巧用坐標(biāo)法求解平面向量求值問題 論文

巧用坐標(biāo)法求解平面向量求值問題摘要：平面向量求值問題主要分為求定值和求范圍兩個方面。定值問題，可以通過建系將復(fù)雜向量圖形構(gòu)造變成點(diǎn)坐標(biāo)代數(shù)運(yùn)算，降低思維難度，提高了做題準(zhǔn)確率。向量數(shù)量積范圍問題，通過建系設(shè)點(diǎn)，將向量數(shù)量積代數(shù)式化簡為函數(shù)，分析其函數(shù)值域，從而得出數(shù)量積范圍。關(guān)鍵詞：基底法，坐標(biāo)法，平面向量數(shù)量積，基本不等式一、問題提出向量有利于學(xué)生掌握幾何問題代數(shù)化、代數(shù)問題幾何化的方法，更好地體會數(shù)形結(jié)合的思想。解決向量問題主要有三種辦法:直接法、基向量法、坐標(biāo)法。 直接法，主要涉及向量的運(yùn)算律、模的概念、用夾角、向量數(shù)量積公式，平形共線、用夾角、模的概念和向量數(shù)量積公式方面占比例較多?；追ㄊ乔蠼庀蛄繑?shù)量積的常用方法，解題時有時無法獲取對應(yīng)向量的數(shù)量積的幾何要素，如模和夾角，此時就可以考慮采用基底法，先設(shè)定兩個不共線的向量作為基底，然后將代求向量表示出來，最后根據(jù)條件進(jìn)行分析和計算。坐標(biāo)法，首先需要建立坐標(biāo)系，將點(diǎn)坐標(biāo)化，利用向量之間的坐標(biāo)運(yùn)算來完成解答，該種方法的操作性較強(qiáng)，學(xué)生容易模仿和遷移到相似情境問題，獲得較好成就感，也是考試中常用的解題方法。若題中的已知線段較多，建立坐標(biāo)系后可直接確定關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)法更顯得簡潔。使用坐標(biāo)法求解時可按如下步驟進(jìn)行：第一步，合理構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系；第二步，結(jié)合條件設(shè)定坐標(biāo)參數(shù)，推導(dǎo)坐標(biāo)參數(shù)關(guān)系式，確定向量坐標(biāo)；第三步，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計算或分析。在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)向量問題表達(dá)抽象、方法靈活，導(dǎo)致部分學(xué)生在心理上畏懼向量學(xué)習(xí)。我們與學(xué)生課下交流發(fā)現(xiàn)：如果一道較難向量題可以計算求解，也可以圖形解題，學(xué)生更相信計算的結(jié)果，部分學(xué)生對圖形解法持異議、疑問的態(tài)度，覺得圖形不可靠，有沒有存在其他情境困惑。通過坐標(biāo)法，向量可以將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到幾何問題代數(shù)化的作用。在平面向量教學(xué)過程中，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用水平較好，排在后面分別是代數(shù)運(yùn)算，圖形運(yùn)算。學(xué)生對于向量知識的掌握傾向于坐標(biāo)，能建系盡量建系，將問題化歸為坐標(biāo)運(yùn)算。這要求學(xué)生解題時根據(jù)題目圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活簡便地建立坐標(biāo)系，例如可提取圖形的特殊關(guān)系，如垂直、平行，關(guān)注圖形中的直角三角形、菱形對角線、三角形外心等。有求值要求和取值范圍問題利用熟悉的方程和函數(shù)思想巧妙地解決幾何問題，達(dá)到事半功倍的效果。二、典例分析在研究平面向量問題時，涉及題型比較廣泛，本文研究主要問題是求定值和求范圍兩個方面。解題思路是以坐標(biāo)系為橋梁，通過求解坐標(biāo)的方法解題，用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)構(gòu)造來代替幾何關(guān)系構(gòu)造，起到化繁為簡，達(dá)到事半功倍的效果，體現(xiàn)坐標(biāo)法求解的優(yōu)越性。→例1(河北省高中數(shù)學(xué)競賽)設(shè)O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式OA＋→ → → → → S△AOB＋2SBOC＋3S△COA2OB＋3OC＝3AB＋2BC＋CA，則 ＝．S△ABC解：不妨設(shè)三角形ABC為直角三角形，令A(yù)B=AC=1,建立圖1所示坐標(biāo)系，A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，O(x,y)。圖1∴OA=(?x,?y)，OB=(1?x,?y)，OC=(?x,1?y)，AB=(1,0)，BC=(?1,1)，CA=(0,?1)，→ → → → → →∵OA＋2OB＋3OC＝3AB＋2BC＋CA，∴(2?6x,3?6y)=(1,1)，即2?6x=1，3?6y=1，解得x=1

6，y=1

。3S?ABC=1

2，S?AOB=1

2×1×1

3=1

6，S?AOC=1

2×1×1

6=1

12 ，S?BOC111=111=1 S△AOB＋2SBOC＋3S△COA。∴=6+2+4=11

。2?6?124 S△ABC162評注本題涉及較多向量的線性運(yùn)算，需先利用向量運(yùn)算律進(jìn)行化簡，對學(xué)生做題經(jīng)驗(yàn)要求較高，對基礎(chǔ)一般同學(xué)短時間內(nèi)難以打破突破口。本題巧妙利用己知條件建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，把求解過程變?yōu)殡y度較低計算，使問題簡單明了，增強(qiáng)了操作的可行性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)向量信心?！?(全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北賽區(qū)預(yù)賽)已知O是△ABC的外心，且3OA＋4→ →OB＋5OC＝0，則cos∠BAC＝．解：建立圖2所示坐標(biāo)系，設(shè)|AB|=2，A(?1,0)，B(?1,0)，O(0,a)，C(m,n)，圖2∵O是△ABC的外心，∴|OA|=|OC|，即12+a2=m2+(a?n)2，化簡得，m2+n2=2an+1，又∵→ → →3OA＋4OB＋5OC＝0，(?3,?3a)+(4,?4a)+(5m,5n?5a)=(0,0)，即5m+1=0，5n?12a=0，解得 1

m=?5 ，n=12

5a，將n=12

5a代入m2+n2=2an+1中，解得a=1，n=12

。5∴C(?5,5)，cos∠BAC=112 AC?AB

|AC|?|AB|=10

。10評注對于以圖形為背景的向量運(yùn)算的題目，將∠BAC聯(lián)想到向量AC,AB間的夾角，只需把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可。觀察本題解答過程，可以看出運(yùn)用坐標(biāo)法解題過程簡潔，具有形式固定、程序化操作明顯的特征。例3在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，∠BAD=120°，AB=AD=1，若為E CD上的動點(diǎn)，則求AE?BE的最小值。圖3解：聯(lián)接AC，∠ADC=∠ABC=90°，AB=AD，AC=AC，?ADC??ABC，即∠DAC=∠BAC=60°，BC=CD=3。∵ADCD，為CD上的動點(diǎn)?！嘟⑷鐖D3所示直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作垂線BFx軸，垂足為。在直角三角形?AFB中，∠BAF=60°，AB=1，易求得AF=1

，BF=22。D(0,0),A(1,0),C(0,3),B(2,

32),設(shè)E(0,a)(0≤a≤3)，AE=(?1,a)BE=(?2,a? 32)，AE?BE=(?1)×(?2)+a×(a?2)=a2?2a+3 2，設(shè)f(a)=a2?2a+3

，

20≤a≤3，∴f(a)min=f(4)=21

。

16評注解決平面幾何圖形中的向量數(shù)量積問題，要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量。對于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)性質(zhì)求最值。例4在梯形ABCD中，AB//CD，AB=BC=2，CD=1，∠BCD=120°，P,Q分別為線段BC和CD上的動點(diǎn)，若BP=λBC，DQ=值。圖41

6λDC，求AP?BQ的最大解：連接AC，在梯形ABCD中，∠BCD=120°，∠ABC=60°，AB=BC=2，∴∠CAB=∠ACB=60°，AC=2。在?ACD中，∠DCA=60°，CD=1，AC=2，根據(jù)余弦定理可得，AD2=AC2+DC2?2AC?DC?cos∠DCA=22+12?2×1×2×1

2=3，AD=3?！唷螪AC=30°，∠DCA=60°，∠ADC=90°，∠DAB=90°。建立如圖4所示直角坐標(biāo)系，A(0,0)，B(2,0)，C(1,3)，D(0,3)，設(shè)P(x,y)，BP=λBC，(x?2,y)=λ(?1,3)，x?2=?λ，即x=2?λ，y=3λ，∴P(2?λ,3λ)設(shè)Q(a,3)，DQ=1

6λDC，(a,0)=1

6λ(1,0)，a=1

，6λ∴Q(6λ, 13)，AP=(2?λ,3λ)，BQ=(6λ?2,3)，AP?BQ=(2?λ)?(6λ?2)+ 13?3λ=5λ+1 253λ?6，因?yàn)?<λ≤1，0<1 16λ≤1，解得6≤λ≤1。f(λ)=5λ+1 253λ?6=5(λ+1

λ)?6 ，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)和自變量取值范圍，f(λ)(6, 25 115)上單調(diào)遞減，在(15，1)上單調(diào)遞增。f(λ)max=max{f(6),f(1)}=f(1)=7

。

6評注我們可以發(fā)現(xiàn)常規(guī)方法要求從向量的模、向量加減運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算入手，對學(xué)生應(yīng)用向量的能力要求較高，然而選擇合適的基底，建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，就能把復(fù)雜的向量問題巧妙地轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)問題，大幅度的降低了學(xué)生解題的難度。 例5在?ABC中，∠A=60°，AC=2，BA?BC= 3|BA|，若AE=λEC，CF=λFB，λ>0，則求AE?BF的最大值。 解：過點(diǎn)作COAB，垂足為。BA?BC=|BA|?|BC|cosB， ∴|BA|? 1 |BC|cosB=OB= 3。OA=AC?cosA=2× 2=1|BC|cosB= 3|BA|，即

。圖5建立如圖5所示直角坐標(biāo)系，A(?1,0)，B(3,0)，C(0,3)，設(shè)E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，AE=(x1+1,y1)，EC=(?x1,3?y1)，由AE=λEC，可得，3λx+1=?λx，解得x=?1，y=3λ?λy，解得y=111λ+111 1λ+1，1 ∴E(?λ+1,λ+1)，∴AE=(?λ+1+1,λ+1)=(λ+1,λ+1)。CF1 λ =(x2,y2?3)，F(xiàn)B=(3?x2,?y2)，CF=λFB，可得，x2=(3?x2)λ，解得x2=3λλ+1，y2?3=?λy2，解得y2=。λ+1 3λ

∴F(λ+1,λ+1)∴BF=(λ+1? 3λ3,λ+1)=(?λ+1,λ+1)。

3AE?BF=(λ+1,λλ+1)?(?λ+1,λ+1)=? 3λ(λ+1)2+ 3λ

(λ+1)2=(3?3)λ

。(λ+1)2 λ

(λ+1)2= λ

λ2+2λ+1=λ+11

λ≥2λ?1

λ=2，當(dāng)且僅當(dāng)1 ，λ+λ+2λ=1

時，即λ=1時等號成立。λ∴AE?BF=(3?λ 3)(λ+1)2≤3?4 。評注要熟悉向量數(shù)量積基本定義，合理轉(zhuǎn)化題目條件，利用題中給出特殊角，建立坐標(biāo)系，使得多數(shù)坐標(biāo)運(yùn)算簡便，計算動點(diǎn)坐標(biāo)用參數(shù)表示，AE?BF數(shù)量積可以化為同一參數(shù)代數(shù)式，運(yùn)用基本不等式求得數(shù)量積最大值。不難看出向量綜合性問題，需要從圖形、坐標(biāo)和基底三方向入手以便形成清晰的解題思路。三、總結(jié)與反思 3.1教學(xué)總結(jié)

本文舉例說明在解決平面向量求值問題時，運(yùn)用坐標(biāo)法往往起到化繁為簡的效果，尤其當(dāng)向量問題無法直接處理時，能轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題就變得更加簡潔明了。通過典型例題分析可以發(fā)現(xiàn)，如果所給條件有比較復(fù)雜向量線性運(yùn)算，或已知數(shù)量積的兩個向量的模和夾角沒有給出，而題目中的幾何圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系(如有容易得出垂直關(guān)系等)，通?？煽紤]運(yùn)用坐標(biāo)法求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出關(guān)鍵向量的坐標(biāo)，繼而利用數(shù)量積坐標(biāo)公式進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，構(gòu)造方程求值或者構(gòu)造函數(shù)求范圍。教學(xué)中可根據(jù)問題類型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法對比，可采用一題多解的方式，讓學(xué)生思考方法的優(yōu)劣，逐步幫助學(xué)生構(gòu)建類型問題的解題策略，合理、高效、準(zhǔn)確解題，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的融合、知識與能力的提升。教學(xué)中，要對應(yīng)不同方法引導(dǎo)學(xué)生回顧、完善平面向量的基礎(chǔ)知識，建構(gòu)解題方法，從圖形感知和理解逐漸發(fā)展到會用坐標(biāo)運(yùn)算表示幾何問題，還有意識地將原有知識遷移到新的情境中，做出有效正確解題決策。 3.2教學(xué)反思

1.善用類比，鞏固向量運(yùn)算

類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常采用的思想方法，a?a=|a|2或|a|= a?a是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù)。問題1已知|a|＝2，|b|＝1，且與的夾角為60o，求向量|a－b|，問題2已知＝(1,2)，＝(2,4)，求|a－b|

。我們教學(xué)過程中先講解問題1求解方法，先平方處理后開方，利用向量的模和夾角算出問題答案。學(xué)生在計算問題2時候，不少學(xué)生明顯受到問題1解法影響，先平方處理，但是導(dǎo)致計算能力較弱學(xué)生放棄該題求解，根本原因沒有區(qū)分定義式和坐標(biāo)式求解模式區(qū)別。講清這兩種題型后，可以讓學(xué)生思考如下問題3已知||＝2，＝(2,4)，且與的夾角為60o，求向量|a－b|。讓同學(xué)們自由發(fā)言討論，教師正確引導(dǎo)，讓學(xué)生再次遇到同類型題目，能夠選擇正確方法以便解決問題。教師在講解題目時一定要講清本題及相似題目的步驟、細(xì)節(jié)和區(qū)別，以排除影學(xué)習(xí)不利因素的干擾，在學(xué)生相對較容易出現(xiàn)錯誤的地方要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。通過變式練習(xí)向?qū)W生展示知識點(diǎn)整體結(jié)構(gòu)，形成對知識和問題的完整的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識。 2.勤練基本功，加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練

平面向量運(yùn)算公式的運(yùn)用，兩個向量間和、差、數(shù)量積、平行或垂直、夾角或模公式，但也要避免死記硬背公式和計算法則，但忽略了公式的具體推導(dǎo) a?b與a+b過程。對于問題4已知||＝2，||＝1，且與的夾角為60o，求

的夾角的余弦值。不少學(xué)生對于兩個向量多