人教課標實驗A版-選修4-1-第二講直線和圓的位置關系-一圓周角定理公開課比賽一等獎

圓周角(一)教學目的1．使學生正確理解圓周角的概念．2．掌握圓周角定理及其證明的思路．3．通過圓周角定理的證明，使學生了解分情況證明數(shù)學命題和“轉(zhuǎn)化”的思想和方法．教學重點和難點本課教學重點是圓周角的概念和圓周角定理．難點是對圓周角定理證明中所使用的轉(zhuǎn)化方法的理解和掌握．教學過程一、復習提問1．什么叫圓心角．強調(diào)頂點在圓心的角的兩邊一定和圓相交．2．敘述圓心角定理的內(nèi)容．二、引入新課如果把圓心角的頂點移動，就不再是圓心角了．當角的頂點移動到圓上時，如圖7—92中，∠B1AC1的頂點在圓上，兩邊都不和圓相交；∠B2AC1的頂點在圓上，只有一邊和圓相交；∠B2AC2頂點在圓上，兩邊都和圓相交，我們把頂點在圓上并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．(寫出課題)三、新課1．圓周角的定義頂點在圓上并且兩邊都和圓相交的角，叫做圓周角．從定義可知圓周角具備兩個特征：一是頂點在圓上，二是兩邊都和圓相交．觀察圖7—93中，哪些角是圓周角．圓(1)，(2)中的∠B1A1C1和∠B2A2C2不是圓周角，因為它們的頂點不在圓上(一個頂點在圓內(nèi)，一個頂點在圓外)；圖(3)中的∠B3A3C3、∠C3A3D3、∠B3A3D3都是圓周角，它們的頂點都在圓上，并且兩邊都和圓相交；圖(4)中的∠B4A4D4、∠D4A4C4都不是圓周角，因為它們的頂點雖在圓上，但它們的兩邊中至少有一邊不和圓相交．2．圓周角定理圓心角和圓周角都是和圓有關的角，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)，圓周角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)有什么關系呢？圓周角與圓心角之間有什么關系呢？觀察圖7—94中，∠BAC、∠BA1C、∠BA2C都是BC所對的圓周角，BC所對的圓心角是∠BOC．其中∠BAC與∠BOC關系很容易發(fā)現(xiàn)，因為O點在邊AB上，∠BOC是△OAC的外角，又因為OA=OC，可知∠BAC=∠ACO，所以周角定理．(寫出定理)圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．已知：在⊙O中，所對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠BOC．求證明：分三種情況討論．(1)如圖7—95(1)中，圓心O在∠BAC一邊上．(2)如圖7—95(2)中，圓心O在∠BAC的內(nèi)部．作直徑AD，由(1)可知，(3)如圖7—95(3)中，圓心O在∠BAC的外部．作直徑AD，由(1)可知，總結：定理證明用的是“分類討論”方法．先證明圓心在圓周角的邊上這種特殊情況，再證明圓心在圓周角的內(nèi)部和圓心在圓周角的外部的情況．對后兩種情況，是通過添加輔助線——作過圓周角頂點的直徑．轉(zhuǎn)化成已證過的特殊情況加以解決．這種“轉(zhuǎn)化”思想方法是一種重要的數(shù)學思想方法．解題時我們總是把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把一般情況轉(zhuǎn)比成特殊情況，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題．如平行四邊形的面積問題，是轉(zhuǎn)比成矩形的面積問題解決的；三角形面積問題是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積問題解決的．學習圓周角定理，不僅要掌握定理的內(nèi)容，還要重視對定理證明過程中所使用的“分類討論”和“轉(zhuǎn)化”方法的理解．在今后的學習中和解決數(shù)學問題時，應逐步學會運用這些方法．圓周角定理表明了圓心角和圓周角之間的倍半關系．因為“圓心角的度數(shù)和它所對弧的度數(shù)相等”，可以推知：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半．例1如圖7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC．證明：由OA、OB、OC都是⊙O的半徑可知，例2如圖7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．解：∵⊙O是△ABC的外接圓∴∠A、∠B、∠C是圓周角，∠AOB是圓心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°，∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．四、小結強調(diào)要正確理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其證明的思路．說明圓周角定理也可以理解成：“一條弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的二倍．”五、作業(yè)1．判斷下列幾個命題是否正確？(1)圓周角的頂點一定在圓上；(2)頂點在圓上的角是圓周角；(3)圓周角的兩邊都和圓相交；(4)兩邊都和圓相交的角是圓周角．2．已知：C點是劣弧上一點，圓心角∠AOB=100°，求圓周角∠ACB的度數(shù)．3．已知：