第三章 力矩與平面力偶理論

第三章力矩與平面力偶理論第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三引例：在圖示剛體的A、B、C、D四點，作用四個力。且F1與F3、F2與F4等值、反向、互相平行，問剛體是否平衡？ABCF1F2F3F4D第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三力矩的概念與計算一、平面中力矩的概念3.1oABd一）、力對點的矩的定義力使剛體繞O點轉(zhuǎn)動的強(qiáng)弱程度的物理量稱為力對O點的矩。用表示，其定義式為：其中：點O稱為矩心，d稱為力臂。力矩的正負(fù)號表示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動取正，反之取負(fù)。力矩的單位為：牛頓米（Nm）。由圖可知：的面積第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三

研究力對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)AαOFabcAαOFabcAαOFabcAαOFabcAαOFabcMo（F）=？MO（F1）=2△Oab的面積=2×（Oa×OA）MO（F2）=2△Oad的面積=2×（Oa×OB）MO（R）=2△Oac的面積=2×（Oa×OC）OabcABCd故第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.1力矩的概念與計算一、平面中力矩的概念二）、平面匯交力系的合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點的矩等于各個分力對同一點之矩的代數(shù)和。即利用合力矩定理，可以寫出力對坐標(biāo)原點的矩的解析表達(dá)式，即第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.1力矩的概念與計算例1

支架如圖所示，已知F=100N,

AB=AC=30cm,CD=15cm,

求對A、B、C三點之矩。解：由定義由合力矩定理第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三試求圖示結(jié)構(gòu)中力F對A點之矩。解：（1）應(yīng)用定義（圖a）

MO（F）=（2）應(yīng)用力的可傳性及合力矩定理（圖b）根據(jù)力的可傳性將力F傳到B點，再將力F分解為水平力Fx和鉛垂力Fy，而分解為水平力Fx的作用線通過A點，力矩為零。故ABlrFhaABlrFFxFy第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.1力矩的概念與計算例2如圖所示，求F對A點的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理解二：由定義第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三oxmo（F）+mo（Fˊ）=Fx-Fˊ(x+d)=-Fˊd與矩心無關(guān)兩同向平行力合成,兩反向不等的平行力的合成第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.2力偶及其性質(zhì)一、力偶的概念

在力學(xué)中，把等值、反向、平行而不共線的兩個具有特殊關(guān)系的力作為一個整體，稱為力偶。以表示。兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線間的距離稱為力偶臂。

力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，雖然力偶中每個力仍具有一般的力的性質(zhì)，但作為一個整體又有它本身的特性，現(xiàn)歸納如下：第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.2力偶及其性質(zhì)二、力偶的性質(zhì)

1、力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本的力學(xué)量。

力偶既然是一個無合力的非平衡力系。因此：力偶不能與一個力等效，也不能與一個力平衡。力偶只能與力偶平衡。

力偶對剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的大小有關(guān)，而且與力偶臂有關(guān)，將力偶中力的大小和力偶臂的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號稱為力偶矩，用m表示，即正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定逆時針取正；順時針取負(fù)。單位同力矩的單位。第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.2力偶及其性質(zhì)二、力偶的性質(zhì)

2、只要保持力偶矩不變，可以同時改變力的大小和相應(yīng)的力偶臂的大小，同時力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變其對剛體的作用。此性質(zhì)是力偶系合成的基礎(chǔ)。由此可見，兩力偶的等效條件是力偶矩相等。在平面問題中，決定力偶作用效果的因素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。所以力偶矩是代數(shù)量。力偶可表示為：第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.2力偶及其性質(zhì)一、力偶的性質(zhì)3、力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投影均為零。

4、力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩與矩心的位置無關(guān)，恒等于力偶矩。m=p*r圖示平衡機(jī)構(gòu)是否為力與力偶平衡?pr第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。推廣得：結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的平衡

平面力偶系總可以簡化為圖示情形。若R=0，則力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是R=0或是d=0，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論：

平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：上式稱為平面力偶系的平衡方程。第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡例3

圖示矩形板，邊長分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡例4

求圖示簡支梁的支座反力。解：以梁為研究對象，受力如圖。解之得：第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡例5

如圖桿AB上有一導(dǎo)槽，套在桿CD上的銷子E上，在兩桿上各有一力偶作用。若桿重和摩擦不計，已知

求機(jī)構(gòu)平衡時應(yīng)為多大。解：先取AB，受力如圖。再以CD為研究對象，受力如圖。于是得：第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡例6

系統(tǒng)如圖，AB桿上作用矩為M的力偶，設(shè)AC=2R，R為輪C的半徑，各物體的重量及摩擦不計。求繩子的拉力和鉸A對AB桿的約束反力及地面對輪C的反力。解：先以AB桿為研究對象，受力如圖。由幾何關(guān)系：所以：第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡例6

再以輪C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。其中：解之得：討論：本題亦可以整體為研究對象求出：第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例：圖示構(gòu)件由直角折桿ACE、BCD及直桿DE鉸接而成，不計各構(gòu)件自重，矩為M的力偶作用如圖，求；A、B、C、D、E處的約束反力。aaaaABCDEM解：先取整體，再取DE本題的關(guān)鍵是分析直角折桿DCB的受力來確定鉸D的反力方向。第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3.3平面力偶系的合成與平衡思考題

1、如圖所示桿件結(jié)構(gòu)中，EF//AB，AE=EC，

EF桿E端與AC鉸接，F(xiàn)端光滑擱置在BC上，桿重不計，求A、B處的反力。

2、如圖