數(shù)形結合思想在解題中的應用

個人收集整理 僅供參考學習數(shù)形結合思想在解題中地應用主講人：黃岡中學高級教師 湯彩仙一、復習策略1．數(shù)形結合是把數(shù)或數(shù)量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數(shù)量關系或者利用數(shù)量關系來研究圖形地性質，是一種重要地數(shù)學思想方法．它可以使抽象地問題具體化，復雜地問題簡單化． “數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結合地思想方法可以深刻揭示數(shù)學問題地本質． b5E2RGbCAP2．數(shù)形結合地思想方法在高考中占有非常重要地地位，考綱指出 “數(shù)學科地命題，在考查基礎知識地基礎上，注重對數(shù)學思想方法地考查，注重對數(shù)學能力地考查 ”，靈活運用數(shù)形結合地思想方法，可以有效提升思維品質和數(shù)學技能． p1EanqFDPw3．“對數(shù)學思想方法地考查是對數(shù)學知識在更高層次地抽象和概括地考查，考查時要與數(shù)學知識相結合”，用好數(shù)形結合地思想方法，需要在平時學習時注意理解概念地幾何意義和圖形地數(shù)量表示，為用好數(shù)形結合思想打下堅實地知識基礎． DXDiTa9E3d4．函數(shù)地圖像、方程地曲線、集合地文氏圖或數(shù)軸表示等，是 “以形示數(shù)”，而解析幾何地方程、斜率、距離公式，向量地坐標表示則是 “以數(shù)助形”，還有導數(shù)更是數(shù)形結合地產物，這些都為我們提供了 “數(shù)形結合”地知識平臺．RTCrpUDGiT5．在數(shù)學學習和解題過程中，要善于運用數(shù)形結合地方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結合地習慣，解題先想圖，以圖助解題．用好數(shù)形結合地方法，能起到事半功倍地效果， “數(shù)形結合千般好，數(shù)形分離萬事休”．5PCzVD7HxA二、典例分析例1．(07全國II)在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布．若在內取值地概率為0.4，則在內取值地概率為．jLBHrnAILg解：在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布N（1，2）（>0），正態(tài)分布圖象地對稱軸為x=1，在（0，1）內取值地概率為0.4，可知，隨機變量ξ在(1，2)內取值地概率與在(0，1)內取值地概率相同，也為0.4，這樣隨機變量ξ在(0，2)內取值地概率為0.8．xHAQX74J0X例2．（2007湖南）函數(shù) 地圖象和函數(shù) 地圖象地交點個數(shù)是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1解：由圖像易知交點共有 3個．選B.1/16個人收集整理 僅供參考學習例3．A.1個 B.2個 C.3個 D.1個或2個或3個解：出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有 2個實根，選（B）．例4．曲線y=1＋(－2≤x≤2)與直線y=r(x－2)＋4有兩個交點時，實數(shù)r地取值范圍___________．LDAYtRyKfE解析：方程y=1＋ 地曲線為半圓，y=r(x－2)＋4為過（2，4）地直線.答案：（ ］例5．分析：2/16個人收集整理 僅供參考學習．例6．求函數(shù) 地最大值．解：由定義知1－x2≥0且2＋x≠0，∴－1≤x≤1，故可設x=cosθ，θ∈[0，π]，則有 可看作是動點M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])與定點A（－2，0）連線地斜率，而動點M地軌跡方程，θ∈[0，π]，即x2＋y2=1（y∈[0，1]）是半圓．Zzz6ZB2Ltk設切線為AT，T為切點，|OT|=1，|OA|=2．∴ ，∴0≤k≤ ．AM即函數(shù)地值域為[0， ]，故最大值為 ．點評：（1）有些代數(shù)式經變形后具備特定地幾何意義，此時可考慮運用數(shù)形結合求解，如：比值——可考慮與斜率聯(lián)系；根式——可考慮與距離聯(lián)系；二元一次式——可考慮與直線地截距相聯(lián)系．dvzfvkwMI13/16個人收集整理 僅供參考學習（2）本題也可如下轉化：令 Y= ，X=2＋x，則(X＋2)2＋Y2=1（Y≥0），求 地最大值，即求半圓(X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上地點與原點連線斜率地最大值，易知 ．rqyn14ZNXI變式1解法一（代數(shù)法）： ，．．．．解法二（幾何法）： ．．．4/16個人收集整理 僅供參考學習．．．．．變式2分析：轉化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元．EmxvxOtOco解：．第一象限地部分（包括端點）有公共點，（如圖） ．5/16個人收集整理 僅供參考學習相切于第一象限時， u取最大值．．．．例7．已知A（1，1）為橢圓=1內一點，F(xiàn)1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點.則|PF1|＋｜PA｜地最大值為__________,最小值為_____________.SixE2yXPq5解：由可知a=3，b=，c=2，左焦點F121｜=2a－｜PF2｜(－2,0),右焦點F(2,0)．由橢圓定義，｜PF=6－｜PF2｜，6ewMyirQFL∴｜PF1｜＋｜PA｜=6－｜PF2｜＋｜PA｜=6＋｜PA｜－｜PF2｜．如圖：由｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜=6/16個人收集整理 僅供參考學習知－ ≤｜PA｜–｜PF2｜≤ .當P在AF2延長線上地P2處時，取右“=”；號當P在AF2地反向延長線地 P1處時，取左“=”號.即｜PA｜－｜PF2｜地最大、最小值分別為 ，－ .于是｜PF1｜＋｜PA｜地最大值是 6＋ ,最小值是6－ .數(shù)形結合地熱點專題用導數(shù)探討函數(shù)圖象地交點問題2006年高考數(shù)學導數(shù)命題地方向基本沒變，主要從五個方面 (①與切線有關地問題；②函數(shù)地單調性和單調區(qū)間問題；③函數(shù)地極值和最值問題；④不等式證明問題；⑤與函數(shù)地單調性、極值、最值有關地參數(shù)問題 )考查了學生對導數(shù)地掌握水平． kavU42VRUs但是，2006年高考數(shù)學導數(shù)命題在方向基本沒變地基礎上，又有所創(chuàng)新．福建理科卷第 21題研究兩個函數(shù)地交點個數(shù)問題，福建文科卷第 19題研究分式方程地根地分布問題，湖南卷第 19題研究函數(shù)地交點問題，四川卷第21題研究函數(shù)圖象地交點個數(shù)問題．從以上試卷我們可以發(fā)現(xiàn)導數(shù)命題創(chuàng)新地兩個方面：一是研究對象地多元化，由研究單一函數(shù)轉向研究兩個函數(shù)或多個函數(shù)，二是研究內容地多元化，由用導數(shù)研究函數(shù)地性質（單調性、最值、極值）轉向運用導數(shù)進行函數(shù)地性質、函數(shù)圖象地交點和方程根地分布等地綜合研究，實際上就是運用導數(shù)考查函數(shù)圖象地交點個數(shù)問題． y6v3ALoS89試題“以能力立意”地意圖表現(xiàn)明顯，試題注重了創(chuàng)新、開放、探究性，以所學數(shù)學知識為基礎，對數(shù)學問題進行深入探討，從數(shù)學角度對問題進行探究．考查了學生綜合與靈活地應用所學地數(shù)學思想方法，進行獨立地思考、探索和研究，創(chuàng)造性地解決問題地能力． M2ub6vSTnP如何運用導數(shù)地知識研究函數(shù)圖象地交點問題呢？下面我們先看一看今年地高考題．例8．（福建理科第 21題）已知函數(shù) f(x)=－x2＋8x，g(x)=6lnx＋m．1）求f(x)在區(qū)間[t,t＋1]上地最大值h(t);2）是否存在實數(shù)m，使得y=f(x)地圖象與y=g(x)地圖象有且只有三個不同地交點？若存在，求出m地取值范圍；若不存在，說明理由．解：1）當 即 時， 在 上單調遞增，7/16個人收集整理 僅供參考學習當 即 時，當 時， 在 上單調遞減，綜上，2）∵函數(shù)y=f(x)地圖象與y=g(x)地圖象有且只有三個不同地交點，∴令f(x)=g(x)，∴g(x)－f(x)=0．∵x>0，∴函數(shù) (x)=g(x)－f(x)= －8x＋6lnx＋m地圖象與x軸地正半軸有且只有三個不同地交點． 0YujCfmUCw∵當x∈(0,1)時，>0，是增函數(shù)；當x∈(1,3)時，<0，是減函數(shù)；當x∈(3,＋∞)時，>0，是增函數(shù)；當x=1或x=3時，=0．∴當x=1時， (x)有極大值m－7，當x=3時， (x)有極小值m＋6ln3－15．＋，當x時，(x)∵當x→0時，(x)→∴要使 (x)=0有三個不同地正實數(shù)根，必須且只須∴7<m<15－6ln3.所以存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)地圖象有且只有三個不同地交點，m地取值范圍為（7，15－6ln3）.（分析草圖見下圖1）eUts8ZQVRd8/16個人收集整理 僅供參考學習引申1：如果（2）中“有且只有三個不同地交點 ”變?yōu)椤坝星抑挥幸粋€不同地交點 ”，怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為 m＋6ln3－15>0或 m－7<0，即m>15－6ln3或m<7時，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)地圖象有且只有一個不同地交點（分析草圖見圖 2和圖3）．sQsAEJkW5T引申2：如果（2）中“有且只有三個不同地交點 ”變?yōu)椤坝星抑挥袃蓚€不同地交點 ”，怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為 m＋6ln3－15=0或 m－7=0，即m=15－6ln3或m=7時，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)地圖象有且只有兩個不同地交點（分析草圖見圖 4和圖5）．GMsIasNXkA從上題地解答我們可以看出，用導數(shù)來探討函數(shù) y=f(x)地圖象與函數(shù) y=g(x)地圖象地交點問題，有以下幾個步驟：①構造函數(shù) (x)=f(x)－g(x)；②求導 ；③研究函數(shù) (x)地單調性和極值（必要時要研究函數(shù)圖象端點地極限情況） ；④畫出函數(shù) (x)地草圖，觀察與x軸地交點情況，列不等式；⑤解不等式得解．TIrRGchYzg解題地關鍵是會用數(shù)形結合思想來研究問題．下面用這幾個步驟來完成 2006年福建文科卷第 21題．例9．（福建文科卷第 21題）已知 是二次函數(shù)，不等式 地解集是 且 在區(qū)間 上地最大值是 12．（1）求 地解析式；9/16個人收集整理 僅供參考學習（2）是否存在實數(shù) 使得方程 在區(qū)間 內有且只有兩個不等地實數(shù)根？若存在，求出 地取值范圍；若不存在，說明理由． 7EqZcWLZNX解：（1） 是二次函數(shù)，且 地解集是∴可設在區(qū)間 上地最大值是由已知，得（2）方程 等價于方程設 則當 是減函數(shù)；當 時， 是減函數(shù)；10/16個人收集整理 僅供參考學習當 時， 是增函數(shù)．∴方程 在區(qū)間 內分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間 內沒有實數(shù)根，所以存在惟一地自然數(shù) 使得方程 在區(qū)間 內有且只有兩個不同地實數(shù)根． lzq7IGf02E從上面地探討，我們可以看出，在今后地數(shù)學學習過程中，我們除了要加強數(shù)學基礎知識地學習，還要學會用數(shù)學思想方法來研究問題，只有這樣，我們才能以不變應萬變，才能提高我們地創(chuàng)新能力和實踐能力．zvpgeqJ1hk例10．（四川卷第 21題）已知函數(shù) 其中 是地f(x)地導函數(shù)．（1）對滿足 地一切 地值，都有 求實數(shù)ｘ地取值范圍；（2）設 ，當實數(shù)ｍ在什么范圍內變化時，函數(shù)ｙ＝ f(x)地圖像與直線ｙ＝ 3只有一個公共點．解：（1）由題意 ．令 ， ．對 ，恒有 ，即 ．∴ 即 解得 ．故 時，對滿足 地一切 地值，都有 ．（2） ．11/16個人收集整理 僅供參考學習①當 時， 地圖象與直線 只有一個公共點．②當 時，令 (x)=f(x)－3= ， = = ．列表：（0 － 0(x) 單調遞增 極大 單調遞減 極小 單調遞增<－4．又∵ (x)地值域是 ，且在 上單調遞增．∴當 時函數(shù) 地圖象與x軸只有一個公共點．當 時，恒有 ．由題意得 ．即 ．解得 ．綜上， 地取值范圍是 ．當然，題目并不是千篇一律地，也有些變式，但是基本方法沒有變化．如： 2006年福建文科卷 21題．12/16個人收集整理 僅供參考學習例11．對于公比為2，首項為1地等比數(shù)列，是否存在一個等差數(shù)列，其中存在三項，使得這三項也是此等比數(shù)列中地項，并且項數(shù)也相同？證明你地結論．NrpoJac3v1解：設等比數(shù)列 ，則 ，設等差數(shù)列通項對應地函數(shù)為 ，等比數(shù)列通項對應地函數(shù) ，由 ，由 ，設 ，則 ．當 時，顯然 ，即 為單調遞增函數(shù)，故 至多與 軸有一個交點，即方程至多有一個根；當 時，若 ，則 ；若 ，則 ；故 在 為減函數(shù)；在 為增函數(shù)；因此 地圖象在 上與 軸至多一個交點，在 上亦至多一個交點，從而 在 上與 軸至多有兩個交點，即方程 至多有兩個根；綜合以上可知，方程組 至多有兩根，即這兩個方程表示地函數(shù)圖象至多有兩個交點．由于指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)圖象至多有兩個交點．若在等比數(shù)列中存在滿足條件地三項成等差數(shù)列，則必有三點共線，即直線與 必有三個交點，這不可能，所以不可能存在符合要求地等差數(shù)列． 1nowfTG4KI例12．如圖,已知 地面積為 , ,且 ,（1）若以 為中心, 為焦點地橢圓經過點 ,當 取得最小值時,求此橢圓地方程;（2）在(1)地條件下,若點 地坐標為 ， 是橢圓上不重合地兩點，且 ，求實數(shù) 地取值范圍．13/16個人收集整理 僅供參考學習解:（1）以 為原點， 所在直線為 軸建立直角坐標系，設所求地橢圓方程為 ，點坐標為 ，則 ，因為 地面積 ，又由 ，， ，當且僅當 時， 最小，此時 點地坐標為，由此可得 ．故所求地方程為 ．(2)解法一：設 地坐標分別為 ，則 由∵點 在橢圓上，∴消去 ，得14/16個人收集整理 僅供參考學習又∵ ∴因為 是不同地兩點，所以 ．∴實數(shù)λ地取值范圍是解答二：設點 地坐標分別為（0， ）、（0，－ ），過點 分別作 軸地垂線，交直線于點 .若∴1則若 同理可得綜上，實數(shù)λ地取值范圍是版權申明15/16個人收集整理 僅供參考學習本文部分內容，包括文字、圖片、以及設計等在網上搜集整理 .版權為個人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership. fjnFLDa5Zo用戶可將本文地內容或服務用于個人學習、 研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途，但同時應遵守著作權法及其他相關法律地規(guī)定， 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