的卡片上的數(shù)字依次為a,b,則一共有25個不同的數(shù)組(a,b),其中滿足a>b的數(shù)組共有10個,分別為(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).因此所求的概率為當《故選D.法二從5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張的情況如圖,第一張1 2 3 4 5第二張1234512345123451234512345樣本點的總數(shù)為25,第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的樣本點的個數(shù)為10,故所求概率P^|.故選D.⑶根據(jù)題意作出圖形,如圖所示,在0,A,B,C,D中任取3點,有10種可能情況,分別為(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中取到的3點共線有(0AC)和(0BD)2種可能情況,所以在0,A,B,C,D中任取3點,則取到的3點共線的概率為故選A.105古典概型中樣本點個數(shù)的探求方法⑴列舉法:適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.⑵樹狀圖法:適合于較為復雜的問題,注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的,如(1,2)與(2,1)不同,有時也可看成是無序的,如(1,2)與⑵1)相同.[對點訓練2](1)袋子中有6個大小質地完全相同的球,其中1個紅球,2個黃球,3個藍球,從中任取3個球,則恰有兩種顏色的概率是()34 7 135 5 20 205 5 20 205 5 20 20A.-B.-C.-D.-⑵某中學為了加強藝術教育,促進學生全面發(fā)展,要求每名學生從音樂和美術中至少選擇一門興趣課,某班有50名學生,選擇音樂的有21人,選擇美術的有39人,從全班學生中隨機抽取一人,那么這個人兩種興趣班都選擇的概率是.?5 5 20 20解析:(1)由題意可得,從中任取3個球一共有20個等可能的樣本點,恰有1種顏色的情況有1種,即3個全是藍球,恰有3種顏色的樣本點有1X2X3=6(個),所以恰有2種顏色的樣本點共13個,所以其概率為W故選D.⑵由題意可知,兩種興趣班都選擇的人數(shù)為21+39-50二10(人),所以所求概率為親去答案:⑴D(2)|考點三古典概型的交匯問題角度一古典概型與平面向量的交匯[例3](1)設平面向量a二(m,1),b二(2,n),其中叫 {1,2,3,4},記“aJ_(a-b)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為()A-B-C-D-8 4 3 2⑵已知k£Z,旗二(k,1),晶二(2,4).若|易|W4,則aABC是直角三角形的概率是.?解析:(1)有序數(shù)對(m,n)的所有可能結果數(shù)為4*4=16.由@_1_(0吊),得m2-2m+l-n=0,即n=(m-1)2.由于m,ne{1,2,3,4},故事件A包含的樣本點為(2,1)和⑶4),共2個.所以所求的概率P(A)故選A.168⑵因為|6|二府率IW4,所以-底WkW底.因為k£Z,所以k=-3,-2,-l,0,1,2,3,當4ABC為直角三角形時,應有AB1AC或AB±BC或AC1BC.由版?AC=O,得2k+4=0,所以k二-2.因為辰:二京盛二(2-k,3
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