第八章圖與網(wǎng)絡(luò)分析

第八章圖與網(wǎng)絡(luò)分析1第1頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§8.1圖的基本概念與基本定理圖論是應(yīng)用非常廣泛的運(yùn)籌學(xué)分支，它已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)控制論，信息論，工程技術(shù)，交通運(yùn)輸，經(jīng)濟(jì)管理，電子計(jì)算機(jī)等各項(xiàng)領(lǐng)域。對(duì)于科學(xué)研究，市場(chǎng)和社會(huì)生活中的許多問(wèn)題，可以同圖論的理論和方法來(lái)加以解決。例如，各種通信線路的架設(shè)，輸油管道的鋪設(shè)，鐵路或者公路交通網(wǎng)絡(luò)的合理布局等問(wèn)題，都可以應(yīng)用圖論的方法，簡(jiǎn)便、快捷地加以解決。第2頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，圖論的理論獲得了更進(jìn)一步的發(fā)展，應(yīng)用更加廣泛。如果將復(fù)雜的工程系統(tǒng)和管理問(wèn)題用圖的理論加以描述，可以解決許多工程項(xiàng)目和管理決策的最優(yōu)問(wèn)題。因此，圖論越來(lái)越受到工程技術(shù)人員和經(jīng)營(yíng)管理人員的重視。關(guān)于圖的第一篇論文是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（E.Euler）在1736年發(fā)表的解決“哥尼第3頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三斯堡”七橋難題的論文；德國(guó)的哥尼斯堡城有一條普雷格爾河，河中有兩個(gè)島嶼，河的兩岸和島嶼之間有七座橋相互連接，（見圖8.1a）當(dāng)?shù)氐木用駸嶂杂谶@樣一個(gè)問(wèn)題，一個(gè)漫步者如何能夠走過(guò)這七座橋，并且每座橋只能走過(guò)一次，最終回到原出發(fā)地。盡管試驗(yàn)者很多，但是都沒(méi)有成功。為了尋找答案，1736年歐拉將這個(gè)問(wèn)題抽象成圖8.1b所示圖形的一筆畫問(wèn)題。第4頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三哥尼斯堡七橋問(wèn)題圖8.1aABCD第5頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三哥尼斯堡七橋問(wèn)題可簡(jiǎn)化為以下圖形其中的四個(gè)頂點(diǎn)都是奇頂點(diǎn)ABCD第6頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三CADB圖8.1b第7頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即能否從某一點(diǎn)開始不重復(fù)地一筆畫出這個(gè)圖形，最終回到原點(diǎn)。歐拉在他的論文中證明了這是不可能的，因?yàn)檫@個(gè)圖形中每一個(gè)頂點(diǎn)都與奇數(shù)條邊相連接，不可能將它一筆畫出，這就是古典圖論中的第一個(gè)著名問(wèn)題。在實(shí)際的生產(chǎn)和生活中，人們?yōu)榱朔从呈挛镏g的關(guān)系，常常在紙上用點(diǎn)和線來(lái)畫出各式各樣的示意圖。第8頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例8.1圖8.2是我國(guó)北京、上海、重慶等十四個(gè)城市之間的鐵路交通圖，這里用點(diǎn)表示城市，用點(diǎn)與點(diǎn)之間的線表示城市之間的鐵路線。諸如此類還有城市中的市政管道圖，民用航空線圖等等。石家莊太原北京天津塘沽濟(jì)南青島徐州連云港南京上海鄭州武漢重慶圖8.2第9頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例8.2有六支球隊(duì)進(jìn)行足球比賽，我們分別用點(diǎn)v1，…，v6表示這六支球隊(duì)，它們之間的比賽情況，也可以用圖反映出來(lái)，已知v1隊(duì)?wèi)?zhàn)勝v2

隊(duì)，v2隊(duì)?wèi)?zhàn)勝v3

隊(duì)，v3隊(duì)?wèi)?zhàn)勝v5隊(duì)，如此等等。這個(gè)勝負(fù)情況，可以用圖8.3所示的有向圖反映出來(lái)第10頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8.3v3v5v2v4v6v1第11頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

從以上的幾個(gè)例子可以看出，我們用點(diǎn)和點(diǎn)之間的線所構(gòu)成的圖，反映實(shí)際生產(chǎn)和生活中的某些特定對(duì)象之間的特定關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，通常用點(diǎn)表示研究對(duì)象，用點(diǎn)與點(diǎn)之間的線表示研究對(duì)象之間的特定關(guān)系。由于在一般情況下，圖中的相對(duì)位置如何，點(diǎn)與點(diǎn)之間線的長(zhǎng)短曲直，對(duì)于反映研究對(duì)象之間的關(guān)系，顯的并不重要，因此，圖論中的圖與幾何圖，工程圖等本質(zhì)上是不同的。第12頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

綜上所述，圖論中的圖是由點(diǎn)和點(diǎn)與點(diǎn)之間的線所組成的。通常，我們把點(diǎn)與點(diǎn)之間不帶箭頭的線叫做邊，帶箭頭的線叫做弧。如果一個(gè)圖是由點(diǎn)和邊所構(gòu)成的，那么，稱為無(wú)向圖，記作G=(V，E)，其中V表示圖G

的點(diǎn)集合，E表示圖G的邊集合。連接點(diǎn)vi,vjV的邊記作[vi,vj]，或者[vj,vi]。如果一個(gè)圖是由點(diǎn)和弧所構(gòu)成的，那么稱為它為有向圖，記作D=(V,A)，其中V表示有向圖D的點(diǎn)集合，A表示有向圖D的弧集合。一條方向從vi指向vj的弧，記作(vi,vj)。第13頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如.圖8.4是一個(gè)無(wú)向圖G=（V，E），

其中V={v1,v2,v3,v4}E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],[v3,v3]}v3v2v1v4圖8.4第14頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8.5是一個(gè)有向圖D=（V，A）其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}A={(v1,v2),(v1,v3),(v3,v2)(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5),(v4,v6),(v5,v3),(v5,v4),(v5,v6),(v6,v7)}圖8.5v7v5v3v4v2v6v1第15頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下面介紹一些常用的名詞：一個(gè)圖G或有向圖D中的點(diǎn)數(shù),記作P(G)或P(D),簡(jiǎn)記作P,邊數(shù)或者弧數(shù),記作q(G)或者q(D),簡(jiǎn)記作q。如果邊[vi,vj]E,那么稱vi,vj

是邊的端點(diǎn)，或者vi,vj是相鄰的。如果一個(gè)圖G中，一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)，如圖8.4中的邊[v3,v3]是環(huán)。如果兩個(gè)端點(diǎn)之間有兩條以上的邊，那么稱為它們?yōu)槎嘀剡?，如圖8.4中的邊[v1

,v2],[v2

,v1]。一個(gè)無(wú)環(huán)，無(wú)多重邊的圖稱為簡(jiǎn)單圖，一個(gè)無(wú)環(huán)，有多重邊的圖稱為多重圖。第16頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊的個(gè)數(shù)稱為點(diǎn)v的度，記作d(v),如圖8—4中d(v1)=3，d(v2)=4,d(v3)=4,d(v4)=3。度為零的點(diǎn)稱為弧立點(diǎn)，度為1的點(diǎn)稱為懸掛點(diǎn)。懸掛點(diǎn)的邊稱為懸掛邊。度為奇數(shù)的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，度為偶數(shù)的點(diǎn)稱為偶點(diǎn)。端點(diǎn)的度

d(v)：點(diǎn)v

作為端點(diǎn)的邊的個(gè)數(shù)奇點(diǎn)：d(v)=奇數(shù)；第17頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三偶點(diǎn)：d(v)=偶數(shù)；懸掛點(diǎn)：d(v)=1；懸掛邊：與懸掛點(diǎn)連接的邊；孤立點(diǎn)：d(v)=0；空?qǐng)D：E=，無(wú)邊圖v1v2v3v4v5v6第18頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三v1v7v6v5v4v3v2V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7

}d(v1)=3;d(v2)=5;d(v3)=4;d(v4)=4;d(v5)=1;d(v6)=3;d(v7)=0其中v5為懸掛點(diǎn)，v7為孤立點(diǎn)。第19頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

定理8.1所有頂點(diǎn)度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。

證明：因?yàn)樵谟?jì)算各個(gè)點(diǎn)的度時(shí)，每條邊被它的兩個(gè)端點(diǎn)個(gè)用了一次。v1v5v4v3v2簡(jiǎn)單圖（2）（4）（3）（3）（2）v1v5v4v3v2多重圖（4）（6）（3）（3）（2）第20頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理8.2

在任一圖中，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。證明：設(shè)V1，V2分別是圖G中奇點(diǎn)和偶點(diǎn)的集合，由定理8.1，有因?yàn)槭桥紨?shù)，也是偶數(shù)，因此也必是偶數(shù)，從而V1中的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)。第21頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三有向圖中，以vi為始點(diǎn)的邊數(shù)稱為點(diǎn)vi的出次，用表示；以vi為終點(diǎn)的邊數(shù)稱為點(diǎn)vi的入次，用表示；vi點(diǎn)的出次和入次之和就是該點(diǎn)的次。結(jié)論：所有頂點(diǎn)的入次之和等于所有頂點(diǎn)的出次之和。第22頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖的連通性：鏈：由兩兩相鄰的點(diǎn)及其相關(guān)聯(lián)的邊構(gòu)成的點(diǎn)邊序列。如:v0,e1

,v1

,e2

,v2，e3

,v3

,…,vn-1,en

，vn;v0，vn分別為鏈的起點(diǎn)和終點(diǎn)

。記作（v0,v1

,v2，,v3

,…,vn-1,vn）簡(jiǎn)單鏈：鏈中所含的邊均不相同；初等鏈：鏈中所含的點(diǎn)均不相同,也稱通路；圈：若v0≠vn

則稱該鏈為開鏈，否則稱為閉鏈或回路或圈；第23頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)單圈：如果在一個(gè)圈中所含的邊均不相同初等圈：除起點(diǎn)和終點(diǎn)外鏈中所含的點(diǎn)均不相同的圈；連通圖：圖中任意兩點(diǎn)之間均至少有一條通路，否則稱為不連通圖。

v1v2v4v3v5v6v7v8v9初等鏈:(v1,v2,v3,v6,v7,v5)初等圈：(v1,v2,v3,v5,v4,v1)第24頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)單圈：(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)簡(jiǎn)單鏈：(v1,v2,v3,v4,v5,v3)

以后除特別聲明，均指初等鏈和初等圈。v1v2v3v4v5連通圖v1v5v4v3v2v6第25頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三子圖定義：如果V2

V1,E2

E1稱G2是G1的子圖；真子圖：如果V2

V1,E2

E1

稱G2是

G1的真子圖；部分圖：如果V2=V1,E2

E1

稱G2

是

G1

的部分圖或支撐子圖；

導(dǎo)出子圖：

如果V2

V1,E2={[vi,vj]∣vi,vjV2},稱G2是G1中由V2

導(dǎo)出的導(dǎo)出子圖。設(shè)G1=[V1,E1],G2=[V2,E2]第26頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三G1第27頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三G2真子圖第28頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三G3子圖

部分圖第29頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三G4導(dǎo)出子圖第30頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三有向圖：關(guān)聯(lián)邊有方向?。河邢驁D的邊a=(u,v),起點(diǎn)u

,終點(diǎn)v；路：若有從u到v不考慮方向的鏈,且各方向一致,則稱之為從u到v的路；初等路:

各頂點(diǎn)都不相同的路；

初等回路:u=v的初等路;

連通圖：

若不考慮方向是無(wú)向連通圖;

強(qiáng)連通圖：任兩點(diǎn)有路;v1v2v3v4v5第31頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§8.2樹和最小支撐樹一、樹及其性質(zhì)在各種各樣的圖中，有一類圖是十分簡(jiǎn)單又非常具有應(yīng)用價(jià)值的圖，這就是樹。

例8.3已知有六個(gè)城市，它們之間要架設(shè)電話線，要求任意兩個(gè)城市均可以互相通話，并且電話線的總長(zhǎng)度最短。第32頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果用六個(gè)點(diǎn)v1…v6代表這六個(gè)城市，在任意兩個(gè)城市之間架設(shè)電話線，即在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條邊。這樣，六個(gè)城市的一個(gè)電話網(wǎng)就作成一個(gè)圖。表示任意兩個(gè)城市之間均可以通話，這個(gè)圖必須是連通圖。并且，這個(gè)圖必須是無(wú)圈的。否則，從圈上任意去掉一條邊，剩下的圖仍然是六個(gè)城市的一個(gè)電話網(wǎng)。圖8.8是一個(gè)不含圈的連通圖，代表了一個(gè)電話線網(wǎng)。第33頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8.8v6v3v4v2v5v1第34頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

定義8.1一個(gè)無(wú)圈的連通圖叫做樹。下面介紹樹的一些重要性質(zhì)：

定理8.3設(shè)圖G=（V，E）是一個(gè)樹P(G)≥2，那么圖G中至少有兩個(gè)懸掛點(diǎn)。定理8.4圖G=（V，E）是一個(gè)樹的充要條件是G不含圈，并且有且僅有P-1條邊。

定理8.5圖G=（V，E）是一個(gè)樹的充要條件是G是連通圖，并且有且僅有p–1條邊。

定理8.6圖G是一個(gè)樹的充分必要條件是任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間有且僅有一條鏈。第35頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從以上定理，不難得出以下結(jié)論：（1）從一個(gè)樹中任意去掉一條邊，那么剩下的圖不是連通圖，亦即，在點(diǎn)集合相同的圖中，樹是含邊數(shù)最少的連通圖。（2）在樹中不相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間加上一條邊，那么恰好得到一個(gè)圈。二.支撐樹定義8.2設(shè)圖K=(V,EI)是圖G=(V,E)的第36頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

一支撐子圖，如果圖K=(V,EI)是一個(gè)樹,那么稱K是G的一個(gè)支撐樹。例如,圖8.10b是圖8.10a的一個(gè)支撐樹圖8.10v6v5v2v3v4v1av6v5v2v3v4v1b第37頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三顯然,如果圖K=(V,EI)是圖G=(V,E)的一個(gè)支撐樹,那么K的邊數(shù)是p(G)-1，G中不屬于支撐樹K的邊數(shù)是q(G)-p(G)+1。

定理8.7一個(gè)圖G有支撐樹的充要條件是G是連通圖。

證明：充分性:設(shè)圖G是連通的，若G不含圈，則按照定義，G是一個(gè)樹，從而G是自身的一個(gè)支撐樹。若G含圈，則任取G的第38頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一個(gè)圈，從該圈中任意去掉一條邊，得到圖G的一支撐子圖G1。若G1不含圈，則G1是G的一個(gè)支撐樹。若G1仍然含圈，則任取G1的一個(gè)圈，再?gòu)娜χ腥我馊サ粢粭l邊，得到圖G的一支撐子圖G2。依此類推，可以得到圖G的一個(gè)支撐子圖GK，且不含圈，從而GK是一個(gè)支撐樹。第39頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

定理8.7充分性的證明，提供了一個(gè)尋找連通圖支撐樹的方法叫做“破圈法”。就是從圖中任取一個(gè)圈，去掉一條邊。再對(duì)剩下的圖重復(fù)以上步驟，直到不含圈時(shí)為止，這樣就得到一個(gè)支撐樹。

例8.4用破圈法求出圖8-11的一個(gè)支撐樹。e4e6e5e3e2e1e7e8v3v2v1v4v5圖8-11第40頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三取一個(gè)圈(v1,v2,v3,v1)，在一個(gè)圈中去掉邊e3。在剩下的圖中，再取一個(gè)圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉邊e4

。再?gòu)娜Γ╲3,v4v5,v3）中去掉邊e6

。再?gòu)娜?v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉邊e7，這樣，剩下的圖不含圈，于是得到一個(gè)支撐樹，如圖8.12所示。v2e1e2e5e8v1v3v4v5圖8.12第41頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三.最小支撐樹問(wèn)題

定義8.3如果圖G=（V，E），對(duì)于G中的每一條邊[vi,vj]，相應(yīng)地有一個(gè)數(shù)Wij

，那么稱這樣的圖G為賦權(quán)圖，Wij稱為邊[vi,vj]的權(quán)。這里所指的權(quán)，是具有廣義的數(shù)量值。根據(jù)實(shí)際研究問(wèn)題的不同，可以具有不同的含義。例如長(zhǎng)度，費(fèi)用、流量等等。賦權(quán)圖在圖論及實(shí)際應(yīng)用方面有著重要的地位，被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)管理和工程技術(shù)等領(lǐng)域，最小支撐樹問(wèn)題就是賦權(quán)圖的最優(yōu)化問(wèn)題之一。第42頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)G=（V，E）是一個(gè)連通圖，G的每一條[vi,vj]對(duì)應(yīng)一個(gè)非負(fù)的權(quán)Wij。定義8.4如果圖T=（V，EI）是圖G的一個(gè)支撐樹，那么稱EI上所有邊的權(quán)的和為支撐樹T的權(quán)，記作S(T)。如果圖G的支撐樹T*的權(quán)S(T*)，在G

的所有支撐樹T中的權(quán)最小，即S(T*)=minTS(T)，那么稱T*是G的最小支撐樹。

第43頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如前所述，在已知的幾個(gè)城市之間聯(lián)結(jié)電話線網(wǎng)，要求總長(zhǎng)度最短和總建設(shè)費(fèi)用最少，一個(gè)問(wèn)題的解決可以歸結(jié)為最小支撐樹問(wèn)題。再如，城市間交通線的建造等，都可以歸結(jié)為這一類問(wèn)題。

下面介紹尋求最小支撐樹的方法--破圈法。在給定的連通圖中任取一個(gè)圈，去掉權(quán)最大的一條邊，如果有兩條以上權(quán)最大的邊，則任意第44頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三去掉一條。在剩下的圖中，重復(fù)以上步驟，直到得到一個(gè)不含圈的連通圖為止，這個(gè)圖便是最小支撐樹。

例8.5某六個(gè)城市之間的道路網(wǎng)如圖8.13a所示，要求沿著已知長(zhǎng)度的道路聯(lián)結(jié)六個(gè)城市的電話線網(wǎng)，使得電話線的總長(zhǎng)度最短。第45頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8.13av3v2v1v4v6v553142圖8.13b3v6v5v2v3v46255441v173第46頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

解：這個(gè)問(wèn)題的解決就是要求所示賦權(quán)圖8.13a中的最小支撐樹。用破圈法求解。任取一個(gè)圈，例如（v1,v2,v3,v1），去掉這個(gè)圈中權(quán)最大的邊[v1,v3]。再取一個(gè)圈（v3

,v5

,v2

,v3），去掉邊[v2,v5]。再取一個(gè)圈（v3,v5,v4,v2,v3），去掉邊[v3

,v5]。再取一個(gè)圈（v5,v6,v4

,v5），這個(gè)圈中，有兩條權(quán)最大的邊[v5,v6]和[v4,v6]。任意去掉其中的一條，例如[v5,v6]。這時(shí)得到一個(gè)第47頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三不含圈的圖，如圖8.13b所示，即是最小支撐樹。關(guān)于破圈法正確性的證明略去。例用破圈法求出下圖中的最小支撐樹3122353223225422232222122第48頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三破圈法和生長(zhǎng)法兩個(gè)方法：（1）在網(wǎng)絡(luò)圖中尋找一個(gè)圈。若不存在圈，則已經(jīng)得到最短樹或網(wǎng)絡(luò)不存在最短樹；（2）去掉該圈中權(quán)數(shù)最大的邊；

反復(fù)重復(fù)①②兩步，直到最短樹。1.破圈法第49頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從網(wǎng)絡(luò)圖中任意節(jié)點(diǎn)開始尋找與該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的權(quán)數(shù)最小的邊，得到另一節(jié)點(diǎn)后，再?gòu)倪@個(gè)新節(jié)點(diǎn)開始尋找與該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的權(quán)數(shù)最小的另一邊……。注意尋找過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)不得重復(fù)，即在找最小權(quán)數(shù)邊時(shí)不考慮已選過(guò)的邊,反復(fù)進(jìn)行，直到得到最短樹或證明網(wǎng)絡(luò)不存在最短樹。2.成長(zhǎng)法第50頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例用成長(zhǎng)法求出下圖中的最小支撐樹（最短樹）v1v2v3v4v5v6v7v1v2v3v4v5v6v731245223423122223第51頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一.引言最短路徑問(wèn)題是圖論中十分重要的最優(yōu)化問(wèn)題之一，它作為一個(gè)經(jīng)常被用到的基本工具，可以解決生產(chǎn)實(shí)際中的許多問(wèn)題，比如城市中的管道鋪設(shè)，線路安排，工廠布局，設(shè)備更新等等。也可以用于解決其它的最優(yōu)化問(wèn)題。

§8.3最短路問(wèn)題第52頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例8．6如圖8.14所示的單行線交通網(wǎng)，每個(gè)弧旁邊的數(shù)字表示這條單行線的長(zhǎng)度?，F(xiàn)在有一個(gè)人要從v1出發(fā)，經(jīng)過(guò)這個(gè)交通網(wǎng)到達(dá)v8，要尋求是總路程最短的線路。圖8.14v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101第53頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

從v1到v8的路線是很多的。比如從v1出發(fā)，經(jīng)過(guò)v2,v5到達(dá)v8或者從v1出發(fā)，經(jīng)過(guò)v4，v6

，v7

到達(dá)v8等等。但不同的路線，經(jīng)過(guò)的總長(zhǎng)度是不同的。例如，按照第一個(gè)線路，總長(zhǎng)度是6+1+6=13單位，按照第二個(gè)路線，總長(zhǎng)度是1+10+2+4=17單位。從這個(gè)例子中，可以給出一般意義下的最短路問(wèn)題。設(shè)一個(gè)賦權(quán)有向圖D=（V，A），第54頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于每一個(gè)弧a=（vi,vj），相應(yīng)地有一個(gè)權(quán)wij。Vs,vt是D中的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是D中從vs到vt的任意一條路，定義路的權(quán)是P中所有弧的權(quán)的和，記作S(p)。最短路問(wèn)題就是要在所有從vs到vt的路P0中，尋找一個(gè)權(quán)最小的路P0，亦即S(P0)=minS(p)。P0叫做從vs到vs的最短路。P0的權(quán)S(P0)叫做從vs到vt的距離，記作d（vs，vt）。由于D是有向圖，很明顯d（vs，vt）與d（vt，vs）一般不相等。第55頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二.Dijkstra算法下面介紹在一個(gè)賦權(quán)有向圖中尋求最短路的方法——Dijkstra算法，它是在1959年提出來(lái)的。目前公認(rèn)，在所有的權(quán)wij

≥0時(shí)，這個(gè)算法是尋求最短路問(wèn)題最好的算法。并且，這個(gè)算法實(shí)際上也給出了尋求從一個(gè)始定點(diǎn)vs到任意一個(gè)點(diǎn)vj的最短路。第56頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Dijkstra算法的基本思想是從vs出發(fā)，逐步向外尋找最短路。在運(yùn)算過(guò)程中，與每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，記錄一個(gè)數(shù)，叫做一個(gè)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)。它或者表示從vs到該點(diǎn)的最短路權(quán)（叫做P標(biāo)號(hào)），或者表示從vs到該點(diǎn)最短路權(quán)的上界（叫做T標(biāo)號(hào)）。算法的每一步是去修改T標(biāo)號(hào)，把某一個(gè)具有T標(biāo)號(hào)的點(diǎn)改變?yōu)榫哂蠵標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，使圖D中具有P標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)多一個(gè)。這樣，至多經(jīng)過(guò)P-1步，就可求出從vs到各點(diǎn)vj的最短路。第57頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

以例1為例說(shuō)明這個(gè)基本思想。在例1中，S=1。因?yàn)閃ij≥0，d（v1,v1）=0。這時(shí)，v1是具有P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)?，F(xiàn)在看從v1出發(fā)的三條?。╲1,v2），（v1,v3）和（v1,v4）。如果一個(gè)人從v1出發(fā)沿（v1,v2）到達(dá)v2，這時(shí)的路程是d（v1,v1）+w12=6單位。如果從v1出發(fā)，沿（v1

,v3）到達(dá)v3，則是d（v1

,v1）+w13=3單位。同理，沿（v1,v4）到達(dá)v4，是d（v1,v1）+w14=1單位。因此，他從v1出發(fā)到達(dá)v4的最短路必是（v1,v4），d（v1,v4）=1。第58頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這是因?yàn)閺膙1到達(dá)v4的任一條路P，假如不是（v1

,v4），則必先沿（v1

,v2）到達(dá)v2，或者沿（v1

,v3）到達(dá)v3，而這時(shí)的路程已是6或者3單位。由于所有的權(quán)wij

≥0，因此，不論他如何再?gòu)膙2或者v3到達(dá)v4，所經(jīng)過(guò)的總路程都不會(huì)比1少，于是就有d（v1

,v4）=1。這樣就使v4變成具有P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)?，F(xiàn)在看從v1和v4指向其余點(diǎn)的弧。如上所述，從v1出發(fā)，分別沿（v1

,v2），（v1,v3）到達(dá)v2，v3，經(jīng)過(guò)第59頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三的路程是6或者3單位。從v4出發(fā)沿（v4

,v6）到達(dá)v6，經(jīng)過(guò)的路程是d（v1,v4）+w46=1+10=11單位。而min{d（v1,v1）+w12，d（v1,v1）+w13，d（v1

,v4）+w46}=d（v1,v1）+w13=3單位。根據(jù)同樣的理由，可以斷定，從v1到達(dá)v3的最短路是（v1,v3），d（v1,v3）=3。這樣，又使點(diǎn)v3變?yōu)榫哂蠵標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，不斷重復(fù)以上過(guò)程，就可以求出從vs到達(dá)任一點(diǎn)vj的最短路。第60頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(6,1)(3,1)(1,1)(0,0)(3,1)(1,1)(6,1)(11,4)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101v3v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101v3第61頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(3,1)(1,1)v2v6v5(6,1)(11,4)(0,0)(3,1)(1,1)(5,3)(11,4)v1v4v8v7v9636234102312624101v3v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101v3第62頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(3,1)(1,1)v2(5,3)(11,4)(0,0)(3,1)(1,1)v4v2v610(5,3)(11,4)(6,2)v1v4v8v7v6v5v9636234102312624101v3v1v8v7v5v96362342312624101v3第63頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(11,4)(6,2)(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(10,5)(6,2)(9,5)(12,5)v3v3第64頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(10,5)(6,2)(9,5)(12,5)(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(10,5)(6,2)(9,5)(12,5)v3v3第65頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(10,5)(6,2)(9,5)(12,5)(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(10,5)(6,2)(9,5)(12,5)v3v3第66頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,0)(3,1)(1,1)v1v4v2v8v7v6v5v9636234102312624101(5,3)(10,5)(6,2)(9,5)(12,5)從v1到v8的最短路的長(zhǎng)度為：12從v1到v8的最短路線為：v8v5v3v1v2v3第67頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三步驟：1、給起點(diǎn)一個(gè)永久標(biāo)號(hào)（0，0）。永久標(biāo)號(hào)用下劃線表示；標(biāo)號(hào)中的第一個(gè)數(shù)表示從起點(diǎn)到該點(diǎn)的距離；第二個(gè)數(shù)表示該點(diǎn)的前面沒(méi)有點(diǎn)了。2、修改非永久標(biāo)號(hào)點(diǎn)vi的臨時(shí)標(biāo)號(hào)為(a,b),其中a為以vi為終點(diǎn)的弧，如果其起點(diǎn)為永久標(biāo)號(hào)，則求其永久標(biāo)號(hào)的第一個(gè)數(shù)與弧長(zhǎng)的和，如果這樣的和有多個(gè)，則取最小值。b為前一個(gè)點(diǎn)的下標(biāo)。第68頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、在臨時(shí)標(biāo)號(hào)中取第一個(gè)標(biāo)號(hào)的最小值，將該標(biāo)號(hào)該為永久標(biāo)號(hào)，再返回到2步三、含有負(fù)權(quán)的最短路的求法83-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v8書例8.8：求從v1到v8的最短路第69頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三83-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-1-2383-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-5-2-71-15第70頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三83-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-5-2-71-1-583-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-5-2-7-3-1-56第71頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三83-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-5-2-7-3-1-5683-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-5-2-7-3-1-56第72頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三83-26-1-3-5-1-1212117-3-3v1v2v3v4v5v6v7v80-5-2-7-3-1-56從v1到v8的最短路的長(zhǎng)度為：6從v1到v8的最短路線為：v8v6v3v1第73頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三某工廠使用一種設(shè)備，這種設(shè)備在一定的年限內(nèi)隨著時(shí)間的推移逐漸損壞。所以工廠在每年年初都要決定設(shè)備是否更新。若購(gòu)置設(shè)備，每年需支付購(gòu)置費(fèi)用；若繼續(xù)使用舊設(shè)備，需要支付維修與運(yùn)行費(fèi)用，而且，隨著設(shè)備的老化會(huì)逐年增加。計(jì)劃期（五年）內(nèi)每年的購(gòu)置費(fèi)、維修費(fèi)與運(yùn)行費(fèi)如表所示，工廠要制定今后五年設(shè)備更新計(jì)劃，問(wèn)采用何種方案才能使包括購(gòu)置費(fèi)、維修費(fèi)與運(yùn)行費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用最小。書例8.9：年份12345購(gòu)置費(fèi)1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費(fèi)57121825第74頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三年份12345購(gòu)置費(fèi)1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費(fèi)57121825v1v2v3v4v5v6233042608525262829326244第75頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§8.4最大流問(wèn)題一

引言在許多實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中都存在著流量和最大流問(wèn)題。例如鐵路運(yùn)輸系統(tǒng)中的車輛流，城市給排水系統(tǒng)的水流問(wèn)題等等。而網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)流最大流問(wèn)題是圖與網(wǎng)絡(luò)流理論中十分重要的最優(yōu)化問(wèn)題，它對(duì)于解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題起著十分重要的作用。第76頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8.19是聯(lián)結(jié)某個(gè)起始地vs和目的地vt的交通運(yùn)輸網(wǎng)，每一條弧vi

旁邊的權(quán)cij表示這段運(yùn)輸線的最大通過(guò)能力，貨物經(jīng)過(guò)交通崗從vs運(yùn)送到vt.要求指定一個(gè)運(yùn)輸方案，使得從vs到vt的貨運(yùn)量最大，這個(gè)問(wèn)題就是尋求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最大流問(wèn)題。問(wèn)題描述 連通網(wǎng)絡(luò)G(V,A)有m個(gè)節(jié)點(diǎn),n條弧,弧eij上的流量上界為cij,求從起始節(jié)點(diǎn)vs到終點(diǎn)vt的最大流量。第77頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8.19vtv3v2v1v4vs1735108611453Cij第78頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二基本概念定義8.5設(shè)一個(gè)賦權(quán)有向圖D=（V,A）,在V中指定一個(gè)發(fā)點(diǎn)vs和一個(gè)收點(diǎn)vt,其它的點(diǎn)叫做中間點(diǎn)。對(duì)于D中的每一個(gè)?。╲i,vj）∈A,都有一個(gè)權(quán)叫做弧的容量。我們把這樣的圖D叫做一個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱網(wǎng)絡(luò)，記做D=（V，A，C）。

網(wǎng)絡(luò)D上的流，是指定義在弧集合A上的一個(gè)函數(shù)f={f(vi,vj)}={fjj}f(vi,vj)=fij叫做弧(vi,vj)上的流量。第79頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如圖8.19就是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。每一個(gè)弧旁邊的權(quán)就是對(duì)應(yīng)的容量（最大通過(guò)能力）cij.圖8.20表示的就是這個(gè)網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)流（運(yùn)輸方案），每一個(gè)弧上的流量fij就是運(yùn)輸量。例如fs1=5,fs2=3,f13=2等等。對(duì)于實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)上的流，有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：(1)發(fā)點(diǎn)的總流出量和收點(diǎn)的總流入量必相等。(2)每一個(gè)中間點(diǎn)的流入量與流出量的代數(shù)和等于零。(3)每一個(gè)弧上的流量第80頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三不能超過(guò)它的最大通過(guò)能力（即容量）于是有：vtv3v2v1v4vs（17，2）（3，3）（5，2）（10，5）（8，3）（6，3）（11，6）（4，1）（5，1）（3，2）fij圖8.20第81頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義8.6網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)流f

叫做可行流，如果f滿足以下條件

（1）容量條件：對(duì)于每一個(gè)弧（vi,vj）∈A,有0fij

cij

.

（2）平衡條件：對(duì)于發(fā)點(diǎn)vs,有對(duì)于收點(diǎn)vt,有對(duì)于中間點(diǎn)，有第82頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三任意一個(gè)網(wǎng)絡(luò)上的可行流總是存在的。例如零流v(f)=0,就是滿足以上條件的可行流。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中最大流問(wèn)題就是在給定的網(wǎng)絡(luò)上尋求一個(gè)可行流f,其流量v(f)達(dá)到最大值。設(shè)流f={fij}是網(wǎng)絡(luò)D上的一個(gè)可行流。我們把D中fij=cij的弧叫做飽和弧，fij<cij的弧叫其中發(fā)點(diǎn)的總流量（或收點(diǎn)的總流量）v(f)

叫做這個(gè)可行流的流量。第83頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三做非飽和弧，fij>0的弧為非零流弧，fij=0的弧叫做零流弧.在圖8.20中，(v4

,v3)是飽和弧，其他的弧是非飽和弧，并且都是非零流弧。設(shè)μ是網(wǎng)絡(luò)D中連接發(fā)點(diǎn)νs和收點(diǎn)vt的一條鏈。定義鏈的方向是從νs到

vt

，于是鏈μ上的弧被分為兩類：一類是弧的方向與鏈的方向相同，叫做前向弧，前向弧的集合記做μ+。二類是弧的方向與鏈的方向相反，叫做后向弧，后向弧的集合記做μ–。第84頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如在圖8.19中，在鏈（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，

μ+={（vs,v1）,(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)},

μ–

={(v4

,v3)}.增廣鏈：如果鏈μ滿足以下條件：1．在?。╲i,vj）∈μ+上，有0fij<cij,即μ+中的每一條弧是非飽和弧。2．在弧（vi,vj）∈μ–上，有0<fijcij,即μ–中的每一條弧是非零流弧。第85頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如在圖8.20中，鏈μ=（vs,v1,v2,v3,v4,vt）就是一條增廣鏈。定理8.8網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)可行流f*是最大流的充分必要條件是，不存在關(guān)于f*的增廣鏈。第86頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理8.8為我們提供了一個(gè)尋求網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最大流的方法。亦即，如果網(wǎng)絡(luò)D中有一個(gè)可行流f，只要判斷網(wǎng)絡(luò)是否存在關(guān)于可行流f的增廣鏈。如果沒(méi)有增廣鏈，那么f一定是最大流。如有增廣鏈，那么可以按照定理8.9中必要性，不斷改進(jìn)和增大可行流

f的流量，最終可以得到網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)最大流。第87頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三．標(biāo)號(hào)法從網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)可行流f出發(fā)（如果D中沒(méi)有f，可以令f是零流），運(yùn)用標(biāo)號(hào)法，經(jīng)過(guò)標(biāo)號(hào)過(guò)程和調(diào)整過(guò)程，可以得到網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)最大流。下面用給頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)的方法來(lái)定義V1*.在標(biāo)號(hào)過(guò)程中，有標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)是V1*中的點(diǎn)，沒(méi)有標(biāo)號(hào)的點(diǎn)不是V1*中的點(diǎn)。如果vt有了標(biāo)號(hào)，表示存在一條關(guān)于f的增廣鏈。如果標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去，并且vt未被標(biāo)號(hào)，則表示不存在關(guān)于f的增廣鏈。這樣，就得到了網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)最大流。第88頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．

標(biāo)號(hào)過(guò)程在標(biāo)號(hào)過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)或者是標(biāo)號(hào)點(diǎn)（分為已檢查和未檢查兩種）。或者是未標(biāo)號(hào)點(diǎn)。每個(gè)標(biāo)號(hào)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)包含兩部分：第一個(gè)標(biāo)號(hào)表示這個(gè)標(biāo)號(hào)是從那一點(diǎn)得到的。以便找出增廣鏈。第二個(gè)標(biāo)號(hào)是為了用來(lái)確定增廣鏈上的調(diào)整量θ。標(biāo)號(hào)過(guò)程開始：1、先給vs標(biāo)號(hào)（0，+∞）。這時(shí)，vs是標(biāo)號(hào)未檢查的點(diǎn)，其它都是未標(biāo)號(hào)點(diǎn)。2、一般地，取一個(gè)標(biāo)號(hào)未檢查點(diǎn)vi，對(duì)一切未標(biāo)號(hào)點(diǎn)vj：第89頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（1）如果在?。╲i,vj）上，fij<cij,那么給vj標(biāo)號(hào)（vi,l(vj)）.其中l(wèi)(vj)=min[l(vi),cij–fij].這時(shí)，vj成為標(biāo)號(hào)未檢查的點(diǎn)。（2）如果在?。╲j,vi）上，fji>0,那么給vj標(biāo)號(hào)（-vi,l(vj)）.其中l(wèi)(vj)=min[l(vi),fji].這時(shí)，vj成為標(biāo)號(hào)未檢查點(diǎn)。于是vi成為標(biāo)號(hào)已檢查的點(diǎn)。重復(fù)以上步驟，如果所有的標(biāo)號(hào)都已經(jīng)檢查過(guò)，而標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去，則標(biāo)號(hào)法結(jié)束。這時(shí)的可行流就是最大流。第90頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.調(diào)整過(guò)程首先按照vt和其它的點(diǎn)的第一個(gè)標(biāo)號(hào)，反向追蹤，找出增廣鏈μ

。例如，令vt的第一個(gè)標(biāo)號(hào)是vk，則?。╲k,vt）在μ上。再看vk的第一個(gè)標(biāo)號(hào)，若是vi，則弧(vi,vk)都在μ上。依次類推，直到vs為止。這時(shí)，所找出的弧就成為網(wǎng)絡(luò)D的一條增廣鏈μ。取調(diào)整量θ=l(vt),即vt的第二個(gè)標(biāo)號(hào)，令但是，如果vt被標(biāo)上號(hào)，表示得到一條增廣鏈μ，轉(zhuǎn)入下一步調(diào)整過(guò)程。第91頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其它不變?cè)偃サ羲械臉?biāo)號(hào)，對(duì)新的可行流f’={f’ij},重新進(jìn)行標(biāo)號(hào)過(guò)程，直到找到網(wǎng)絡(luò)D的最大流為止。例8.8求圖8.21的網(wǎng)絡(luò)最大流，弧旁的權(quán)數(shù)表示（cij,fij）。第92頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1v2v3v4vt(3,3)(5,1)(4,3)(1,1)(1,1)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)圖8—20例8—8網(wǎng)絡(luò)圖第93頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

解：用標(biāo)號(hào)法。1.標(biāo)號(hào)過(guò)程。

（1）首先給vs標(biāo)號(hào)（0，+∞）

（2）看vs:在弧(vs

,v2)上,fs2=cs3=3,不具備標(biāo)號(hào)條件。在弧(vs

,v1)上,fs1=1<cs1=5,故給v1標(biāo)號(hào)（vs,l(v1)),其中l(wèi)(v1)=min[l(vs),(cs1–fs1)]=min[+∞,5–1]=4.

（3）看v1:在?。╲1

,v3）上,f13=c13=2,不具備標(biāo)號(hào)條件.在弧(v2

,v1)上,f21=1>0,故給v2標(biāo)號(hào)（-v1,l(v2)）,其中

l(v2)=min[l(v1),f21]=min[4,1]=1.第94頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1v2v3v4vt(3,3)(5,1)(4,3)(1,1)(1,1)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)圖8—21例8—8網(wǎng)絡(luò)圖(0,+)(vs,4)(–v1,1)(v2,1)(-v2,1)(v3,1)第95頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（4）看v2:在弧（v2

,v4）上，f24

=3<c24=4,故給v4標(biāo)號(hào)（v2,l(v4)）其中l(wèi)(v4)=min[l(v2),(c24–f24)]=min[1,1]=1.在弧（v3

,v2)上，f32

=1>0,故給v3標(biāo)號(hào)（-v2，l(v3)),其中

l(l(v3

)=min[l(v2),f32]=min[1,1]=1。

（5）在v3

,v4中任意選一個(gè)，比如v3

,在?。╲3,vt）上，f3t

=1<c3t=2,故給vt標(biāo)號(hào)(v3,l(vt)),其中l(wèi)(vt)=min[l(v3),(c3t-f3t)]=min[1,1]=1.因?yàn)関t被標(biāo)上號(hào)，根據(jù)標(biāo)號(hào)法，轉(zhuǎn)入調(diào)整過(guò)程。第96頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.調(diào)整過(guò)程從vt開始，按照標(biāo)號(hào)點(diǎn)的第一個(gè)標(biāo)號(hào)，用反向追蹤的方法，找出一條從vs到vt的增廣鏈μ，如圖8—22中雙箭線所示。不難看出,μ+={(vs

,v1),(v3

,vt)},μ–

={(v2

,v1),(v3

,v2)},取θ=1，在μ上調(diào)整f，得到f*=fs1+θ=1+1=2在μ+上f3t+θ=1+1=2在μ+上f*=f21–θ=1–1=0在μ-上f32

–

θ=1–1=0在μ-上其它的不變第97頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1v2v3v4vt(3,3)(5,1)(4,3)(1,1)(1,1)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)圖8—22例8—8網(wǎng)絡(luò)圖(5,2)(1,0)(1,0)(2,2)(cij,fij)第98頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三調(diào)整后的可行流f*，如圖8.22所示，再對(duì)這個(gè)可行流從新進(jìn)行標(biāo)號(hào)過(guò)程，尋找增廣鏈。首先給vs標(biāo)號(hào)（0，+∞），看vs,給v1標(biāo)號(hào)（vs,3）?？磛1,在弧（v1

,v3）上，f13=c13,?。╲2

,v1）上，f21=0,均不符合條件。因此標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去，不存在從vS到vt的增廣鏈，算法結(jié)束。這時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中的可行流f*

即是最大流，最大流的流量v(f*)=fs1+fs2=5.同時(shí)，也找出D的最小截集（V1，），其中V1是標(biāo)號(hào)的集合，是未標(biāo)號(hào)的集合。第99頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1v2v3v4vt(3,3)(5,2)(4,3)(1,0)(1,0)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(cij,fij)(0,+)(vs,3)無(wú)可擴(kuò)充路，該可行流為最大流最大流：v(f*)=fs1+fs2=5第100頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例8—9求圖8—24所示網(wǎng)絡(luò)的最大流vsv1vtv5v4v3v24310413354278圖8—24例8—9網(wǎng)絡(luò)圖第101頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：給定初始可行流為全零流，即f（0）=0給vs標(biāo)號(hào)（0，+∞），檢查vs：給v1標(biāo)號(hào)(vs,4),給v2標(biāo)號(hào)(vs,3),給v3標(biāo)號(hào)(vs,10),vsv1vtv5v4v3v2（4,0）（10,0）（3,0）（3,0）（3,0）（4,0）（1,0）（2,0）（5,0）（4,0）（7,0）（8,0）第102頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(0,+)(vs,4)(vs,3)(vs,10)檢查v1：給v4標(biāo)號(hào)(v1,1)，檢查完畢；(v1,1)檢查v2：給v5標(biāo)號(hào)(v2,3)，檢查完畢；vsv1vtv5v4v3v2（4,0）（10,0）（3,0）（3,0）（3,0）（4,0）（1,0）（2,0）（5,0）（4,0）（7,0）（8,0）(v2,3)檢查v5：給vt標(biāo)號(hào)(v5,3)，檢查完畢；(v5,3)第103頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)榻K點(diǎn)vt已標(biāo)號(hào)，故找出一條從vs到vt的增廣鏈μ：vs—v2—v5—vt.取=3vsv1vtv5v4v3v2（4,0）（10,0）（3,3）（3,0）（3,0）（4,0）（1,0）（2,0）（5,3）（4,0）（7,0）（8,3）第104頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(vs,4)(v1,3)(vs,10)(v1,1)vsv1vtv5v4v3v2（4,0）（10,0）（3,3）（3,0）（3,0）（4,0）（1,0）（2,0）（5,3）（4,0）（7,0）（8,3）(v2,2)(0,+)(v5,2)vsv1vtv5v4v3v2（4,2）（10,0）（3,3）（3,2）（3,0）（4,0）（1,0）（2,0）（5,5）（4,0）（7,0）（8,5）第105頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(vs,2)(v3,3)(vs,10)(v2,3)vsv1vtv5v4v3v2（4,2）（10,0）（3,3）（3,2）（3,0）（4,0）（1,0）（2,0）（5,5）（4,0）（7,0）（8,5）(v3,4)(0,+)(v4,3)vsv1vtv5v4v3v2（4,2）（10,3）（3,3）（3,2）（3,3）（4,0）（1,0）（2,0）（5,5）（4,3）（7,3）（8,5）第106頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1vtv5v4v3v2（4,2）（10,3）（3,3）（3,2）（3,3）（4,0）（1,0）（2,0）（5,5）（4,3）（7,3）（8,5）vsv1vtv5v4v3v2（4,2）（10,6）（3,3）（3,2）（3,3）（4,3）（1,0）（2,0）（5,5）（4,3）（7,3）（8,8）(0,+)(vs,2)(vs,10)(v3,4)(v5,2)(v5,3)第107頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1vtv5v4v3v2（4,3）（10,6）（3,3）（3,2）（3,3）（4,3）（1,1）（2,0）（5,5）（4,3）（7,4）（8,8）vsv1vtv5v4v3v2（4,2）（10,6）（3,3）（3,2）（3,3）（4,3）（1,0）（2,0）（5,5）（4,3）（7,3）（8,8）(0,+)(vs,2)(vs,4)(v1,1)(v1,1)(v4,1)第108頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1vtv5v4v3v2（4,3）（10,6）（3,3）（3,2）（3,3）（4,3）（1,1）（2,0）（5,5）（4,3）（7,4）（8,8）vsv1vtv5v4v3v2（4,3）（10,7）（3,3）（3,2）（3,3）（4,4）（1,1）（2,1）（5,5）（4,3）（7,5）（8,8）(0,+)(vs,4)(vs,1)(v3,1)(v5,1)(v4,1)第109頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1vtv5v4v3v2（4,3）（10,7）（3,3）（3,2）（3,3）（4,4）（1,1）（2,1）（5,5）（4,3）（7,5）（8,8）vsv1vtv5v4v3v2（4,4）（10,7）（3,3）（3,3）（3,3）（4,4）（1,1）（2,1）（5,5）（4,4）（7,6）（8,8）(0,+)(vs,1)(vs,3)(v1,1)(v2,1)(v4,1)第110頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三vsv1vtv5v4v3v2（4,4）（10,7）（3,3）（3,3）（3,3）（4,4）（1,1）（2,1）（5,5）（4,4）（7,6）（8,8）(0,+)(vs,3)首先給vs標(biāo)號(hào)（0，+∞），看vs,給v3標(biāo)號(hào)（vs,3）?？磛3,在?。╲3

,v2）上，f32=c32,?。╲3

,v5）上，f35=c35,均不符合條件。因此標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去，不存在從vS到vt的增廣鏈，算法結(jié)束。最大流量f*=14。第111頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§8.5最小費(fèi)用最大流流問(wèn)題

在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，當(dāng)涉及到有關(guān)流的問(wèn)題的時(shí)候，我們往往不僅僅考慮的是流量，還經(jīng)常要考慮費(fèi)用的問(wèn)題。比如一個(gè)鐵路系統(tǒng)的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)流，即要考慮網(wǎng)絡(luò)流的貨運(yùn)量最大，又要考慮總費(fèi)用最小。最小費(fèi)用最大流問(wèn)題就是要解決這一類問(wèn)題。第112頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三我們首先考察，在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)D中，當(dāng)沿可行流f的一條增廣鏈μ，以調(diào)整量θ=1改進(jìn)f，得到的新可行流f`的流量，有v(f`)=v(f)+1，

設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)D=（V，A，C），對(duì)于每一個(gè)弧(vi,vj)∈A,給定一個(gè)單位流量的費(fèi)用bij0，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最小費(fèi)用最大流問(wèn)題，是指要尋求一個(gè)最大流f，并且流的總費(fèi)用達(dá)到最小。第113頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三而此時(shí)總費(fèi)用b(f`)比b(f)增加了結(jié)論：如果可行流f

在流量為v(f

)的所有可行流中的費(fèi)用最小，并且是關(guān)于f的所有增廣鏈中的費(fèi)用最小的增廣鏈，那么沿增廣鏈我們將叫做這條增廣鏈的費(fèi)用。第114頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三μ調(diào)整可行流f，得到的新可行流f`，也是流量為v(f’)的所有可行流中的最小費(fèi)用流。依次類推，當(dāng)f`是最大流時(shí)，就是所要求的最小費(fèi)用最大流。顯然，零流f={0}是流量為0的最小費(fèi)用流。一般地，尋求最小費(fèi)用流，總可以從零流f={0}開始。下面的問(wèn)題是：如果已知f是流量為v(f)的最小費(fèi)用流，那么就要去尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈。第115頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)此，重新構(gòu)造一個(gè)賦權(quán)有向圖M(f)，其頂點(diǎn)是原網(wǎng)絡(luò)D的頂點(diǎn)，而將D中的每一條弧(vi,vj)變成兩個(gè)相反方向的?。╲i,vj）和(vj,vi)，并且定義M(f)中弧的權(quán)wij為：并且將權(quán)為+∞的弧從M(f)

中略去。第116頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

這樣，在網(wǎng)絡(luò)D中尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈就等于價(jià)于在M(f)中尋求從vs到vt

的最短路。

算法開始，取零流f(0)

={0}.一般地，如果在第K-1步得到最小費(fèi)用流f

(K-1),則構(gòu)造圖M(f(k-1))。在圖M(f(k-1))中，尋求從vs到vt的最短路。如果存在最短路，則f(k-1)就是最小費(fèi)用最大流。如果存在最短路，則在原網(wǎng)絡(luò)D中得到相對(duì)應(yīng)（一一對(duì)應(yīng)）的增廣鏈μ0

第117頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在增廣鏈μ上對(duì)f(k–1)進(jìn)行調(diào)整，取調(diào)整量令：得到一個(gè)新的可行流f(k)，在對(duì)f(k)重復(fù)以上的步驟，直到D中找不到相對(duì)應(yīng)的增廣鏈時(shí)為止。第118頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例8.9求圖8-24所示網(wǎng)絡(luò)中的最小費(fèi)用最大流，弧旁的權(quán)是（bij,cij）.(bij,cij)(1,8)(3,10)(2,4)(6,2)(1,7)(4,10)(2,5)v1v2vsv3vt圖8-24第119頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

解：（1）取初始可行流為零流f(0)={0},(8,0)(10,0)(4,0)(2,0)(7,0)(10,0)(5,0)v1vsv2v3vt（cij,fij)第120頁(yè)，共146頁(yè)，2023年，2月20日，星期三