第六章空間力系

第六章空間力系第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。

(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；

(b)圖中去了風力為空間平行力系。迎面風力側面風力b第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三一、力在空間軸上的投影與分解：

1.力在空間的表示： 力的三要素：大小、方向、作用點(線)

大?。? 作用點：在物體的哪點就是哪點

方向：由、、g三個方向角確定 由仰角與俯角來確定。bgqFxyO§4–1空間匯交力系第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三2、一次投影法（直接投影法）由圖可知：3、二次投影法（間接投影法）當力與各軸正向夾角不易確定時，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4、力沿坐標軸分解：若以 表示力沿直角坐標軸的正交分量，則：而：所以：FxFyFz第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和2、解析法： 由于 代入上式 合力 由 為合力在x軸的投影，∴二、空間匯交力系的合成：第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三3、合力投影定理：空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和。

空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點.第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三三、空間匯交力系的平衡：

稱為平衡方程空間匯交力系的平衡方程∴解析法平衡充要條件為：∴幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉?？臻g匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程.該力系的合力等于零，即空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數和分別為零.第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

三棱柱底面為直角等腰三角形，在其側平面ABED上作用有一力F，力F與OAB平面夾角為30o，求力F在三個坐標軸上的投影。

例題例題1

空間力系參見動畫：例題1(1)第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

利用二次投影法，先將力F投影到Oxy平面上，然后再分別向x，y，z軸投影。

解：

空間力系

例題例題1Fxy

=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy

=Fcos30osin45oFz

=Fsin30o參見動畫：例題1(2)第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三例題2

例題

如圖所示圓柱斜齒輪，其上受嚙合力Fn的作用。已知斜齒輪的嚙合角(螺旋角)

β和壓力角α，試求力Fn沿x，y

和z

軸的分力。

空間力系第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三例題2

例題

運動演示

空間力系參見動畫：圓柱斜齒輪受力分析第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三例題2

例題將力Fn向z軸和Oxy平面投影解：

空間力系第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三例題2

例題沿各軸的分力為將力Fxy向x，y軸投影

空間力系第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三例4-3求：三根桿所受力.已知：P=1000N,各桿重不計.解：各桿均為二力桿，取球鉸O，

畫受力圖。（拉）第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三§4–2空間力偶理論1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢空間力偶的三要素（1）大小：力與力偶臂的乘積；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：轉動方向；第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三力偶的轉向為右手螺旋定則。從力偶矢末端看去，順時針轉動為正?？臻g力偶是一個自由矢量。第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三2、空間力偶等效定理

作用在同一剛體上的兩個空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。（2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變力偶的性質(1）力偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數和為零.（3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變.(4)只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變.(5)力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡.第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三3．空間力偶系的合成與平衡方程==有為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.如同右圖第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程.空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即

第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三定義： 它是代數量，方向規(guī)定+–結論：力對平行它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。[證]§4–3力對軸之矩和力對點之矩1.力對軸的矩第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內），力對該軸的矩為零.第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三力對平行它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

2、力對點的矩以矢量表示——力矩矢（3）作用面：力矩作用面.（2）方向:轉動方向（1）大小:力F與力臂的乘積三要素：在平面中：力對點的矩是代數量。在空間中：力對點的矩是矢量。力矩的幾何意義:mo(F)=±2OAB面積=±Fd第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三力對點O的矩在三個坐標軸上的投影為mo(F)=

r×F

=第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

若各力的作用線均在xy

平面內.則Fz=0,即任一力的坐標

z=0則有mo(F)=xFx-yFy=說明：由于力矩矢的大小和方向都與矩心的位置有關，故力矩矢的始端必須在矩心，不可任意挪動，這種矢量稱為定位矢量第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三即：三、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系[證]通過O點作任一軸Z，則：由幾何關系：所以：

定理：力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關系。

第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三例設曲桿OABD位于同一平面內,且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如圖所示.在曲桿D點上作用一力P,其大小為p=2kN.力P位于垂直于BD的平面內,且于豎直線成夾角=30o.求力P分別對圖示直角坐標軸的矩.xzyoABD3cm4cm5cmP第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三PxzyoABD3cm4cm5cm解：(1)根據力對軸的矩的定義計算M1oPyzd1作和x軸垂直的平面M1.找出交點O.確定力P在平面M1內的分力Pyz=1.732kN.在平面M1內確定力Pyz到矩心O的距離即力臂d1=8cm計算力Pyz對點A的矩亦即力P對x軸的矩mx(P)=mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三作和y軸垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm確定力P在平面M2內的分力Pxz=P=1kN.在平面M2內確定力Pxz到矩心O的距離即力臂d2=3.464cm計算力Pxz對點A的矩亦即力P對y軸的矩my(P)=mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cmM2Pd2亦可用合力矩定理計算:my(P)=mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm找出交點O.o第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三PxzyoABD3cm4cm5cm作和z軸垂直的平面M3.o找出交點O.確定力P在平面M3內的分力Pxy=1kN.在平面M3內確定力P到矩心O的距離即力臂d3=8cm計算力Pxy對點O的矩亦即力P對z軸的矩mz(P)=mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cmPxyM3d2第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三(2)根據力矩關系定理計算x=-4px=psin30oxzyoABD3cm4cm5cmy=8z=0

py=0pz=-pcos30o第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三§4–4空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩1．

空間任意力系向一點的簡化空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系.第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三主矩主矢空間力偶系的合力偶矩由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有空間匯交力系的合力第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

結論:

空間任意力系向任一點簡化,一般可得到一個力和一個力偶.這個力作用在簡化中心,它的矢量稱為原力系的主矢,并等于這力系中各力的矢量和;這個力偶的力偶矩矢等于原力系中各力對簡化中心的矩的矢量和,并稱為原力系對簡化中心的主矩.

主矢R'只取決于原力系中各力的大小和方向,與簡化中心的位置無關;而主矩Mo

的大小和方向都與簡化中心的位置有關.第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三（1）

合力合力.合力作用線距簡化中心為過簡化中心合力合力矩定理：合力對某點(軸）之矩等于各分力對同一點（軸）之矩的矢量和.第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。1、若 ,則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。2、若 則力系可合成一個合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時主矩與簡化中心的位置無關。3、若 則力系可合成為一個合力，主矢等于原力系合力矢，合力通過簡化中心O點。（此時與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零）

2．空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

4、若 此時分兩種情況討論。即：①

②

由于做①若 時可進一步簡化，將MO變成(

R'',R)使R'與R''抵消只剩下R。第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三②若 時，——為力螺旋的情形（新概念，又移動又轉動）[例]①擰螺絲

②炮彈出膛時炮彈螺線③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角在此種情況下，<1>首先把MO

分解為M//和M

<2>將M//和M

分別按①、②處理。''第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三M

使主矢R'搬家，搬家的矩離：所以在O'點處形成一個力螺旋。因為M//是自由矢量，可將M//搬到O'處M//不變，第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三§4–5空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：1.空間任意力系的平衡方程

空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標軸中每一個軸上的投影的代數和等于零，以及這些力對于每一個坐標軸的矩的代數和也等于零.該力系的主矢、主矩分別為零.第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三3.空間力系平衡問題舉例2.空間約束類型舉例